合肥一中2013届理科数学二轮复习专题讲义专题二立体几.doc

合肥一中2013届理科数学二轮复习专题讲义专题二：立体几何编写：梁方志一、高考回顾1、（2010-18）（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.2、（2011-17）（本小题满分12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形.（1）证明直线；（2）求棱锥FOBED的体积.3、（2012-18）（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，.现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（1）证明：； （2）求的长；（3）求二面角的余弦值.解析：（1）取的中点为点，连接 则，面面面同理：面 得：共面又面（2）延长到，使 得： ，面面面面 （3）是二面角的平面角 在中， 在中， 得：二面角的余弦值为.二、题型示例考试说明（2013版）中有以下例题：例7（2011安徽）例8（2010安徽）三、经典例题1、如图，ABCD与ABEF是全等的直角梯形，ABAD，底面四边形ADGF为菱形，二面角=1200，AD=2BC=4，AB=2，（1）求证：FDBG（2）求证：CE / DF（3）求三棱锥ACEG的体积.解析：（3）2、（2012北京）如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.（1）求证：A1C平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解析：（1）因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD.所以A1C平面BCDE.（2）如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1（0,0，2），D（0,2,0），M（0,1，），B（3,0,0），E（2,2,0）设平面A1BE的法向量为n（x，y，z），则n0，n0.又（3,0，2），（1,2,0），所以令y1，则x2，z.所以n（2,1，）设CM与平面A1BE所成的角为.因为（0,1，），所以sin|cosn，| 所以CM与平面A1BE所成角的大小为.（3）线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为（p,0,0），其中p0,3设平面A1DP的法向量为m（x，y，z），则m0，m0.又（0,2，2），（p，2,0），所以令x2，则yp，z.所以m.平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0时成立，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直变式：已知正四面体ABCD（图1），沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是（图2）所示的直角梯形A1A2A3D（梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A）（1）证明：ABCD；（2）当A1D10，A1A28时，求四面体ABCD的体积解析：（1）证明：在四面体ABCD中，AB平面ACDABCD.（2）解：在题图2中作DEA2A3于E.A1A28，DE8.又A1DA3D10，EA36，A2A310616.又A2CA3C，A2C8.即题图1中AC8，AD10，由A1A28，A1BA2B得图1中AB4.SACDDEA3C8832.又AB面ACD，VBACD324.3、 （2011广东理-18）如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB60，PAPD，PB2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD平面DEF；（2）求二面角PADB的余弦值解析：解法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD.因PAPD，有PGAD，在ABD中，ABAD1，DAB60，有ABD为等边三角形，因此BGAD，BGPGG，所以AD平面PBGADPB，ADGB.又PBEF，得ADEF，而DEGB得ADDE，又FEDEE，所以AD平面DEF.（2）PGAD，BGAD，PGB为二面角PADB的平面角在RtPAG中，PG2PA2AG2，在RtABG中，BGABsin 60，cosPGB.解法二：（1）证明：取AD中点为G，因为PAPD，所以PGAD.又ABAD，DAB60，ABD为等边三角形，因此，BGAD，从而AD平面PBG.延长BG到O且使得POOB，又PO平面PBG，POAD，ADOBG，所以PO平面ABCD.以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系设P（0,0，m），G（n,0,0），则A，D.|sin 60，B，C，E，F.由于（0,1,0），得0，0，ADDE，ADFE，DEFEE，AD平面DEF.（2），2，解之，得m1，n.取平面ABD的法向量n1（0,0，1），设平面PAD的法向量n2（a，b，c），由n20，得ac0，由n20，得ac0，取n2.cosn1，n2.4、（2012江西）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求二面角A1B1C1C的余弦值解析： （1）连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，因为AA1BB1，得OEBB1，因为A1O平面ABC，所以A1OBC.因为ABAC，OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1C1C，又AO1，AA1，得AE.（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1,0,0），B（0,2,0），C（0，2,0），A1（0,0,2），由得点E的坐标是，由（1）得平面BB1C1C的法向量是，设平面A1B1C的法向量n（x，y，z）， 令y1，得x2，z1，即n（2,1，1），所以cos，n 即二面角的余弦值是.5、如图多面体ABCA1B1C1和它的三视图.（1）线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1，若不存在请说明理由，若存在请找出并证明；（2）求二面角C1A1CA的余弦值.解析：由（1）知两两垂直，如图建系，则，1分设，则3分设则，4分由，得所以线段上存在一点，使平面6分另证：补形成正方体，易证（2）设平面的法向量为，则由，得，取，则故，8分而平面的一个法向量为，则11分二面角的余弦值为12分6、已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P（1） 求曲线长度；（2） 是否存在，使得二面角的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由解析：解法一：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD.由于，,所以这实际上是一个正方形.所以曲线的长度为.3分（2）当时，点恰好为AB的中点，所以P为中点，故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等.连结AP、BP，OP. 由且知：平面APB.从而平面平面APB.作于H，则平面APB.所以，即为点到平面APB的距离.在中，所以.于是：.所以，点到平面APB的距离为7分（3）由于二面角为直二面角，故只要考查二面角是否为即可.过作于Q，连结PQ.由于，所以平面，所以.于是即为二面角的平面角.在中，.若，则需，即.令，则，故在单调递减.所以，即在上恒成立.故不存在，使.也就是