高中数学 第三章 指数函数和对数函数 5.3 对数函数的图像和性质课件 北师大版必修1.ppt

5 3对数函数的图像和性质 第三章 5对数函数 学习目标1 掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法 2 掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法 3 会解简单的对数不等式 4 了解反函数的概念及它们的图像特点 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一y logaf x 型函数的单调区间 我们知道y 2f x 的单调性与y f x 的单调性相同 那么y log2f x 的单调区间与y f x 的单调区间相同吗 答案 答案y log2f x 与y f x 的单调区间不一定相同 因为y log2f x 的定义域与y f x 的定义域不一定相同 一般地 形如函数f x logag x 的单调区间的求法 先求g x 0的解集 也就是函数的定义域 当底数a大于1时 g x 0限制之下g x 的单调增区间是f x 的单调增区间 g x 0限制之下g x 的单调减区间是f x 的单调减区间 当底数a大于0且小于1时 g x 0限制之下g x 的单调区间与f x 的单调区间正好相反 梳理 思考 知识点二对数不等式的解法 log2x log23等价于x 3吗 答案 答案不等价 log2x log23成立的前提是log2x有意义 即x 0 log2x log23 0 x 3 梳理 一般地 对数不等式的常见类型 当a 1时 logaf x logag x f x 0 可省略 g x 0 f x g x 当0 a 1时 logaf x logag x f x 0 g x 0 可省略 f x g x 思考 知识点三不同底的对数函数图像的相对位置 y log2x与y log3x同为 0 上的增函数 都过点 1 0 怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置 答案 答案可以通过描点定位 也可令y 1 对应x值即底数 梳理 一般地 对于底数a 1的对数函数 在 1 区间内 底数越大越靠近x轴 对于底数0 a 1的对数函数 在 1 区间内 底数越小越靠近x轴 思考 知识点四反函数的概念 如果把y 2x视为a r b 0 的一个映射 那么y log2x是从哪个集合到哪个集合的映射 答案 答案如图 y log2x是从b 0 到a r的一个映射 相当于a中元素通过f x 2x对应b中的元素2x y log2x的作用是b中元素2x原路返回对应a中元素x 梳理 一般地 像y ax与y logax a 0 且a 1 这样的两个函数互为反函数 1 y ax的定义域r 就是y logax的值域 而y ax的值域 0 就是y logax的定义域 2 互为反函数的两个函数y ax a 0 且a 1 与y logax a 0 且a 1 的图像关于直线y x对称 3 互为反函数的两个函数的单调性相同 但单调区间不一定相同 题型探究 命题角度1求单调区间例1求函数y log x2 2x 1 的值域和单调区间 解答 类型一对数型复合函数的单调性 解设t x2 2x 1 则t x 1 2 2 y logt为减函数 且0 t 2 y log2 1 即函数的值域为 1 求复合函数的单调性要抓住两个要点 1 单调区间必须是定义域的子集 哪怕一个端点都不能超出定义域 2 f x g x 单调性相同 则f g x 为增函数 f x g x 单调性相异 则f g x 为减函数 简称 同增异减 反思与感悟 跟踪训练1已知函数f x log x2 2x 1 求函数f x 的值域 解答 解由题意得 x2 2x 0 x2 2x 0 由二次函数的图像知0 x 2 当0 x 2时 y x2 2x x2 2x 0 1 log x2 2x log1 0 函数y log x2 2x 的值域为 0 2 求f x 的单调性 解答 解设u x2 2x 0 x 2 v logu 函数u x2 2x在 0 1 上是增函数 在 1 2 上是减函数 v logu是减函数 由复合函数的单调性得到函数f x log x2 2x 在 0 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 命题角度2已知复合函数单调性求参数范围例2已知函数y log x2 ax a 在区间 上是增函数 求实数a的取值范围 解答 若a 1 则y logaf x 的单调性与y f x 的单调性相同 若0 a 1 则y logaf x 的单调性与y f x 的单调性相反 另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域 反思与感悟 解析函数由y logau u 6 ax复合而成 因为a 0 所以u 6 ax是减函数 那么函数y logau就是增函数 所以a 1 因为 0 2 为定义域的子集 所以当x 2时 u 6 ax取得最小值 所以6 2a 0 解得a 3 所以1 a 3 故选b 跟踪训练2若函数f x loga 6 ax 在 0 2 上为减函数 则a的取值范围是a 0 1 b 1 3 c 1 3 d 3 答案 解析 类型二对数型复合函数的奇偶性 解答 所以函数的定义域为 2 2 关于原点对称 即f x f x 即f x f x 解答 f x 为奇函数 b a 即a b ln1 0 f x f x 此时f x 为奇函数 故f x 为奇函数时 a b 1 指数函数 对数函数都是非奇非偶函数 但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数 或偶函数 2 含对数式的奇偶性判断 一般用f x f x 0来判断 运算相对简单 反思与感悟 解答 所以函数的定义域为r且关于原点对称 即f x f x lg 1 x2 x2 0 所以f x f x 例4已知函数f x loga 1 ax a 0 且a 1 解关于x的不等式 loga 1 ax f 1 类型三对数不等式 解答 解 f x loga 1 ax f 1 loga 1 a 1 a 0 0 a 1 不等式可化为loga 1 ax loga 1 a 不等式的解集为 0 1 对数不等式解法要点 1 化为同底logaf x logag x 2 根据a 1或0 a 1去掉对数符号 注意不等号方向 3 加上使对数式有意义的约束条件f x 0且g x 0 反思与感悟 a 0 4 答案 解析 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 2 如果那么a y x 1b x y 1c 1 x yd 1 y x 答案 2 3 4 5 1 3 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 且f 2 1 则f x 等于 答案 2 3 4 5 1 答案 2 3 4 5 1 解析 2 解析 f x 为奇函数 a2 4 又a 2 a 2 5 函数f x lnx2的减区间为 答案 0 2 3 4 5 1 规律与方法 1 与对数