高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用课件 苏教版选修22.ppt

1 4导数在实际生活中的应用 第1章导数及其应用 学习目标1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求用料最省 利润最大 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是 3 解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 优化问题 求函数最值 数学建模 题型探究 例1如图所示 在二次函数f x 4x x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形面积的最大值 解答 类型一平面几何中的最值问题 解设点b的坐标为 x 0 且0 x 2 f x 4x x2图象的对称轴为x 2 点c的坐标为 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面积为y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 平面图形中的最值问题一般涉及线段 三角形 四边形等图形 主要研究与面积相关的最值问题 一般将面积用变量表示出来后求导数 求极值 从而求最值 反思与感悟 跟踪训练1如图 将直径为d的圆木锯成长方体横梁 横截面为矩形 横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比 强度系数为k k 0 要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁 断面的宽x应为 答案 解析 解析设断面高为h 则h2 d2 x2 设横梁的强度函数为f x 则f x kxh2 kx d2 x2 0 x d 令f x k d2 3x2 0 例2某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱体 左右两端均为半球体 按照设计要求容器的体积为立方米 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元 半球体部分每平方米建造费用为4千元 设该容器的总建造费用为y千元 类型二立体几何中的最值问题 解答 1 将y表示成r的函数 并求该函数的定义域 两端两个半球的表面积之和为4 r2 2 确定r和l为何值时 该容器的建造费用最小 并求出最小建造费用 令y 0 得0 r 2 解答 引申探究在本例中 若r 0 1 求最小建造费用 解由例2 2 可知 解答 当r 1时 ymin 136 最小建造费用为136 千元 1 立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积 体积 在此基础上解决与实际相关的问题 2 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式 如果已知图形是由简单几何体组合而成 则要分析其组合关系 将图形进行拆分或组合 以便简化求值过程 反思与感悟 跟踪训练2周长为20cm的矩形 绕一条边旋转成一个圆柱 则圆柱体积的最大值为 cm3 答案 解析 解析设矩形的长为xcm 则宽为 10 x cm 0 x 10 由题意可知圆柱体积为v x2 10 x 10 x2 x3 v 20 x 3 x2 命题角度1利润最大问题例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元 每生产1千件需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且r x 类型三实际生活中的最值问题 1 求年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 解答 解当0 x 10时 2 当年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 并求出最大值 解答 所以当0 x 9时 w单调递增 当9 x 10时 w单调递减 所以当x 9时 wmax 38 6 所以当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 最大利润为38 6万元 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 反思与感悟 跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 解答 所以a 2 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 列表如下 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值为42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 命题角度2费用 用材 最省问题例4已知a b两地相距200km 一只船从a地逆水行驶到b地 水速为8km h 船在静水中的速度为vkm h 8 v v0 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12km h时 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船的实际速度为多少 解答 解设每小时的燃料费为y1 比例系数为k k 0 则y1 kv2 当v 12时 y1 720 720 k 122 得k 5 设全程燃料费为y 由题意得 令y 0 得v 0 舍去 或v 16 当v0 16 即v 16km h时 全程燃料费最省 ymin 32000 元 当v0 16 即v 8 v0 时 y 0 即y在 8 v0 上为减函数 综上 当v0 16时 即v 16km h时全程燃料费最省 为32000元 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 反思与感悟 跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 解答 解设隔热层厚度为xcm 而建造费用为c1 x 6x 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解答 当00 答当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小值为70万元 当堂训练 1 方底无盖水箱的容积为256 则最省材料时 它的高为 答案 2 3 4 5 1 解析设底面边长为x 高为h 解析 4 令s x 0 解得x 8 判断知当x 8时 s x 取得最小值 2 某产品的销售收入y1 万元 是产品x 千台 的函数 y1 17x2 生产总成本y2 万元 也是x的函数 y2 2x3 x2 x 0 为使利润最大 应生产 千台 答案 2 3 4 5 1 解析 6 解析构造利润函数y y1 y2 18x2 2x3 x 0 y 36x 6x2 令y 0 得x 6 x 0舍去 x 6是函数y在 0 上惟一的极大值点 也是最大值点 3 将一段长100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆形 当正方形与圆形面积之和最小时 圆的周长为 cm 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 解析设弯成圆形的一段铁丝长为x 则另一段长为100 x 设正方形与圆形的面积之和为s 2 3 4 5 1 4 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 元 2 3 4 5 1 答案 解析 160 当x 2时 ymin 160 5 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 3 4 5 1 解答 解设商品降价x元 则多卖出的商品件数为kx2 若记商品一个星期的获利为f x 则有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 由已知条件 得24 k 22 于是k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 2 3 4 5 1 解答 解根据 1 得 f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 列表如下 故当x 12时 f x 取得极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以定价为30 12 18 元 才能使一个星期的商品销售利润最大 规律与方法 1 利用导数解决生活中实际问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出