广东省湛江一中高考数学“临门一脚”试卷 文（含解析）.doc

广东省湛江一中2015届高考数 学“临门一脚”试卷（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x240，b=x|x20，则（ra）b等于( )a（，2）bc（2，2）df（x）的图象关于直线对称f（x）的图象关于点对称f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象f（x）的最小正周期为，且在上为增函数abcd8函数f（x）=xsinx的图象大致是( )abcd9某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( ) a16b12c8d610称d（）=|为两个向量、间的“距离”若向量、满足：|=1；对任意的tr，恒有d（，t）d（，），则( )ab（）c（）d（）（二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11不等式x23x100的解集为_12圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是_13书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书_本（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14在极坐标系中，直线sin（+）=2的倾斜角为_（几何证明选讲选做题）15如图，o是半圆的圆心，直径ab=2，pb是圆的一条切线，割线pa与半圆交于点c，ac=4，则pb=_三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosb=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（bc）的值17空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象全世界也越来越关注环境保护问题当空气污染指数（单位：g/m3）为050时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：g/m3）（50，100（100，150（150，200监测点个数1540y10（）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（）若a市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良从中任意选取2个监测点，事件a“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？18如图5，已知bcd中，bcd=90，bc=cd=1，ab=，ab平面bcd，e、f分别是ac、ad的中点（1）求证：平面bef平面abc；（2）设平面bef平面bcd=l，求证cdl；（3）求四棱锥bcdfe的体积v19设sn为数列an的前n项和，对任意的nn*，都有sn=（m+1）man（m为正常数）（1）求证：数列an是等比数列；（2）数列bn满足：b1=2a1，bn=（n2，nn+），求数列bn的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前n项和tn20已知抛物线c：x2=2py（p0），抛物线上一点q（m，）到焦点的距离为1（）求抛物线c的方程（）设过点m（0，2）的直线l与抛物线c交于a，b两点，且a点的横坐标为n（nn*）（）记aob的面积为f（n），求f（n）的表达式（）探究是否存在不同的点a，使对应不同的aob的面积相等？若存在，求点a点的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnx+x2ax，ar（）若a=3，求f（x）的单调区间；（）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x240，b=x|x20，则（ra）b等于( )a（，2）bc（2，2）d，（ua）b=故选：b点评：本题考查复数的模的求法，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力4在各项均为正数的等比数列an中，已知a1a5=25，则a3等于( )a5b25c25d5或5考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：直接由已知结合等差数列的性质求得a3解答：解：在等比数列an中，由a1a5=25，得，即a3=5an0，a3=5故选：a点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题5若幂函数f（x）=mx的图象经过点a（，），则它在点a处的切线方程是( )a2xy=0b2x+y=0c4x4y+1=0d4x+4y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆分析：由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程解答：解：因为f（x）=mx为幂函数，故m=1，又图象经过点a（，），则有=，则=，即有f（x）=则f（x）=，则f（x）在点a处的切线斜率为=1，则有切线方程为y=x，即为4x4y+1=0故选：c点评：本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键6由直线xy+1=0，x+y5=0和x1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为( )abcd考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论解答：解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，x1，在xy+1=0的上方，则xy+10，在x+y5=0的下方，则x+y50，则用不等式组表示为，故选：a点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键7设函数，则下列结论正确的是( )f（x）的图象关于直线对称f（x）的图象关于点对称f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象f（x）的最小正周期为，且在上为增函数abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性 专题：计算题分析：研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明正确解答：解：2+=，x=不是正弦函数的对称轴，故错误；2+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故错误；f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故正确；由x，得2x+，不是正弦函数的单调递增区间，故错误；故选a点评：本题主要考查了y=asin（x+）型函数的图象和性质，函数的对称轴、对称中心、单调区间的求法，函数图象的平移变换和函数奇偶性的定义，整体代入的思想方法8函数f（x）=xsinx的图象大致是( )abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可解答：解：函数f（x）=xsinx满足f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除b、c，因为x（，2）时，sinx0，此时f（x）0，所以排除d，故选：a点评：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力9某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( ) a16b12c8d6考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱（或看成两个三棱柱的组合体），求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱，（或看成两个三棱柱的组合体），柱体的底面面积s=32=3，柱体的高h=4，故柱体的体积v=sh=12，故选：b点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10称d（）=|为两个向量、间的“距离”若向量、满足：|=1；对任意的tr，恒有d（，t）d（，），则( )ab（）c（）d（）（考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线ob上，并设，连接ac，则有从而根据向量距离的定义，可说明abob，从而得到解答：解：如图，作，则，t，向量t的终点在直线ob上，设其终点为c，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；abob；故选：c点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11不等式x23x100的解集为x|2x5考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：把不等式x23x100化为（x5）（x+2）0，求出解集即可解答：解：不等式x23x100可化为（x5）（x+2）0，解得2x5；该不等式的解集为x|2x5故答案为：x|2x5点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目12圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是（x1）2+y2=16和（x9）2+y2=16考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a5|=4，求得a的值，可得所求的圆的方程解答：解：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a5|=4，求得a=1，或 a=9，故所求的圆的方程为（x1）2+y2=16和（x9）2+y2=16，故答案为：（x1）2+y2=16和（x9）2+y2=16点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，属于中档题13书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书25本考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：直接利用抽样比，统筹兼顾即可解答：解：书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，应抽出的英语书x本可得，x=25故答案为：25点评：本题考查分层抽样的应用，利用抽样比求解是解题的关键（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14在极坐标系中，直线sin（+）=2的倾斜角为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出直线的斜率，则倾斜角可求解答：解：由sin（+）=2，得，即，直线sin（+）=2的斜率为1，倾斜角为故答案为：点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题（几何证明选讲选做题）15如图，o是半圆的圆心，直径ab=2，pb是圆的一条切线，割线pa与半圆交于点c，ac=4，则pb=2考点：圆的切线的性质定理的证明 专题：计算题；压轴题分析：根据直径所对的圆周角是直角，得到acb=90，根据勾股定理做出bc的长，根据两个三角形相似，得到对应边成比例，代入已知的量，得到要求的线段的长解答：解：连接bc，则acb=90，abp=90，bc=2abcapb，故答案为：2点评：本题考查三角形相似的性质，考查直径所对的圆周角是直角，考查勾股定理，考查圆的切线的性质，考查利用几何知识解决实际问题，是一个比较简单的综合题目三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosb=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（bc）的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：（）利用平面向量的数量积运算法则化简=2，将cosb的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosb以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（）由cosb的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinb的值，由c，b，sinb，利用正弦定理求出sinc的值，进而求出cosc的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：（）=2，cosb=，cacosb=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosb，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在abc中，sinb=，由正弦定理=得：sinc=sinb=，a=bc，c为锐角，cosc=，则cos（bc）=cosbcosc+sinbsinc=+=点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键17空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象全世界也越来越关注环境保护问题当空气污染指数（单位：g/m3）为050时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：g/m3）（50，100（100，150（150，200监测点个数1540y10（）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（）若a市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良从中任意选取2个监测点，事件a“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可解答：解：（）根据频率分布直方图，得；0.00350=，x=100；又15+40+y+10=100，y=35；直方图中（50，100对应矩形的高为=0.008，（100，150对应矩形的高为=0.007，（150，200对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；（）设a市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，其中事件a“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，所以事件a“其中至少有一个为良”发生的概率是p（a）=点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目18如图5，已知bcd中，bcd=90，bc=cd=1，ab=，ab平面bcd，e、f分别是ac、ad的中点（1）求证：平面bef平面abc；（2）设平面bef平面bcd=l，求证cdl；（3）求四棱锥bcdfe的体积v考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：cd平面abc，再利用三角形的中位线定理可得：efcd再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由cdef，利用线面平行的判定定理可得：cd平面bef，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知efcd，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出vbacd即可得出解法2：取bd中点g，连接fc和fg，则fgab，利用线面垂直的性质可得：fg平面bcd，由（1）知ef平面abc，利用v=vfebc+vfbcd即可得出；解答：（1）证明：ab平面bcd，cd平面bcd，abcd，又bccd，abbc=b，cd平面abc，又e、f分别是ac、ad的中点，efcdef平面abc又ef平面bef，平面bef平面abc（2）证明：cdef，cd平面bef，ef平面bef，cd平面bef，又cd平面bcd，且平面bef平面bcd=l，cdl（2）解法1：由（1）知efcd，aefacd，=解法2：取bd中点g，连接fc和fg，则fgab，ab平面bcd，fg平面bcd，由（1）知ef平面abc，v=vfebc+vfbcd=点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题19设sn为数列an的前n项和，对任意的nn*，都有sn=（m+1）man（m为正常数）（1）求证：数列an是等比数列；（2）数列bn满足：b1=2a1，bn=（n2，nn+），求数列bn的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前n项和tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得a1=1，（1+m）an=man1，从而=，（n2），由此能证明数列an是首项为1，公比为的等比数列（2）由b1=2a1=2，bn=（n2，nn+），得=1，（n2），从而是首项为，公差为1的等差数列，由此能求出bn=，（nn*）（3）由bn=，得=2n（2n1），由此利用错位相减法能求出数列的前n项和tn解答：（1）证明：当n=1时，a1=s1=（m+1）ma1，解得a1=1，当n2时，an=snsn1=man1man，即（1+m）an=man1，m为常数，且m0，=，（n2），数列an是首项为1，公比为的等比数列（2）解：由（1）得，b1=2a1=2，bn=（n2，nn+），即=1，（n2），是首项为，公差为1的等差数列，=，bn=，（nn*）（3）解：由（2）知，bn=，则=2n（2n1），tn=21+223+235+2n（2n1），则2tn=221+233+245+2n+1（2n1），得，tn=2n+1（2n1）223242n+1，故tn=2n+1=2n+1（2n3）+6点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用20已知抛物线c：x2=2py（p0），抛物线上一点q（m，）到焦点的距离为1（）求抛物线c的方程（）设过点m（0，2）的直线l与抛物线c交于a，b两点，且a点的横坐标为n（nn*）（）记aob的面积为f（n），求f（n）的表达式（）探究是否存在不同的点a，使对应不同的aob的面积相等？若存在，求点a点的坐标；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用q（m，）到焦点的距离为1，计算即得结论；（）（）通过a点横坐标及直线过点m可得直线l斜率的表达式，将其代入saob，计算即可；（）设存在不同的点am（m，），an（n，）（mn，m、nn*），利用f（m）=f（n），计算即可解答：解：（）依题意得|qf|=yq+=+=1，解得p=1，抛物线c的方程为x2=2y；（）（）直线l与抛物线c交于a、b两点，直线l的斜率存在，设a（x1，y1），b（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x22kx4=0，此时=（2k）241（4）=4（k2+4）0，由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=4，saob=|om|x1x2|=2=2 （*）又a点横坐标为n，点a坐标为a（n，），又直线过点m（0，2），故k=，将上式代入（*）式，可得：f（n）=2=2=2=n+（nn*）；（）结论：当a点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的aob的面积相等理由如下：设存在不同的点am（m，），an（n，）（mn，m、nn*），使对应不同的aob的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，化简得：mn=，又mn，即mn0，1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时a点坐标为（1，），（4，8）点评：本题考查抛物线的定义及其标准方