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文档简介

专题十二 解决数列综合应用问题【典题导引】例1. 已知数列的各项都为正数，且对任意，都有(为常数).（1）若，且，成等差数列，求数列的前项和；（2）若，求证：成等差数列；（3）已知，(为常数)，是否存在常数，使得对任意都成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，数列为等比数列，设公比为， 成等差数列，即， ， ，数列的前项和；（2）当时， 令，则， ，成等差数列； （3）存在常数使得对任意都成立. 证明如下：对任意，都有， ，得：，,，,，即，令，亦即，数列为常数列，令，则，, ， ， 即存在常数使得对任意都成立.例2. 设数列的前项和为，满足 （1）当时，设，若，求证：数列是等比数列； 若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，且，求实数的取值范围解：（1），令，可得，即，令，可得，即，,， （i） 当时， (ii)(i)-(ii)，得， ，即，又，数列是等比数列.数列是等差数列，设，； （2）当时，.数列是等差数列， ，即，令，当时，在上是增函数，而，例3.（2014江苏）设数列的前项和为若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”（1）若数列的前项和，证明：是“数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立（1）证明：当时，,当时，,时，当时，,是“数列”.（2）解：,对，使，即,取得，,，又，.（3）证明：设的公差为,令，对，,，对，,则，且数列为等差数列,的前项和，令，则,当时；当时；当时，由于与奇偶性不同，即为非负偶数，,因此对，都可找到，使成立，即为“数列”的前项和，令，则,对，是非负偶数，,即对，都可找到，使得成立，即为“数列”,因此命题得证.例4. (2012江苏)已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值（1）证明：，, , ， 数列是以 为公差的等差数列；（2）解：， ，（）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，当时，与（）矛盾， 若则，当时，与（）矛盾， 综上所述， ，是公比是的等比数列， 若，则，于是， 由，即，得， 中至少有两项相同，与矛盾， ，【归类总结】1数列的递推关系是相邻项之间的关系，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解2数列求和问题，主要考查利用公式法求数列的前项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形3数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值要注意的细节是n只能取正整数4数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同
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