计量经济学讲义第十讲(共十讲).doc

浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第十讲 ARCH模型及其扩展一、数学准备：迭代期望定律 我们在第二讲中的笔记部分涉及到迭代期望定律。作为复习，此处把该定律再展示一次。如果信息集，则有，此即迭代期望定律。为了理解上述等式，考虑一个极端情况：包含了全部的信息，则基于信息集对x的预测将没有任何预测误差，即有：，因此必有。另外，无条件期望所对应的信息集是空集，因此按照迭代期望定律必有：。二、ARCH模型考虑如下一个模型： （1）其中，是白噪声，方差为；和相互独立；。对上述模型，可以验证：（1） 练习：证明上式。（2），即误差项序列无关。证明：首先， 其次，按照迭代期望定律有： 因此有：（3）证明： 令，则有差分方程： 由于，故上述差分方程满足平稳性的充分条件：（参见第八讲附 录），因此，当t趋于无穷大时收敛于均衡值，其中，即。我们一般都假定所有的时间序列其发生时间都较为久远，因此。笔记：由上述证明可以理解为何规定。上述一系列证明表明是平稳时间序列，如果再施加解释变量x严格外生的条件，则模型满足所有的高斯-马尔科夫假定。因此可以对（1）进行OLS估计得到最优线性无偏估计量。然而，OLS估计并未利用这一条件，因此，必定存在比OLS估计量更有效的估计量，显然，这样的估计量必定是非线性。我们现在不考虑如何估计模型，而是关注这个模型到底具有什么用途这个问题。 让我们来考察的条件方差。由于条件期望，因此的条件方差等于。进而有：具有什么样的含义呢？注意到表示变量y在过去时刻的波动，因此该式意味着：如果已知过去的波动比较大，则当期的波动也比较大，反之亦然。此即金融时间序列常常所具有的“波动集聚”（Volatility clustering）现象。下图就是“波动集聚”的一个例子。S&P500日收益率（1990.1 -1999.12）笔记：在上图中，似乎存在两个转折点。在第一个转折之处，波动由大变小；在第二个转折之处，波动由小变大。但统计规律所关注的是大部分观测结果所具有的规律，因此，由于转折点过少，我们忽略之。于是我们根据该图认为，如果已知过去的波动比较大，则当期的波动也比较大，反之亦然。如果假定服从标准正态分布，则我们可以证明的分布和正态分布相比较是尖峰厚尾（Leptokurtosis）的，见附录1。我们把模型重新表达为：均值方程：条件方差方程：上述两个方程就构成了所谓的自回归条件异方差（ARCH）模型。笔记： 自回归条件异方差并不意味着无条件方差是异方差的，事实上我们已证明，无条件方差是常数，即无条件方差是同方差的。怎么理解这一点？注意到：即无条件方差是对条件方差的平均，因此尽管条件方差是相异的，但无条件方差可以是常数。三、如何检验ARCH效应？注意到条件方差方程是：因此可以建立回归模型：，其中是白噪声。问题在于，不能被观察到。按照Engle(1982)，我们可以先利用OLS估计均值方程获得获得，然后利用OLS估计模型：，最后构造拉格朗日统计量，其中T为样本容量，R2是第二步回归所得的判定系数。在原假设：下，因此，给定显著水平，当计算出的LM统计值超过了时，则拒绝原假设，认为存在ARCH效应。我们也可以利用F检验来检验ARCH效应。四、如何估计含ARCH效应的模型？我们在前面提到过，当存在ARCH效应时，必定存在比OLS估计量更有效的非线性估计量。假定服从标准正态分布，则的条件分布（以为条件）是正态的。基于上述假定，我们采用极大似然估计法估计ARCH模型，见附录2笔记：的条件分布是正态分布并不意味着的无条件分布是正态的，事实上的无条件分布与正态分布相比较是尖峰厚尾的。五、GARCH模型保持均值方程不变，但条件方差方程变为： 则初始的ARCH模型被拓展为GARCH(p,q)模型。现在我们考虑一个简单的GARCH(1,1)模型，其条件方差方程是：。反复迭代，有：，因此GARCH(1,1)等价于 。在实践中，当ARCH(p)模型中的p较大时，我们可以选用GARCH(1,1)模型这个更加简约的模型。 对于ARCH(1)模型，其系数约束是：。然而对于GARCH(1,1)模型，其系数约束是：。条件可以保证为正，但为什么要求呢？为了理解这个约束，我们首先对式两边取期望，基于迭代期望定律及其平稳序列具有的性质，有：由于为正，故条件被要求成立。推广：对GARCH(p,q)模型，其系数约束是：六、GARCH模型扩展（一）非对称GARCH模型在GARCH(p,q)模型中，条件方差的取值只与各近期冲击的数值有关，而与其符号无关。这表明，条件方差对正冲击与对负冲击的反应是对称的。然而研究发现，金融市场尤其是股票市场中普遍存在着非对称现象，比如利空消息通常比利好消息带来更大幅度的股价波动，这种现象称为股票市场的“杠杆效应”。笔记：对杠杆效应的一种解释是：因为公司股票价格的下降会引起公司债务对股权比率的上升，这就会导致只享有公司剩余索取权的股东们面临更大的风险。为了反映条件方差对正的冲击与对负的冲击的反应是不对称的，下面介绍两个非对称GARCH模型：1、AGARCH模型在AGARCH模型中，条件方差方程为：，其中，原GARCH模型参数约束条件不变。在上式中，由于，因此，即使绝对值一样，但当为负时较当为正数时所造成的后续波动将更大。2、TGARCH模型在TGARCH模型中，条件方差方程为：其中 被称为杠杆效应系数，模型的其他参数约束条件不变。如果将比作利好消息，将比作利空消息，则当时，利好消息与利空消息对方差的冲击是对称的；当时，与出现利好消息相比，出现利空消息时的值将增加。（二）含外生变量的GARCH模型某些金融时间序列的波动明显地受到一些可观测因素的影响。例如，研究发现，伦敦金属交易所的铜期货价格的波动明显地受到外汇市场汇率波动，特别是美元汇率波动的影响。这是由于当美元贬值时，黄金、铜、铝这些需求量大、价值较高的战略金属，往往会成为国际资本保值操作的有力工具，这种操作不可避免地导致对黄金和铜、铝的需求量的增加和价格上升。当金融时间序列的波动明显地受到一些可观测因素影响时，可建立含外生变量的GARCH模型，其条件方差方程为：上式中外生因素的引入是为了反映这些因素对的波动有显著影响。，模型的其他约束条件不变。需要注意的是，外生因素的选择必须小心，因为如果引入的外生因素可以取负值，则有可能使得在某些观测处取负值，这显然是不合理的。（三）EGARCH模型在GARCH模型中，参数约束是：这些约束条件或许会过度限制条件方差的变动性，为弥补GARCH模型的这个缺陷，Nelson(1991)提出了指数GARCH模型（EGARCH模型），其条件方差方程为： 与纯粹的GARCH模型相比，EGARCH模型的优点是：首先，由于是对建模，因此不需要对参数施加非负约束；其次，当时，模型可以反映“杠杆效应”。（四）GARCH-M模型在纯粹的GARCH模型中，条件方差没有进入均值方程，如果将看成是股票市场中资产组合的收益率序列，那么纯粹GARCH模型的均值方程意味着：无论资产组合收益率波动的幅度大小如何，即无论资产组合的风险如何，资产组合的期望收益率不会受到影响。然而股票市场的实际情况是，金融资产组合的收益率除了受到其他因素影响外，与其所承担的风险密切相关。为了反映金融资产组合收益率的这种特性，可建立GARCH-M模型，将以某种形式引入均值方程。GARCH-M模型均值方程为：在这里，是的单调函数，通常以等形式出现。反映了风险补偿。附录1：的分布和正态分布相比较是尖峰厚尾的峰度的定义：随机变量X所服从分布的峰度被定义为。正态分布其峰度为3。的条件方差，因此有：按照迭代期望定律，故。按照峰度的定义，有：这里要注意到，和相互独立；。由于（正态分布其峰度为3），按照Jensen不等式，因此，。附录2：极大似然估计（ML）ML方法是一种非常一般的方法，简单起见，以一个线性回归模型为例，因此，。其观测值的联合密度函数为：ML方法就是，所选择参数的估计量应该使L极大。为计算简单，上述优化问题可以转化为求logL极大。在ARCH效应存在的情况下，的条件方差为，于是，上述最优化问题改为： 对上述优化问题经常使用数值方法，借助“搜寻”程序来求解，即，给出一组最初猜测的参数估计值，通过迭代更新这些参数值，直到获得满足某个收敛准则的最优值。由于很可能存在许多局部极大值，因此，不同的算法规则能够找到不同的局部极大值（在EVIEWS软件中就有两种算法：BHHH(Berndt,Hall,Hall,Hausman(1974)与Marquardt算法)。在此种情况下，猜测一组好的初始参数值是十分重要的。 在上述最优化问题中，一个重要的假定是误差项服从条件正态分布（应该注意，当存在ARCH效应时，误差项所服从的无