广东省茂名市化州市高三数学上学期第一次模拟试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省茂名市化州市高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1已知集合a=x|0x2，b=x|x0或x1，则ab=（）a（，1（2，+）b（，0）（1，2）c（1，2d（1，2）2已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）a第四象限b第三象限c第二象限d第一象限3已知等比数列an的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则an的前8项和为（）a127b255c511d10234既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）ay=sinxby=cosxcy=sin2xdy=cos2x5已知（，），sin=，则tan（）=（）a7bc7d6阅读如图所示的程序框图若输入a=6，b=1，则输出的结果是（）a1b2c3d47下列说法中，正确的是（）a命题“若ax2bx2，则ab”的逆命题是真命题b命题“x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题c命题“tr，t2t0”的否定是tr，t2t0d命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”均为假命题8abc中，角a，b，c所对边的边长分别为a，b，c，若=，则abc一定是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等边三角形9已知圆c：（x+1）2+y2=r2与抛物线d：y2=16x的准线交于a，b两点，且|ab|=8，则圆c的面积（）a5b9c16d2510一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a64b72c80d11211已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）abcd12设函数f（x）=若f（f（t）2，则实数t的取值范围是（）a（，b，+）c（，2d2，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=14若在区域内任取一点p，则点p落在单位圆x2+y2=1内的概率是15直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，则实数a的值为16设f1，f2是双曲线c：（a0，b0）的两个焦点若在c上存在一点p使pf1pf2，且pf1f2=30，则c的离心率为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）共5小题，满分60分）17已知各项都不相等的等差数列an，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2+2n，求数列bn的前n项和sn18对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取m名学生作为样本，得到这m名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）mp15，20）24n20，25）40.125，30）20.05合计m1（）求出表中m，p及图中a的值；（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间20，30）内的概率19如图，四棱pabcd的底面abcd为正方形，pa底面abcd，e、f分别是ac、pb的中点（1）求证：ef平面pcd；（2）求证：平面pbd平面pac20已知椭圆e的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上（1）求椭圆e的方程；（2）若斜率为直线l与椭圆e交于不同的两点b、c，当abc面积的最大值时，求直线l的方程21已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2（）求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（）对一切的x（0，+），2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22在abc中，ab=ac，过点a的直线与其外接圆交于点p，交bc延长线于点d（1）求证：；（2）若ac=3，求apad的值【选修4-4：坐标系与参数方程】23（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线c1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=2sin（）把c1的参数方程化为极坐标方程；（）求c1与c2交点的极坐标（0，02）【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x1|x+2|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）t23t在0，1上无解，求实数t的取值范围2015-2016学年广东省茂名市化州市高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1已知集合a=x|0x2，b=x|x0或x1，则ab=（）a（，1（2，+）b（，0）（1，2）c（1，2d（1，2）【考点】集合的含义；交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：集合a=x|0x2=0，2，b=x|x0或x1=（，0）（1，+）则集合ab=（1，2故选：c【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题2已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）a第四象限b第三象限c第二象限d第一象限【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数=在复平面内所对应的点位于第一象限故选：d【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3已知等比数列an的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则an的前8项和为（）a127b255c511d1023【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案【解答】解：2a4、a6、48成等差数列，2a6 =2a4 +48，2a1q5=2a1q3+48，又等比数列an的公比q=2，解得，a1=1，an的前8项和为故选b【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式属于基础题4既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（）ay=sinxby=cosxcy=sin2xdy=cos2x【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数的奇偶性排除a、c，再根据函数的单调性排除d，经检验b中的函数满足条件，从而得出结论【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除a、c由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2，且在（0，）上是减函数，故满足条件由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于，在（0，）上是减函数，在（，）上是增函数，故不满足条件故选b【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题5已知（，），sin=，则tan（）=（）a7bc7d【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可【解答】解：a（，），sina=，cosa=，则tana=tan（a）=7故选a【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题6阅读如图所示的程序框图若输入a=6，b=1，则输出的结果是（）a1b2c3d4【考点】程序框图【专题】常规题型【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果【解答】解：当输入a=6，b=1时，x=52，进入循环得a=4，b=6，此时x=2，退出循环，输出的结果为2故选b【点评】本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题7下列说法中，正确的是（）a命题“若ax2bx2，则ab”的逆命题是真命题b命题“x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题c命题“tr，t2t0”的否定是tr，t2t0d命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”均为假命题【考点】四种命题【专题】综合题；阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑【分析】分别写出原命题的逆命题、逆否命题判断a，b；写出原命题的否定判断c；由复合命题的真假判断判断d【解答】解：命题“若ax2bx2，则ab”的逆命题为：“若ab，则ax2bx2”，x2=0时不成立，是假命题a错误；命题“x=y，则sinx=siny”为真命题，则其逆否命题为真命题b错误；命题“tr，t2t0”的否定是tr，t2t0c正确；命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”至少一个为假命题d错误故选：c【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题，是基础题8abc中，角a，b，c所对边的边长分别为a，b，c，若=，则abc一定是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等边三角形【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tana与tanb相等，根据a和b都为三角形的内角，得到a与b相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形abc为等腰三角形【解答】解：根据正弦定理： =化简已知等式得： =，即tana=tanb，由a和b都为三角形的内角，得到a=b，则abc一定为等腰三角形故选：a【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理学生做题时注意角度a和b都为三角形的内角这个条件9已知圆c：（x+1）2+y2=r2与抛物线d：y2=16x的准线交于a，b两点，且|ab|=8，则圆c的面积（）a5b9c16d25【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的准线，进而求出弦心距d，结合，可得答案【解答】解：抛物线d：y2=16x的准线方程为x=4，圆c的圆心（1，0）到准线的距离d=3，又由|ab|=8，=25，故圆c的面积s=25，故选：d【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a64b72c80d112【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体分别求得体积再相加【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4v正方体=sh2=424=64，v四棱锥=sh1=16，所以v=64+16=80故选：c【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）abcd【考点】函数的图象与图象变化【专题】函数的性质及应用【分析】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除a、c，由x0时，函数值恒正，排除d【解答】解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项a、c，又当x=1时，函数值等于0，故排除d，故选 b【点评】本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项排除法是解选择题常用的一种方法12设函数f（x）=若f（f（t）2，则实数t的取值范围是（）a（，b，+）c（，2d2，+）【考点】分段函数的应用【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】运用换元法，令a=f（t），则f（a）2，即有或，分别解出它们，再求并集可得a2即有f（t）2，则或，分别解出它们，再求并集即可得到【解答】解：令a=f（t），则f（a）2，即有或，即有2a0或a0，即为a2即有f（t）2，则或，即有t0或0t，即有t则实数t的取值范围是（，故选a【点评】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=2【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果【解答】解：已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=0，故=（）（）=（）（）=+=4+00=2，故答案为 2【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题14若在区域内任取一点p，则点p落在单位圆x2+y2=1内的概率是【考点】简单线性规划；几何概型【专题】概率与统计【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案【解答】解：满足约束条件区域为abc内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点p落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为p=故答案为：【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=n（a）n求解15直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，则实数a的值为3或1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用【分析】先对y=x3a进行求导，设出切点，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可得答案【解答】解：设切点为p（x0，y0），对y=x3a求导数是y=3x2，由题意可得3x02=3x0=1（1）当x=1时，p（x0，y0）在y=3x+1上，y=31+1=4，即p（1，4）又p（1，4）也在y=x3a上，4=13aa=3（2）当x=1时，p（x0，y0）在y=3x+1上，y=3（1）+1=2，即p（1，2）又p（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3aa=1综上可知，实数a的值为3或1故答案为：3或1【点评】本题考查导数的运用，主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题16设f1，f2是双曲线c：（a0，b0）的两个焦点若在c上存在一点p使pf1pf2，且pf1f2=30，则c的离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意可知f1pf2=90，pf2f1=60，|f1f2|=2c，求得|pf1|和|pf2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得【解答】解：依题意可知f1pf2=90|f1f2|=2c，|pf1|=|f1f2|=c，|pf2|=|f1f2|=c，由双曲线定义可知|pf1|pf2|=2a=（1）ce=故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）共5小题，满分60分）17已知各项都不相等的等差数列an，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2+2n，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，（a1+d）2=a1（a1+5d），由可解得：a1，d，即可得解（2）由（1）可知：bn=23n2+2n，利用等比（等差）数列的求和公式即可得解【解答】解：（1）a4=10，设等差数列an首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，a1，a2，a6成等比数列，可得：（a1+d）2=a1（a1+5d），由可解得：a1=1，d=3，an=3n26分（2）由（1）可知：bn=23n2+2n，所以，求数列bn的前n项和sn=b1+b2+bn=（2+24+27+23n2）+2（1+2+n）=+2=（8n1）+n（n+1）12分【点评】本题主要考查了等比数列，等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基本知识的考查18对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取m名学生作为样本，得到这m名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）mp15，20）24n20，25）40.125，30）20.05合计m1（）求出表中m，p及图中a的值；（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间20，30）内的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（）根据分组20，25）内的频数是4，频率是0.1可求得样本容量m，再求出m、a的值；（ii）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，写出从中任选2人的所有基本事件，求出至多一人参加社区服务次数在区间20，30）内的基本事件个数，利用基本事件个数比求概率【解答】解：（）由分组20，25）内的频数是4，频率是0.1知，m=40所以4+24+m+2=40，m=10p=所以a=；（）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间25，30）内的人为b1，b2则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（，a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1）（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共15种情况，而两人都在25，30）内只能是（b1，b2）一种，所以p=1=【点评】本题考查了频率分别表，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数19如图，四棱pabcd的底面abcd为正方形，pa底面abcd，e、f分别是ac、pb的中点（1）求证：ef平面pcd；（2）求证：平面pbd平面pac【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明ef平面pcd；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面pbd平面pac【解答】解：（1）如图，连结bd，则e是bd的中点，又f是pb的中点，efpd又ef平面pcd，pd面pcdef平面pcd（2）abcd是正方形，bdac，pa平面abc，pabd，又paac=a，bd面pac又bd平面pbd，故平面pbd平面pac【点评】本题主要考查直线和平行平行以及面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理20已知椭圆e的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上（1）求椭圆e的方程；（2）若斜率为直线l与椭圆e交于不同的两点b、c，当abc面积的最大值时，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征【专题】计算题；数形结合；转化思想【分析】（1）求出抛物线的焦点，即得椭圆的焦点，设出椭圆方程为将点a（1，）代入，求出a，即得椭圆方程；（2）用待定系数法设直线bc的方程为y=x+m，将其与椭圆的方程联立求同弦长bc，再求出点a到此弦的距离，将三角形的面积用参数表示出，判断出它取到最大值时的参数m的值即可得到直线l的方程【解答】解：（1）由已知抛物线的焦点为（0，），故设椭圆方程为将点a（1，），代入方程得，得a2=4或a2=1（舍）故所求椭圆方程为（2）设直线bc的方程为y=x+m，设b（x1，y1），c（x2，y2）代入椭圆方程并化简得，由=8m216（m24）=8（8m2）0可得m28，由，故|bc|=|x1x2|=又点a到bc的距离为d=故=当且仅当2m2=162m2，即m=2时取等号（满足式），s取得最大值此时求直线l的方程为y=x2【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是设出直线的方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系，将三角形的面积用参数表示出来，本题解题过程中利用判别式判断出最值取到时参数的值，这是本题中的一个难点，由于对知识掌握得不熟练，答题者可能到这里就不知道怎么来求参数的值，导致解题失败，数学学习，知识掌握得全面是灵活运用的基础21已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2（）求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（）对一切的x（0，+），2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】（i）求出f（x），令f（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（）求出g（x），把f（x）和g（x）代入2f（x）g（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：（）f（x）=lnx+1令f（x）0解得f（x）的单调递减区间为令f（x）0解得f（x）的单调递增区间为；（）当时，t无解当，即时，；当，即时，f（x）在t，t+2上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；（）由题意：2xlnx3x2+2ax1+2即2xlnx3x2+2ax+1x（0，+）设，则令h（x）=0，得（舍）当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=2a2故实数a的取值范围2，+）【点评】本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22在abc中，ab=ac，过点a的直线与其外接圆交于点p，交bc延长线于点d（1）求证：；（2）若ac=3，求apad的值【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）先由角相等cpd=abc，d=d，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于acd=apc，cap=cap，从而得出两个三角形相似：“apcacd”结合相似三角形的对应边成比例即得apad的值【解答】解：（1）cpd=abc，d=d，dpcdba，又ab=ac，（2）acd=apc，c