【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 几何证明选讲教学案 理 新人教A版选修4.doc

选考部分选修41几何证明选讲1了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理2会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理3会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割线定理1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段也_推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的_成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的_成比例3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义_相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应_，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应_且夹角相等，两三角形相似引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段_，那么这条直线平行于三角形的第三边判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应_，那么这两个三角形相似简述为：三边对应_，两三角形相似(2)两个直角三角形相似的判定定理如果两个直角三角形有一个锐角对应_，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应_，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应_，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；相似三角形周长的比等于_；相似三角形面积的比等于_；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于_4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_5圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_(2)圆心角定理圆心角的度数等于_推论1同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_推论2半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_6圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1圆的内接四边形的对角_性质定理2圆内接四边形的外角等于它的_判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_7圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的_推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过_推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过_判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_8弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的_9.与圆有关的其他性质定理(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等(2)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等(3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_1在abc中，d，e分别为ab，ac上的点，且debc，ade的面积是2 cm2，梯形dbce的面积为6 cm2，求debc的值2如图，已知在abc中，acb90，cdab于d，ac6，db5，求ad的长3如图，已知圆o的两弦ab，cd相交于点p，papb4，pcpd，且apc，求圆o的半径4如图所示，过o外一点p作一条直线与o交于a，b两点已知pa2，点p到o的切线长pt4，求弦ab的长5af是圆o的直径，b，c是圆上两点，ab与ac的延长线分别交过点f的切线于点d，e.求证：(1)b，c，d，e四点共圆；(2)abadacae.一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】 如图，在abc中，d为bc中点，e在ca上且ae2ce，ad，be相交于点f，求，.方法提炼1在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明2作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果提醒：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决请做演练巩固提升3二、射影定理的应用【例2】 如图，圆o的直径ab10，弦deab，垂足为点h，且ahbh，dh4.(1)求ah的长；(2)延长ed至点p，过p作圆o的切线，切点为c，若pc2，求pd的长方法提炼1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法请做演练巩固提升1三、相似三角形的性质与判定定理的应用【例3】 (2012辽宁高考)如图，o和o相交于a，b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c，d两点，连接db并延长交o于点e.证明：(1)acbdadab；(2)acae.方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立要特别注意，三角形相似具有传递性请做演练巩固提升4四、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例4】 如图，已知pa与圆o相切于点a，经过点o的割线pbc交圆o于点b，c，apc的平分线分别交ab，ac于点d，e.(1)证明：adeaed；(2)若acap，求的值方法提炼1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角请做演练巩固提升6五、相交弦定理、切割线定理的应用【例5】 如图，已知o的割线pab交o于a，b两点，割线pcd经过圆心，若pa3，ab4，po5，求o的半径方法提炼1应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等2相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理请做演练巩固提升2六、四点共圆的判定【例6】 如图，abc是直角三角形，abc90.以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m.(1)求证：o，b，d，e四点共圆；(2)求证：2de2dmacdmab.方法提炼1证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定点的距离相等2圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形请做演练巩固提升5“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用【典例】 (10分)如图，ab是o的直径，c，f为o上的点，ca是baf的平分线，过点c作cdaf交af的延长线于d点，cmab，垂足为点m.(1)求证：dc是o的切线；(2)求证：ammbdfda.规范解答：(1)连接oc，oaoc，ocaoac.又ca是baf的平分线，dacoac.dacoca.(3分)adoc.又cdad，occd，即dc是o的切线(5分)(2)ca是baf的平分线，cdacma90，cdcm.(8分)由(1)知dc2dfda，又cm2ammb，ammbdfda.(10分)答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题(2)判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理1一直角三角形的两条直角边之比是13，求它们在斜边上的射影比2如图，pt切o于点t，pa交o于a，b两点，且与直径ct交于点d，cd2，ad3，bd6，求pb的长3如图，已知在梯形abcd中，abcd，过d与bc平行的直线交ab于点e，aceabc，求证：abceacde.4如图，abc内接于o，过点a的直线交o于点p，交bc的延长线于点d，且ab2apad.(1)求证：abac；(2)如果abc60，o的半径为1，且p为弧ac的中点，求ad的长5在梯形abcd中，abdc，abcd，k，m分别在ad，bc上，damcbk，求证：c，d，k，m四点共圆6如图，o是abc的外接圆，d是的中点，bd交ac于e.(1)求证：cd2dedb；(2)若cd2，o到ac的距离为1，求o的半径r.参考答案基础梳理自测知识梳理1相等相等平分第三边平分另一腰2对应线段对应线段3(1)对应角两个角成比例成比例成比例成比例成比例(2)相等成比例成比例(3)相似比相似比相似比的平方相似比的平方4比例中项比例中项5(1)一半(2)它所对弧的度数相等 相等直角直径6互补内角的对角共圆共圆7半径切点圆心切线8圆周角9(1)积(2)积(3)比例中项(4)夹角基础自测1解：adeabc，利用面积比等于相似比的平方可得debc12.2解：在rtabc中，acb90，cdab，ac2abad.设adx，则abx5，又ac6，62x(x5)，即x25x360.解得x4(舍去负值)，ad4.3解：如图所示，取cd中点e，连接ao，op，oe，由相交弦定理可得appbcppd4cp2，可得cp2，pd8，则pe3.又由apc，可得ope.则op2，oa2.4解：由切割线定理，得pt2papb，所以pb8.故ab6.5证明：(1)连接bf，af是圆o的直径，de与圆o切于点f，afde.又点b在圆o上，abf90，afbd.又afbacb，acbd.而acb是四边形bdec的一个外角，b，c，d，e四点共圆(2)由(1)知，acbd，abce.abcaed.，即abadacae.考点探究突破【例1】 解：过点d作dgac且交be于点g，因为点d为bc的中点，所以ec2dg.因为ae2ce，所以.从而，所以.因为bgge，所以.【例2】 解：(1)由于ab为圆o的直径，deab，dh4，故由射影定理dh2ahbh(abah)ah，即16(10ah)ah，ah210ah160.ah2或ah8.ahbh，ah2.(2)pc切圆o于点c，pc2pdpe，(2)2pd(pd8)，解得pd2.【例3】 证明：(1)由ac与o相切于a，得cabadb，同理acbdab，所以acbdab，从而，即acbdadab.(2)由ad与o相切于a，得aedbad.又adebda，得eadabd，从而，即aebdadab.结合(1)的结论，acae.【例4】 (1)证明：pa是切线，ab是弦，bapc.又apdcpe，bapapdccpe.adebapapd，aedccpe，adeaed.(2)解：由(1)知bapc，又apcbpa，apcbpa.acap，apcc.apccbap.由三角形内角和定理可知，apcccap180，bc是圆o的直径，bac90.apccbap1809090.capcbap9030.在rtabc中，即，.【例5】 解：设圆o的半径为r，由papbpcpd，得3(34)(5r)(5r)，解得r2.【例6】 证明：(1)连接be，则beec.又d是bc的中点，debd.又oeob，odod，odeodb.obdoed90.o，b，d，e四点共圆(2)延长do交圆于点h.由(1)易得de2dmdhdm(dooh)dmdodmoh，de2dmdm.2de2dmacdmab.演练巩固提升1解：如图，在直角三角形abc中，acb90，bcac13，作cdab于d，由射影定理得bc2bdab，ac2adab，则，故它们在斜边上的射影的比是19.2解：由相交弦定理，得dcdtdadb，则dt9.由切割线定理，得pt2pbpa，即(pbbd)2dt2pb(pbab)又bd6，abadbd9，(pb6)292pb(pb9)，得pb15.3证明：abcd，debc，四边形bedc是平行四边形debc.aceabc，eacbac，aceabc.，即abceacde.4解：(1)证明：连接bp.ab2apad，.又badpab，abdapb.abcapb.acbapb，abcacb.abac.(2)由(1)知abac.abc60，abc是等边三角形bac60