高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数课件 苏教版选修22.ppt

1 2 1常见函数的导数 第1章1 2导数的运算 学习目标1 能根据定义求函数y c y x y x2 的导数 2 掌握基本初等函数的导数公式 3 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一几个常见函数的导数 1 kx b k k b为常数 2 c 0 c为常数 3 x 1 4 x2 2x 5 x3 3x2 1 x x 1 为常数 2 ax axlna a 0 且a 1 知识点二基本初等函数的导数公式 4 ex ex 6 sinx cosx 7 cosx sinx 题型探究 例1求下列函数的导数 解答 类型一利用导数公式求函数的导数 解y 0 4 y lgx 解答 5 y 5x 解答 解y 5xln5 y sinx cosx 若给出函数解析式不符合导数公式 需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导 如根式化指数幂的形式求导 反思与感悟 跟踪训练1 1 下列结论 sinx cosx 其中正确结论的序号是 答案 解析 错误 正确 2 求下列函数的导数 解答 y y cosx sinx 解答 类型二求函数在某一点处的导数 解答 f x 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简 然后求导 最后将变量的值代入导函数便可求解 反思与感悟 答案 解析 命题角度1已知切点解决切线问题 例3 1 已知p q为抛物线y x2上两点 点p q横坐标分别为4 2 过p q分别作抛物线的切线 两切线交于点a 则点a的坐标为 类型三利用导数研究切线问题 1 4 答案 解析 解析y x kpa y x 4 4 kqa y x 2 2 p 4 8 q 2 2 pa的直线方程为y 8 4 x 4 即y 4x 8 qa的直线方程为y 2 2 x 2 即y 2x 2 a 1 4 2 已知两条曲线y sinx y cosx 是否存在这两条曲线的一个公共点 使在这一点处两条曲线的切线互相垂直 并说明理由 解答 解设存在一个公共点 x0 y0 使两曲线的切线垂直 则在点 x0 y0 处的切线斜率分别为k1 y cosx0 k2 y sinx0 要使两切线垂直 必须有k1k2 cosx0 sinx0 1 即sin2x0 2 这是不可能的 所以两条曲线不存在公共点 使在这一点处的两条切线互相垂直 解决切线问题 关键是确定切点 要充分利用 1 切点处的导数是切线的斜率 2 切点在切线上 3 切点在曲线上 这三个条件联立方程即可解决 反思与感悟 跟踪训练3已知函数y kx是曲线y lnx的一条切线 则k 解析设切点坐标为 x0 y0 又y0 kx0 而且y0 lnx0 答案 解析 命题角度2已知斜率解决切线问题例4求抛物线y x2上的点到直线x y 2 0的最短距离 解设切点坐标为 x0 依题意知 与直线x y 2 0平行的抛物线y x2的切线的切点到直线x y 2 0的距离最短 解答 利用基本初等函数的求导公式 可求其图象在某一点p x0 y0 处的切线方程 可以解决一些与距离 面积相关的几何的最值问题 一般都与函数图象的切线有关 解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况 再利用导数的几何意义准确计算 反思与感悟 跟踪训练4已知直线l 2x y 4 0与抛物线y x2相交于a b两点 o是坐标原点 试求与直线l平行的抛物线的切线方程 并在弧上求一点p 使 abp的面积最大 解答 解设p x0 y0 为切点 过点p与ab平行的直线斜率k y 2x0 k 2x0 2 x0 1 y0 1 故可得p 1 1 切线方程为2x y 1 0 由于直线l 2x y 4 0与抛物线y x2相交于a b两点 ab 为定值 要使 abp的面积最大 只要点p到ab的距离最大 故点p 1 1 即为所求弧上的点 使 abp的面积最大 当堂训练 1 下列函数中的求导运算正确的个数为 答案 2 3 4 5 1 解析 中 3x 3xln3 均正确 解析 3 2 函数f x x3的切线斜率等于1的有 条 答案 2 3 4 5 1 解析 2 故斜率等于1的切线有2条 3 设函数f x logax f 1 1 则a 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 解答 k 2 3 4 5 1 解答 解 y x3 y 3x2 y cosx 2 3 4 5 1 解答 规律与方法 1 利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数 其关键是牢记和运用好导数公式 解题时 能