股沟定理的逆定理.doc

17.1勾股定理（1）教学目标：知识与技能：1 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。 2 了解利用拼图验证勾股定理的方法。过程与方法：1 在勾股定理的探索中，发展合情推理能力。 2 经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。情感态度价值观：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。在探究过程中，体验解决问题方法的多样性，培养学生合作意识和探索精神。重点：探索和验证勾股定理。难点：用拼图的方法验证勾股定理教学准备：多媒体教学过程：一、创设情境，引入课题 国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议2002年在北京召开了第24届国际数学家大会如图就是大会的会徽的图案A A B C 问题1你见过这个图案吗？它由哪些基本图形组成？ B 问题2三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？C 追问 由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？【教师活动】教师引导并让学生回答适当加以鼓励。【学生活动】学生讨论交流 得出结论【设计意图】让学生进行探究，得出结论，增强学生的语言表达能力和语言概括能力。二、探究勾股定理CAABC问题3在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积B关系？追问 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？问题4通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？ 猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2【教师活动】如何证明猜想的结果，指导学生进行小组探究讨论。介绍定理的概念，并对定理加以说明。【学生活动】学生讨论交流 得出结论【设计意图】让学生进行探究，得出结论，通过了解勾股定理，增加民族自豪感。c b a （b-a）2 黄实 朱实 三、感受数学文化这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有400 多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料AAA225 144 80 24 17 8 四、初步应用定理练习2如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12求最大正方形E 的面积 通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树A B C D E 练习3求下列直角三角形中未知边的长度A B C 4 6 x 课堂小结：（1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？（2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？【教师活动】学生小结后进行补充，帮助学生形成知识网络。【学生活动】学生归纳总结，体会、反思。【设计意图】通过小结帮助学生养成整理知识的习惯。布置作业：【教师活动】教师布置分层要求。【学生活动】学生按要求完成。【设计意图】加深认识、深化提高，形成体系。板书设计：17.1勾股定理（1）教学反思17.1勾股定理（2）教学目标：知识与技能：能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的 实际问题。过程与方法：在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长情感态度价值观：在数学活动中发展学生探究意识和合作交流的习惯。重点：运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题难点：勾股定理的灵活应用。 教学准备：多媒体教学过程：一、说一说勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2已知一个直角三角形的两边，应用勾股定理可以求出第三边，这在求距离时有重要作用【教师活动】教师提出问题【学生活动】学生回答问题【设计意图】帮助学生回顾勾股定理，加深定理的理解。二、想一想例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路）解：在RtABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5AC= 2.24D C 2 m B A 因为大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过【教师活动】教师引导并让学生回答适当加以鼓励。【学生活动】学生讨论交流，与教师共同完成例题的书写。【设计意图】让学生进行探究，写出解题过程，规范学生的解题格式。三、做一做例2如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4米（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米， 那么梯子底端B也外移0.5米吗？【教师活动】教师引导学生思考问题。【学生活动】学生试着独立完成此题。【设计意图】让学生进行分析，得出结论。提高分析问题解决问题的能力。跟踪练习：教科书第26页练习2四、想一想问题：如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标为（x，0），（0，y），你能求这两点之间的距离吗？C B 五、拓展提高，形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长A 各几何？分析：可设AB=x,则AC=x+1， 利用勾股定理解决实际问题的一般思路： 有AB2+BC2=AC2， （1）重视对实际问题题意的正确理解；可列方程，得x2+52= ， （2）建立对应的数学模型，运用相应的数学知识；通过解方程可得 （3）方程思想在本题中的运用【师生活动】教师分析，引导学生顺利解决问题，总结勾股定理解决实际问题的一般思路。【设计意图】加深对知识的理解和巩固，理清用勾股定理解决问题的一般思路。 六、巩固练习如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？【教师活动】教师引导并让学生分组讨论。【学生活动】学生讨论交流，得出结论，写出解题过程。【设计意图】让学生进行小组探究，得出结论，加深对知识的理解和巩固。 七、课堂小结（1）利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？（2）你觉得解决实际问题的难点在哪里？你有什么好的突破办法？利用勾股定理解决实际问题的注意点是什么？请与大家交流（3）本节课体现出哪些数学思想方法，都在什么情况下运用？【教师活动】学生小结后进行补充，帮助学生形成知识网络。【学生活动】学生归纳总结，体会、反思。【设计意图】通过小结帮助学生养成整理知识的习惯。布置作业：【教师活动】教师布置分层要求。【学生活动】学生按要求完成。【设计意图】加深认识、深化提高，形成体系。板书设计：17.1勾股定理（2）1 m 教学反思： 17.1勾股定理（3）教学目标：知识与技能：能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理；能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；过程与方法：经历勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的使用方法。情感态度价值观：体会勾股定理在数学中的地位和作用重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段难点：灵活运用勾股定理。 教学准备：多媒体教学过程：一、证明“HL” 问题1在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？【师生活动】教师提出问题，与学生一同回忆写出证明过程。【设计意图】体会直角三角形与勾股定理的联系。二、画图提高问题2我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？【教师活动】教师提出问题，对学生的回答作出点评。【学生活动】思考，讨论后得出结果。【设计意图】掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力。练习1教科书第27页练习1三、类比迁移思考：这个美丽的图案是怎么画出来的？它一句的是什么数学知识？【教师活动】教师提出问题，对学生的回答作出点评并总结画法。 【学生活动】观察，思考，说出讨论后的结果，多个学生反复重复得到的结论。【设计意图】培养学生的表达能力，体会解决问题的乐趣，经历探究的过程， “数学海螺”便于学生理解新知。四、应用提高例 如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB =ECD =90，D为AB边上一点求证：AD2 +DB2 =DE2证明：ACB =ECD， ACD +BCD=ACD +ACE ， BCD =ACE 又 BC=AC， DC=EC， ACEBCDB =CAE=45， DAE =CAE +BACDAE =45 + 45=90AD2 +AE2 =DE2AE=DB ，AD2 +DB2 =DE2练习2教科书第27页练习2五、课堂小结（1）勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？（2）你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？（3）本节课体现出哪些数学思想方法？【教师活动】教师根据学生的回答，给予恰当的评价。【学生活动】思考后说出本节课的所思所感。【设计意图】引导学生积极的发表自己的看法，梳理所学到的知识，加深对知识的理解与巩固。布置作业：【教师活动】教师布置分层要求。【学生活动】学生按要求完成。【设计意图】加深认识、深化提高，形成体系。板书设计：17.1勾股定理（3）教学反思： 17.2勾股定理的逆定理（1）教学目标：知识与技能：理解勾股定理的逆定理，经历“观察测量猜想论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想；了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题过程与方法：通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识产生，发展和形成的过程。情感态度价值观：通过用三角形三边间的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系。重点：探索并证明勾股定理的逆定理. 难点：勾股定理的逆定理的证明。教学准备：多媒体教学过程：一、回忆旧知，再次梳理 问题1 回忆勾股定理的内容 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c 结论： a2+b2=c2 二、逆向思考 提出问题思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是否是直角三角形？据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？【教师活动】教师深入小组，帮助并指导学生讨论。仔细听取学生的回答，然后做出总结归纳。【学生活动】思考讨论交流后说出自己的看法。【设计意图】鼓励学生大胆发言，锻炼他们的语言表达和总结概括的问题的能力。三、精确验证 提出猜想实验操作： （1） 画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ 2.5，6，6.5； 6，8，10 （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想 四、逻辑推理 证明结论已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2求证：ABC是直角三角形【教师活动】帮助指导学生探索过程，汇总学生讨论结果，然后详细的分析讲解此题的证明过程。【学生活动】分组探索，讨论如何证明。【设计意图】让学生有充分的探索，讨论的空间，体验定理的产生，发展，形成的过程。让学生亲身体验成功的喜悦。五、演绎推理 形成定理定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形【师生活动】帮助指导学生探索过程，汇总学生讨论结果，然后详细的分析讲解此题的证明过程。【设计意图】学会判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形。六、巩固应用 巩固知识例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a=15，b=17，c=8； （2） a=13，b=15，c=14； （3） a= ，b=4，c=5分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数152+82 =172.以15，8，17为边长的三角形是直角三角形七、阶段小结 适时梳理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理的逆命（定）题定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题八、直接运用 巩固知识说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； 逆命题：内错角相等，两直线平行真命题（2）对顶角相等； 逆命题：相等的角是对顶角 假命题（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上真命题（任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题）【师生活动】教师给出题目，学生回答。【设计意图】巩固新知，加深映像。九、课堂小结（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？【教师活动】教师根据学生的回答，给予恰当的评价。【学生活动】思考后说出本节课的所思所感。【设计意图】引导学生积极的发表自己的看法，梳理所学到的知识，加深对知识的理解与巩固。布置作业：【教师活动】教师布置分层要求。【学生活动】学生按要求完成。【设计意图】加深认识、深化提高，形成体系。板书设计：17.2勾股定理的逆定理（1）教学反思： 17.2勾股定理的逆定理（2）教学目标：知识与技能：应 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 解 决 实 际问 题 ；进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识。过程与方法：经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步的体会勾股定理的应用方法。情感态度价值观：通过本节课的学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用于数学。重点：应用勾股定理逆定理解及应用。难点： 勾股定理逆定理的证明。教学准备：多媒体教学过程：一、回顾与复习 问题1上节课我们学习了勾股定理的逆定理，请说出它的内容及用途；并说明它与勾股定理的联系与区别二、例题讲解例1某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且 相距30 n mile 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【教师活动】教师提出问题，对学生的回答作出详细点评，强调勾股定理的逆定理的数学语言表达，强化勾股数的掌握。【学生活动】学生陈述探讨解题方法，教师分析后，板演出解题过程。【设计意图】掌握勾股定理逆定理的应用。三、巩固练习练习1教科书第33页练习3四、例题讲解例2如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90，求四边形ABCD的面积解：AB=3，BC=4，B=90，AC=5又CD=12，AD=13，AC2+CD2=52+122=169 又AD2=132=169，即AC2+CD2=AD2，ACD是直角三角形四边形ABCD的面积为 【教师活动】教师提出问题，组织学生分析。【学生活动】学生陈述探讨解题方法，教师分析后，板演出解题过程。【设计意图】掌握解题格式。探讨中应注意的三个问题：1 我们所学过的利用公式求面积的图形有哪些？2 求不规则图形面积有哪些方法？3 认真阅读题意，根据已知数据可得到什么结论？五、巩固练习练习2如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90点E是BC的中点，点F是CD上一点，且 求证：AEF=90六、拓展练习问题2通过例1及例2的学习，我们进一步学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什么关系？追问1类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否也是勾股数？如何验证？追问2通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想？结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数)也是一组勾股数 【设计意图】加深认识、深化提高。七、课堂小结（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及其逆定理的用途及用法，你能说说吗？（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？【教师活动】学生小结后进行补充，帮助学生形成知识网络。【学生活动】学生归纳总结，体会、反思。【设计意图】通过小结帮助学生养成整理知识的习惯。布置作业：【教师活动】教师布置分层要求。【学生活动】学生按要求完成。【设计意图】加深认识、深化提高，形成体系。板书设计：17.2勾股定理的逆定理（2）教学反思： 第17章 勾股定理数学活动教学目标：知识与技能：通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维过程与方法：在证明勾股定理过程中体会“出入相补”的思想，发展逻辑思维；情感态度价值观：了解勾股定理历史，感受数学文化重点：玩拼图游戏，体会出入相补思想。欣赏勾股定理证明思路难点：体会出入相补思想。教学准备：多媒体教学过程：一、拼图探究预习中，同学们已经阅读了教科书第36页的活动2，并用4张全等的直角三角形纸片，拼出了一些与教科书上不同的图案，用自己拼出的图案证明了勾股定理 问题1 请拿出准备好的4张全等的直角三角形纸片，把自己的拼图方案展示在桌面上.【教师活动】教师布置任务。【学生活动】学生展示交流。【设计意图】帮助学生回顾勾股定理，加深定理的理解，以及培养学生的动手操作能力。二、交流证明方法问题 2 刚才展示的这些拼图的主人都对自己的拼图作了思考，请大家根据自己画下的图形，仿照赵爽弦图中利用面积证明勾股定理的方法，考虑哪些图案是可以证明勾股定理的，若能证又该如何证明？三、展示证明方法小组指派两名代表上台展示证法，互相补充，每个小组汇报完毕，下边学生提问并总结【教师活动】教师组织学生汇报，展示后进行总结。【学生活动】学生交流，展示，与教师共同总结。【设计意图】提高学生的语言表达能力。四、小结交流请大家交流本节课的收获和体会【教师活动】教师根据学生的回答，给予恰当的评价。【学生活动】思考后说出本节课的所思所感。【设计意图】引导学生积极的发表自己的看法。布置作业：【教师活动】教师布置分层要求。【学生活动】学生按要求完成。【设计意图】加深认识、深化提高，形成体系。板书设计：第17章数学活动教学反思： 第17章 小结与复习教学目标：知识与技能：回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构，会用勾股定理解决简单的实际问题。过程与方法：思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，会用面积法证明勾股定理，会判断一个三角形是否是直角三角形。情感态度价值观：体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在 解决数学问题中的作用. 重点：勾股定理及其逆定理的应用难点：勾股定理的证明及应用。教学准备：多媒体教学过程：一、创设情境，引出课题 问题1如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想？（背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理在西方