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4 5线性方程组解的结构 1 在 3 3中 我们介绍了两个定理 即 定理2 n元齐次线性方程组Am nx 0有解的充要条件是R A n 定理3 n元非齐次线性方程组Am nx b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩 2 下面 我们从向量组线性相关的角度来讨论线性方程组的解 3 则方程组可写成向量方程 Ax o 4 解向量的性质 1 若 为方程组的解 则也是方程组的解 2 若为方程组的解 则也是方程组的解 由此两条性质可见 解向量构成了一个解向量空间 简称为解空间 5 基础解系 对齐次线性方程Ax o 若R A r 则方程组的n r个线性无关的解向量的集合称为方程组的一个基础解系 线性方程组的一个基础解系 就是解空间的一组基 6 基础解系的求法 例1 求齐次方程组的基础解系和通解 7 8 显然 R A 3 n r 2 矩阵U的等价方程组为 由矩阵U可见 自由未知量为 9 10 通解为 11 非齐次线性方程组解的讨论 我们可以写成 AX b 其对应的齐次方程组为AX 0 12 解的性质 1 设 都是非齐次方程组的解 则为齐次方程组的解 2 设是非齐次方程组的解 是齐次方程组的解 则仍是非齐次方程组的解 13 3 非齐次方程组的通解 等于齐次方程组的通解加上一个非齐次方程组的特解 例2 求方程组的通解 解 14 例3 设矩阵A的秩为1 是方程组的三个线性无关解 则 C 15 D 例4 设是方
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