【备战2013】高考数学专题讲座 第26讲 高频考点分析之.doc

吴亚旭08高频考点分析之圆锥曲线探讨一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质：典型例题：例1.（2012年全国课标卷理5分）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为【 】 例2. （2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为【 】 例3. （2012年四川省理5分）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则【 】A、 B、 C、 D、例4. （2012年四川省理5分）方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有【 】A、60条 B、62条 C、71条 D、80条例5. （2012年安徽省理5分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若； 则的面积为【 】 二、圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知为双曲线的左右焦点，点在上，则【 】A B C D例2. （2012年福建省理5分）已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 】A. B4 C3 D5例3. （2012年北京市理5分）在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为 例4. （2012年安徽省文5分）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= 例5. （2012年辽宁省文5分）已知双曲线，点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若,则的值为 .三、点与圆锥曲线的关系问题：典型例题：例1. （2012年浙江省理4分）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数 例2. （2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）例3. （2012年福建省理13分）如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.（）求椭圆E的方程；（II）设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由四、直线与圆锥曲线的关系问题：典型例题：例1. （2012年辽宁省文5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为【 】(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8例2. （2012年湖北省理5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则（）双曲线的离心率e= ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 。例3. （2012年全国大纲卷理12分）已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。（1）求；（2）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。例4. （2012年全国课标卷理12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。五、动点轨迹方程：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为【 】A B C D例2. （2012年山东省理5分）已知椭圆C：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【 】A B C D 例3. （2012年山东省文5分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为【 】 A B C D 例4. （2012年湖南省理5分）已知双曲线C ：的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为【 】A B. C. D. 【答案】A。例5. （2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.例6. （2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。典型例题：例1. （2012年四川省理4分）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 。例2. （2012年四川省文4分）椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。例3. （2012年山东省理13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。（）求抛物线C的方程；（）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当时，的最小值。例4. （2012年山东省文13分）如图，椭圆M：的离心率为，直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程；() 设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形ABCD有两个不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值.例5. （2012年广东省理14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。七、圆锥曲线中定值问题：典型例题：例1. （2012年上海市理16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线交于P、Q两点，若与圆相切，求证：OPOQ；（6分） （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）例2. （2012年江西省理13分）已知三点，曲线上任意一点满足。（1）求曲线的方程；（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为。问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值。若不存在，说明理由。例3. （2012年湖南省理13分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（）设为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.例4. （2012年辽宁省理12分） 如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。例5. （2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值高频考点分析之圆锥曲线探讨一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质：典型例题：例1.（2012年全国课标卷理5分）【答案】。例2. 【答案】。例3.【答案】B。例4. 【答案】B。例5. 【答案】。二、圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）【答案】C。例2. 【答案】A。例3. 【答案】。例4. 【答案】。例5. 【答案】。三、点与圆锥曲线的关系问题：典型例题：例1. （2012年浙江省理4分）【答案】。例2. 【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 A（0，12）， 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanOAP=，得，救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。 由，整理得。 当即=1时最小，即。 救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。例3. 【答案】解：（）|AB|AF2|BF2|8，|AF1|F1B|AF2|BF2|8。又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2。又e，即，以c1。b。椭圆E的方程是1。（II）由得(4k23)x28kmx4m2120。动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，m0且0，64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，此时x0，y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则0对满足式的m、k恒成立。，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130。式对满足式的m，k恒成立，解得x11。存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。四、直线与圆锥曲线的关系问题：例1. （2012年辽宁省文5分）【答案】C。例2. 【答案】（）；（）。例3. （2012年全国大纲卷理12分）【答案】解：（1）设，对求导得。直线的斜率，当时，不合题意，。圆心为，的斜率，由知，即，解得。（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为即。若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得，解得。抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 。得，将代入得，故。到直线的距离为。例4. 【答案】解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边。 点到准线的距离。 ，。 。 ，。 圆的方程为。 （2）由对称性设，则 三点在同一直线上，点关于点对称，得：。，即 ，直线，整理得。 直线的斜率为。 又直线与平行，直线的斜率为。 由得，。 直线与只有一个公共点，令，得。切点。直线，整理得坐标原点到距离的比值为。五、动点轨迹方程：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）【答案】C。例2. 【答案】D。例3. 【答案】D。例4.【答案】A。例5. 【答案】。例6. （2012年四川省文12分）【答案】解：（）设M的坐标为（x，y），当x=1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在；，MA的斜率为，MB的斜率为。由题意，有=4，化简可得，。轨迹的方程为（）。（）由消去y，可得 () 对于方程()，其判别式，而当1或1为方程（*）的根时，m的值为1或1，结合题设可知，且m1。设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。，。 。此时，且。 且。且。综上所述，的取值范围为 。，且m1。设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围。六、圆锥曲线中最值问题：典型例题：例1. （2012年四川省理4分）【答案】3。例2. 【答案】。例3.【答案】解：（）F抛物线C：x2=2py（p0）的焦点F，设M，。由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得。抛物线C的方程为。（）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，而，即。由可得，则，即，解得，点M的坐标为。（）点M的横坐标为，点M，。由可得。设，则。圆，圆心到直线l 的距离。，令。 。设，则。当时，即当时，。当时，。例4.【答案】解：()椭圆M：的离心率为，即。 矩形ABCD面积为8，即由解得：。椭圆M的标准方程是。(II)由得。设，则。由得。当过A点时，当过C点时，。当时，有，。设，则。当，即时，取得最大值。当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。 当时，当时，取得最大值。综上可知，当时，取得最大值。例5. （2012年广东省理14分）【答案】解：（1），可设 。 ，故椭圆C的方程为。设为椭圆上的任一点，则。，当时，取得最大值，即取得最大值。又椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3，解得。所求的椭圆C方程为。（2）假设点M（m，n）存在，则 ， 即圆心O到直线的距离。 。 （当且仅当，即时取等号）。解得，即或或或。 所求点M的坐标为，对应的OAB的面积为。七、圆锥曲线中定值问题：1【答案】解：（1）双曲线的左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即。 解方程组，得。 所求三角形的面积为。 （2）证明：设直线PQ的方程是 直线与已知圆相切， 故，即。 由，得。 设，则. 又，。OPOQ。 （3）当直线ON垂直于轴时， |ON|=1，|O|=，则O到直线MN的距离为。 （此时，N在轴上，在轴上） 当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则由OMON，得直线OM的方程为。 由，得。同理。 设O到直线MN的距离为， ，即。 综上所述，O到直线MN的距离是定值。例2. 【答案】解：（1）由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，()(x，y)(0,2)2y。由已知得2y2，化简得曲线C的方程：x24y。（2）假设存在点P(0，t)(t0)满足条件，则直线PA的方程是yxt，PB的方程是yxt。曲线C在Q处的切线l的方程是yx，它与y轴交点为F。由于2x02，因此11。当1t0时，1，