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用递推的方法解决二项式定理的相关问题二项式定理是高中数学的一个难点，解决二项式定理相关问题的方法常见有构造函数法、公式变形法等.因为技巧性强，学生往往难以掌握.其实二项式定理也是涉及到正整数的相关问题，而数列同样也是涉及到正整数的问题.我们知道，递推关系是数列的核心，那么，能否用数列中的递推关系来解决二项式定理的相关问题呢？例1、已知整数，集合的所有3个元素的子集记为.当时，求集合中所有元素之和；记为中最小元素，设，求.解：当时，集合，其中含有1的三元子集共有个，同理，含有2,3,4,5的集合均有个，所以所有元素的和为.当1为中最小元素时，这样的集合共有个，当2为中最小元素时，这样的集合共有个，当3为中最小元素时，这样的集合共有个，当为中最小元素时，这样的集合共有个，由题意得：做到这里，学生难以操作下去.解法1、利用公式变形：将各项拆开，再并项，利用公式求和.解法巧妙，但技巧性极强，学生不易掌握.如将看成是一个数列的某一项，为求其通项，不妨找一找前一项与后一项的递推关系，从而用数列的手段来进行求和.解法2、，又，总结，找出和的递推关系，利用累加法求和，思路清晰，可操作性强.例2、记展开式中的系数为，的系数为，其中.求；是否存在常数，使对恒成立？证明你的结论.解：显然.解法1、欲求，只需求出即可，即要分析的来源，故只需中每两个与其余的1相乘即可.设，所以存在或符合题意.解法2、由递推的角度进行思考：因为展开式中的系数为，则中的系数为.由多项式乘法的法则知：，.当时也成立.下略.例3、求证：对任意正整数，必可表示成的形式.证明：由二项式定理，因此，总能表示成的形式，且.又，从而即要证：.下面，我们来研究的递推关系.由，当时，化简得：，从而：.设，从而且，解得或，所以或.所以得：.证毕.总结：高中数学的一个难点就是如何打通知识点与知识点之
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