湖北省鄂州市高考数学三模试卷 理（含解析）.doc

2015年湖北省鄂州市高考数学三模 试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，b=y|y=2x+1，xr，则r（ab）=（）a （，1b （，1）c （0，1d 0，12若（1+ai）i=2bi，其中a、br，i是虚数单位，则|a+bi|=（）a b 1c d 33某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）a b c d 4已知a=（sin）2dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）a b c d 5已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点p，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为a、b，当apb最大时，的值为（）a 2b c d 36如图所示的程序框图表示求算式“248163264”的值，则判断框内可以填入（）a k132？b k70？c k64？d k63？7已知x和y是两个分类变量，由公式k2=算出k2的观测值k约为7.822根据下面的临界值表可推断（）p（k2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828a 推断“分类变量x和y没有关系”犯错误的概率上界为0.010b 推断“分类变量x和y有关系”犯错误的概率上界为0.010c 有至少99%的把握认为分类变量x和y没有关系d 有至多99%的把握认为分类变量x和y有关系8已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）a b c d 9抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，准线为l，a，b是抛物线上的两个动点，且满足afb=设线段ab的中点m在l上的投影为n，则的最大值是（）a b c d 10对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为m函数：（i） 对任意的x0，1，恒有f（x）0；（ii） 当x10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立则下列四个函数中不是m函数的个数是（）f（x）=x2f（x）=x2+1f（x）=ln（x2+1）f（x）=2x1a 1b 2c 3d 4二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模凌两可均不得分.（一）必考题（11-14题）11设，为单位向量，其中=2+，=且在上的投影为2，则与的夹角为12设随机变量n（，2），且p（2）=p（2）=0.3，则p（20）=13设等差数列an满足a5=11，a12=3，an的前n项和sn的最大值为m，则lgm=14在平面直角坐标系xoy中，圆c1：（x+1）2+（y6）2=25，圆c2：（x17）2+（y30）2=r2若圆c2上存在一点p，使得过点p可作一条射线与圆c1依次交于点a、b，满足pa=2ab，则半径r的取值范围是选考题（选修4-1：几何证明选讲选）15（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=（选修4-4：坐标系与参数方程）1015鄂州三模）在极坐标中，已知点p为方程（cos+sin）=1所表示的曲线上一动点q（2，），则|pq|的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图所示，在四边形abcd中，d=2b，且ad=1，cd=3，cosb=（）求acd的面积；（）若bc=2，求ab的长18设数列an的前n项和为sn，已知a1=1，sn+1=4an+2（nn*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式19如图，三棱柱abca1b1c1中，平面abb1a1底面abc，ab=bc=ca=，a1ab=120，d、e分别是bc、a1c1的中点（）试在棱ab上找一点f，使de平面a1cf；（）在（）的条件下，求二面角aa1cf的余弦值20据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人（1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望21设椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为a，过a与af2垂直的直线交x轴负半轴于q点，且2=（）求椭圆c的离心率；（）若过a、q、f2三点的圆恰好与直线xy3=0相切，求椭圆c的方程；（）过f2的直线l与（）中椭圆交于不同的两点m、n，则f1mn的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数f（x）=f（x）h（x），求f（x）的单调区间与极值；（）设ar，解关于x的方程log4f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）试比较f（100）h（100）与的大小2015年湖北省鄂州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，b=y|y=2x+1，xr，则r（ab）=（）a （，1b （，1）c （0，1d 0，1考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：求出a中不等式的解集确定出a，求出b中y的范围确定出b，求出a与b的解集，进而确定交集的补角即可解答：解：由a中不等式变形得：x（x1）0，且x10，解得：x0或x1，即a=（，0（1，+），由b中y=2x+11，即b=（1，+），ab=（1，+），则r（ab）=（，1，故选：a点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2若（1+ai）i=2bi，其中a、br，i是虚数单位，则|a+bi|=（）a b 1c d 3考点：复数求模专题：数系的扩充和复数分析：利用复数相等求出a、b，然后求解复数的模解答：解：（1+ai）i=2bi，即：a+i=2bi，可得a=2，b=1，所以|a+bi|=故选：a点评：本题考查复数的模以及复数相等的充要条件，考查计算能力3某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）a b c d 考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积解答：解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为12=，底面积为，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为22=，则该几何体的表面积为+故选：a点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状4已知a=（sin）2dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）a b c d 考点：二项式定理；微积分基本定理专题：计算题；概率与统计分析：先求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得关于x的一次项的系数解答：解：已知a=（sin）2dx=frac1cosx2dx= dx=（sinx）=，则（ax+）9 =，故它的展开式的通项公式为 tr+1=xr=2r9x92r令92r=1，解得r=4，故关于x的一次项的系数为25=，故选a点评：本题主要考查求定积分的值，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题5已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点p，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为a、b，当apb最大时，的值为（）a 2b c d 3考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划专题：计算题；平面向量及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当最小时，p的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使apb最大，则p到圆心的距离最小即可，由图象可知当op垂直直线x+y2=0，此时|op|=2，|oa|=1，设apb=，则sin=，=此时cos=，=故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键6如图所示的程序框图表示求算式“248163264”的值，则判断框内可以填入（）a k132？b k70？c k64？d k63？考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当k=64时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s=2483264，结合选项可知，判断框内可以填入k70？解答：解：模拟执行程序框图，可得s=1，k=2，满足条件，s=2，k=4满足条件，s=24，k=8满足条件，s=248，k=16满足条件，s=24832，k=32满足条件，s=2483264，k=64由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s=2483264，结合选项可知，判断框内可以填入k70？故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，当k=64时，由题意结合选项判断退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查7已知x和y是两个分类变量，由公式k2=算出k2的观测值k约为7.822根据下面的临界值表可推断（）p（k2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828a 推断“分类变量x和y没有关系”犯错误的概率上界为0.010b 推断“分类变量x和y有关系”犯错误的概率上界为0.010c 有至少99%的把握认为分类变量x和y没有关系d 有至多99%的把握认为分类变量x和y有关系考点：独立性检验的应用专题：计算题；概率与统计分析：由已知数据可以求得：k2，根据临界值表，即可得出结论解答：解：由k2=算出k2的观测值k约为7.822，根据临界值表，由于7.866.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“分类变量x和y没有关系”故选：a点评：本题考查独立性检验的应用，这里不需要把观测值同临界值进行比较，是一个基础题8已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）a b c d 考点：古典概型及其概率计算公式专题：计算题；概率与统计分析：由极值的知识结合二次函数可得ab，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得解答：解：求导数可得f（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，即=4（a2b2）0，即ab，又a，b的取法共33=9种，其中满足ab的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为p=故选d点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的极值问题，属基础题9抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，准线为l，a，b是抛物线上的两个动点，且满足afb=设线段ab的中点m在l上的投影为n，则的最大值是（）a b c d 考点：抛物线的简单性质专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设|af|=a、|bf|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|mn|=a+b再由余弦定理得|ab|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|ab|的范围，从而可得的最大值解答：解：设|af|=a，|bf|=b，a、b在准线上的射影点分别为q、p，连接aq、bq由抛物线定义，得|af|=|aq|且|bf|=|bp|，在梯形abpq中根据中位线定理，得2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得|ab|2=a2+b22abcos=a2+b2+ab，配方得|ab|2=（a+b）2ab，又ab（ ） 2，（a+b）2ab（a+b）2（ ） 2=（a+b）2得到|ab|（a+b）所以=，即的最大值为故选c点评：本题给出抛物线的弦ab对焦点f所张的角为直角，求ab中点m到准线的距离与ab比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题10对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为m函数：（i） 对任意的x0，1，恒有f（x）0；（ii） 当x10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立则下列四个函数中不是m函数的个数是（）f（x）=x2f（x）=x2+1f（x）=ln（x2+1）f（x）=2x1a 1b 2c 3d 4考点：函数与方程的综合运用专题：函数的性质及应用分析：利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可解答：解：（i）在0，1上，四个函数都满足；（ii）x10，x20，x1+x21；对于，满足；对于，=2x1x210，不满足对于，=而x10，x20，满足；对于，=，满足；故选：a点评：本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模凌两可均不得分.（一）必考题（11-14题）11设，为单位向量，其中=2+，=且在上的投影为2，则与的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：根据向量的运用得出则=2|cos+1=2，得出cos=，求解即可解答：解：设e1与e2夹角为，则=2|cos+1=2，解得cos=，所以故答案为：点评：本题考查向量的基本运算及单位向量、向量的投影概念的理解解题关键是对向量投影的理解12设随机变量n（，2），且p（2）=p（2）=0.3，则p（20）=0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布n（，2），且p（1）=p（1），得到曲线关于x=0对称，利用p（2）=0.3，根据概率的性质得到结果解答：解：因为p（2）=p（2），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为p（2）=0.3，所以p（20）=0.2故答案为：0.2点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位13设等差数列an满足a5=11，a12=3，an的前n项和sn的最大值为m，则lgm=2考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：an，sn，即可得出解答：解：设等差数列an的公差为d，a5=11，a12=3，d=2，a1=19an=192（n1）=212n，令an0，解得，因此当n=10时，an的前n项和sn取得最大值m=19090=100，lgm=2故答案为：2点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题14在平面直角坐标系xoy中，圆c1：（x+1）2+（y6）2=25，圆c2：（x17）2+（y30）2=r2若圆c2上存在一点p，使得过点p可作一条射线与圆c1依次交于点a、b，满足pa=2ab，则半径r的取值范围是5，55考点：圆与圆的位置关系及其判定专题：直线与圆分析：求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可解答：解：圆c1：（x+1）2+（y6）2=25，圆心（1，6）；半径为：5圆c2：（x17）2+（y30）2=r2圆心（17，30）；半径为：r两圆圆心距为：=30如图：pa=2ab，可得ab的最大值为直径，此时c2a=20，r0当半径扩大到55时，此时圆c2上只有一点到c1的距离为25，而且是最小值，半径再大，没有点满足pa=2abr5，55故答案为：5，55点评：本题考查两个圆的位置关系直线与圆的综合应用考查分析问题解决问题的能力选考题（选修4-1：几何证明选讲选）15（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=考点：与圆有关的比例线段专题：直线与圆分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出解答：解：直线ce与圆o相切于点c，acd=abcab是o的直径，acb=90，adc=acb=90acdabc，ac2=abad=91=9，解得ac=3故答案为点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键（选修4-4：坐标系与参数方程）1015鄂州三模）在极坐标中，已知点p为方程（cos+sin）=1所表示的曲线上一动点q（2，），则|pq|的最小值为考点：简单曲线的极坐标方程；两点间距离公式的应用专题：计算题分析：先将原极坐标方程（cos+sin）=1和点化成直角坐标方程或直角坐标，再利用直角坐标方程进行求解即得解答：解：将原极坐标方程（cos+sin）=1，化为化成直角坐标方程为：x+y1=0，点，化成直角坐标为：q（1，），则|pq|的最小值即为点到直线的距离d=故填：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图所示，在四边形abcd中，d=2b，且ad=1，cd=3，cosb=（）求acd的面积；（）若bc=2，求ab的长考点：余弦定理的应用；正弦定理专题：解三角形分析：（）利用已知条件求出d角的正弦函数值，然后求acd的面积；（）利用余弦定理求出ac，通过bc=2，利用正弦定理求解ab的长解答：（共13分）解：（）因为d=2b，所以 （3分）因为d（0，），所以 （5分）因为 ad=1，cd=3，所以acd的面积（7分）（）在acd中，ac2=ad2+dc22addccosd=12所以 （9分）因为 ，（11分）所以 所以 ab=4（13分）点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查18设数列an的前n项和为sn，已知a1=1，sn+1=4an+2（nn*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式考点：数列递推式；等比关系的确定专题：综合题分析：（1）由题设条件知b1=a22a1=3由sn+1=4an+2和sn=4an1+2相减得an+1=4an4an1，即an+12an=2（an2an1），所以bn=2bn1，由此可知bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（2）由题设知所以数列是首项为，公差为的等差数列由此能求出数列an的通项公式解答：解：（1）由a1=1，及sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a22a1=3由sn+1=4an+2，则当n2时，有sn=4an1+2，得an+1=4an4an1，所以an+12an=2（an2an1），又bn=an+12an，所以bn=2bn1，所以bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（6分）（2）由（i）可得bn=an+12an=32n1，等式两边同时除以2n+1，得所以数列是首项为，公差为的等差数列所以，即an=（3n1）2n2（nn*）（13分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式19如图，三棱柱abca1b1c1中，平面abb1a1底面abc，ab=bc=ca=，a1ab=120，d、e分别是bc、a1c1的中点（）试在棱ab上找一点f，使de平面a1cf；（）在（）的条件下，求二面角aa1cf的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）连结df，通过题意易得四边形a1fde是平行四边形，利用dea1f及线面平行判定定理可得结论；（）通过题意可得a1b1ab1，建立如图空间直角坐标系如图，分别求出平面a1cf，平面a1ac的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，计算即可解答：解：（）f是ab的中点，证明如下：连结df，又因为d、e分别是bc、a1c1的中点，所以dfac，又aca1c1，且a1e=a1c1，则dfa1e，故四边形a1fde是平行四边形，所以dea1f，又a1f平面a1cf，de平面a1cf，所以de平面a1cf（）由题aa1b1=60，设a1a=2，则a1b1=1，所以，则，所以a1b1ab1，过点b1作平面a1b的垂线b1z，分别以，的方向为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则有a1（1，0，0），则，设平面a1cf，平面a1ac的法向量分别为m=（x1，y1，z1），n=（x2，y2，z2），由即，取，由即，取，所以，所以二面角aa1cf的余弦值为点评：本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题20据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人（1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数（2）由题设知第一组在校学生人数=1，2，3，分别求出p（=1），p（=2），p（=3），由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，=0.05，解得x=60 持“无所谓”态度的人数共有3600210012060060=720 应在“无所谓”态度抽取720=72人 （2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，在所抽取的6人中，在校学生为=4人，社会人士为=2人，于是第一组在校学生人数=1，2，3，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，即的分布列为： 1 2 3pe=1+2+3=2点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题21设椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为a，过a与af2垂直的直线交x轴负半轴于q点，且2=（）求椭圆c的离心率；（）若过a、q、f2三点的圆恰好与直线xy3=0相切，求椭圆c的方程；（）过f2的直线l与（）中椭圆交于不同的两点m、n，则f1mn的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用a（0，b），f1为qf2的中点设f1（c，0），f2（c，0），则q（3c，0），通过，列出c的方程，求出c，即可得到离心率（）利用rtqaf2外接圆与直线相切，推出d=r，求出c=1，然后纠错a，b，即可求椭圆c的方程（）设m（x1，y1），n（x2，y2），利用设f1mn的内切圆的半径为r，得到f1mn的周长为4a=8，表示出f1mn内切圆的面积表达式，说明r最大，也最大可设直线l的方程为x=my+1，与椭圆联立，通过韦达定理化简，利用基本不等式求出最值即可解答：解：（）由题a（0，b），f1为qf2的中点设f1（c，0），f2（c，0），则q（3c，0），由题，即，3c2+（a2c2）=0即a2=4c2（）由题rtqa