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文档简介

一 、欧拉定理设的整数，.例1 设，求的末三位数.解 由二项式定理，是一个正整数.记，因为.而是一个正整数，则所以于是又因为，又所以， ，则 ，所以则因为所以，于是，有，又因为，所以，即，所以，于是，有.所以所以.故的末三位数是.二、费马小定理（1）为素数，且则；（2）为素数，则.例2 为整数，证明.证明 ，由于所以.即.由于奇数的4次方被16除余1，偶数的4次方被16除余0，故有.即.又由于则，即.又两两互素，故.例3 设整数，求证不是素数.证明由于所以，即.又 ，同理 则.即.从而不是素数.例4 设中有无穷多项被整除.证明 当当，所以对任意的，即.特别地，取.则.令则，即.三、威尔逊定理设 .证明 考虑多项式.由费马小定理，当所以则.则设.得，则.取代入，得所以.例5 .证明：若为奇素数，则.证明：.而为奇素数，有.四、中国剩余定理设有整数解.令则同余方程组在模下的解是唯一的.令，则解为.例6 证明：对任意给定的正整数其中每一个都有大于.分析：则.证明： 设存在正整数解，设为一个正整数解，则满足要求.例7 任给正整数，存在 证明 设，同余方程组存在正整数解例8 给定正整数，设是使能被整除的最小正整数.证明：当且仅当为2的幂时，有.分析：，因为，所以.则问题归结为：证明：（1）当.当，.综上，知.（2）分析：.（证明）令此时需证，即证存在即可. 构造同余方程组（1）由中国剩余定理知，同余方程组（1）有正整数解，则.从而有，即，.考虑的取值范围：若这与相矛盾，故.若，这与相矛盾,故.从而有，于是得证.五、阶及应用定理1 设.证明： 互质，所以有.由抽屉原则，使得，令.定义1：设.注：若.当.定理2 设，则证明：令，则.而，所以.而知.从而推论：若.特例：当时，.例9 设证明：显然假设
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