【创新设计】高考数学一轮总复习 必考解答题 模板成形练 理 苏教版(1).docVIP

必考解答题模板成形练(一)三角函数、平面向量及解三角形(建议用时：60分钟)1在abc中，cos a，a，b，c分别是角a，b，c所对的边(1)求sin 2a；(2)若sin，c2，求abc的面积解(1)因为cos a，a(0，)，sin a.sin 2a2sin acos a.(2)由sin，得cos b，由于b(0，)，sin b.则sin csin(ab)sin acos bcos asin b.由正弦定理，得a2，abc的面积为sacsin b.2设a，b，c分别为abc的内角a，b，c的对边，m，n，m与n的夹角为.(1)求角c的大小；(2)已知c，abc的面积s，求ab的值解(1)由条件得mncos2sin2cos c，又mn|m|n|cos ，cos c，0c，因此c.(2)sabcabsin cab，ab6.由余弦定理得c2a2b22abcos ca2b2ab(ab)23ab，得出(ab)2，ab.3在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且cos 2c1.(1)求的值；(2)若tan b，求tan a及tan c的值解(1)cos 2c1，sin2c.c为三角形内角，sin c0，sin c.，2sin bsin asin c.abc，sin bsin(ac)sin acos ccos asin c.2sin acos c2cos asin csin asin c.sin asin c0，.(2)，tan a.abc，tan btan(ac).整理得tan2c8tan c160解得，tan c4，tan a4.4已知向量m(sin xcos x,1)，n，若f(x)mn.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知abc的三内角a，b，c的对边分别为a，b，c且c3，f(c为锐角)，2sin asin b，求c，a，b的值解(1)f(x)mnsin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，f(x)的最小正周期为.(2)fsin c，0c，c，2sin asin b，由正弦定理得b2a.c3，由余弦定理，得9a2b22abcos，解组成的方程组，得c，a，b2.必考解答题模板成形练(二)(对应学生用书p411)立体几何(建议用时：60分钟)1如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，已知平面aa1c1c平面abcd，且abbcca，adcd1.(1)求证：bdaa1；(2)若e为棱bc的中点，求证：ae平面dcc1d1.证明(1)在四边形abcd中，因为babc，dadc，所以bdac，又平面aa1c1c平面abcd，且平面aa1c1c平面abcdac，bd平面abcd，所以bd平面aa1c1c，又因为aa1平面aa1c1c，所以bdaa1.(2)在三角形abc中，因为abac，且e为bc中点，所以aebc，又因为在四边形abcd中，abbcca，dadc1，所以acb60，acd30，所以dcbc，所以aedc，因为dc平面dcc1d1，ae平面dcc1d1，所以ae平面dcc1d12.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，bc平面pab，apb90，pbbc，n为pc的中点(1)若m为ab的中点，求证：mn平面adp；(2)求证：平面bdn平面acp.证明(1)设acbdg，连接ng，mg，易知g是ac，bd的中点，又n是pc的中点，m为ab的中点，ngpa，mgad，平面gmn平面apd.又mn平面gmn，mn平面apd.(2)bc平面pab，ap平面pab，bcpa，apb90，bppa.bcbpb，pa平面pbc，bnpa.pbbc，点n为pc的中点，bnpc.pcpap，bn平面acp.又bn平面bdn，平面bdn平面acp.3.如图，已知pa矩形abcd所在平面，e，f分别是ab，pc的中点(1)求证：ef平面pad；(2)求证：efcd；证明(1)取pd的中点g，连接ag，fg.因为fg为pcd的中位线，所以fgcd，且fgcd，又aecd，且aecd，所以aefg，且aefg，故四边形aefg为平行四边形，所以efag.又ag平面pad，ef平面pad，所以ef平面pad.(2)因为pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd.在矩形abcd中，adcd，又paada，所以cd平面pad.因为ag平面pad，所以cdag.又efag，所以efcd.4.如图，在平行四边形abcd中，ab2bc4，abc120，e，m分别为ab，de的中点，将ade沿直线de翻折成ade，连接ac，ab，f为ac的中点，ac4.(1)求证：平面ade平面bcd；(2)求证：fb平面ade.证明(1)由题意得ade是ade沿de翻折而成，adeade.abc120，四边形abcd是平行四边形，a60.又adae2，ade和ade都是等边三角形连接am，mc.m是de的中点，amde，am.在dmc中，mc2dc2dm22dcdmcos 604212241cos 60，mc.在amc中，am2mc2()2()242ac2.amc是直角三角形，ammc.又amde，mcdem，am平面bcd.又am平面ade，平面ade平面bcd.(2)取dc的中点n，连接fn，nb.acdc4，f，n分别是ac，dc的中点，fnad.又n，e分别是平行四边形abcd的边dc，ab的中点，bnde.又added，fnnbn，平面ade平面fnb.fb平面fnb，fb平面ade.必考解答题模板成形练(三)(对应学生用书p413)直线与圆及圆锥曲线(建议用时：60分钟)1已知圆c的方程为x2(y4)24，点o是坐标原点直线l：ykx与圆c交于m、n两点(1)求k的取值范围：(2)设q(m，n)是线段mn上的点，且.请将n表示为m的函数解(1)将ykx代入x2(y4)24，得(1k2)x28kx120(*)，由(8k)24(1k2)120得k23.所以k的取值范围是(，)(，)(2)因为m、n在直线l上，可设点m、n的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|om|2(1k2)x，|on|2(1k2)x，又|oq|2m2n2(1k2)m2，由得，所以由(*)知x1x2，x1x2，所以m2，因为点q在直线l上，所以k，代入m2可得5n23m236，由m2及k23得0m23，即m(，0)(0，)依题意，点q在圆c内，则n0，所以n，综上，n与m的函数关系为n(m(，0)(0，)2已知圆c：(x)2y216，点a(，0)，q是圆上一动点，aq的垂直平分线交cq于点m，设点m的轨迹为e.(1)求轨迹e的方程；(2)过点p(1,0)的直线l交轨迹e于两个不同的点a，b，aob(o是坐标原点)的面积s，求直线ab的方程解(1)由题意|mc|ma|mc|mq|cq|42，所以轨迹e是以a，c为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹e的方程为y21.(2)记a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意，直线ab的斜率不可能为0，而直线x1也不满足条件，故可设ab的方程为xmy1，由消x得(4m2)y22my30，所以y1，y2.s|op|y1y2|.由s，解得m21，即m1.故直线ab的方程为xy1，即xy10或xy10为所求3已知过点a(4,0)的动直线l与抛物线g：x22py(p0)相交于b，c两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线g的方程；(2)设线段bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设b(x1，y1)，c(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立得2y2(8p)y80，y1，y2由已知4，y24y1，可得p216p360p0可得y11，y24，p2，抛物线g的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：yk(x4)，bc中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k4或k0，x2k2.xbxc2kx02k，y0k(x04)2k24k.bc中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.4已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆c的方程；(2)如图，若斜率为k(k0)的直线l与x轴、椭圆c顺次相交于a，m，n(a点在椭圆右顶点的右侧)，且nf2f1mf2a.求证直线l过定点(2,0)，并求出斜率k的取值范围解(1)由题意知e，e2，即a22b2.又b1，a22，b21，椭圆方程为y21.(2)由题意，设直线l的方程为ykxm(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由得(2k21)x24kmx2m220.由16k2m24(2k21)(2m22)0，得m22k21，x1，x2则有x1x2，x1x2.nf2f1mf2a，且mf2a90，kmf2knf20.又f2(1,0)，则0，即0，化简得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0.将x1x2，x1x2代入上式得m2k，直线l的方程为ykx2k，即直线过定点(2,0)将m2k代入m22k21，得4k22k21，即k2，又k0，直线l的斜率k的取值范围是.必考解答题模板成形练(四)(对应学生用书p415)实际应用题(建议用时：60分钟)1在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解(1)设箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为v(x)x2sin 60hax2x3(0xa)由v(x)axx20解得x10(舍)，x2a，且当x时，v(x)0；当x时，v(x)0，所以函数v(x)在xa处取得极大值这个极大值就是函数v(x)的最大值：va23a3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.2如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块oabc，其中oae是一个游泳地，计划在地块oabc内修一条与池边ae相切的直路l(宽度不计)，切点为m，并把该地块分为两部分，现以点o为坐标原点，以线段oc所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边ae满足函数yx22(0x)的图象，且点m到边oa距离为t.(1)当t时，求直路l所在的直线方程；(2)当t为何值时，地块oabc在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解(1)m，l：12x9y220(2)m(t，t22)，过切点m的切线l：y(t22)2t(xt)即y2txt22，令y2得x，故切线l与ab交于点；令y0，得x，又x在递减，所以x故切线l与oc交于点.地块oabc在切线l右上部分区域为直角梯形，面积s24t42，t1时取到等号，smax2.3济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)现已知相距36 km的a，b两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点c处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设acx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值解(1)设点c受a污染源污染指数为，点c受b污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点c处污染指数y(0x36)(2)因为a1，所以，y，yk，令y0，得x，当x时，函数单调递减；当x时，函数单调递增；当x时，函数取得最小值又此时x6，解得b25，经验证符合题意所以，污染源b的污染强度b的值为25.4某个公园有个池塘，其形状为直角abc，c90，ab200米，bc100米(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在ab、bc、ca上取点d，e，f，如图(1)，使得efab，efed，在def喂食，求def面积sdef的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在ab，bc，ca上取点d，e，f，如图(2)，建造def连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使def为正三角形，求def边长的最小值解(1)rtabc中，c90，ab200米，bc100米cos b，可得b60efab，cefb60设(01)，则cecb100米，rtcef中，ef2ce200米，c到fe的距离dce50米，c到ab的距离为bc50米，点d到ef的距离为h505050(1)米可得sdefefh5 000(1)米2(1)(1)2，当且仅当时等号成立，当时，即e为ab中点时，sdef的最大值为1 250米2(2)设正def的边长为a，cef，则cfasin ，afasin .设edb1，可得1180bdeb120deb，18060deb120debadf180601120在adf中，即，化简得a2sin(120)sin a(其中是满足tan 的锐角)def边长最小值为米必考解答题模板成形练(五)(对应学生用书p417)数列(建议用时：60分钟)1已知数列an的前n项和为sn，且2sn1an.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnlogan，数列bn的前n项和为tn，求证2.解(1)当n1时，2s11a1,2a11a1，a1；当n2时，两式相减得2anan1an(n2)，即3anan1(n2)，又an10，(n2)，数列an是以为首项，为公比的等比数列ann1n.(2)由(1)知bnlognn，tn123n，222.2数列an的前n项和为sn，若a12，且snsn12n(n2，nn*)(1)求sn；(2)是否存在等比数列bn满足b1a1，b2a3，b3a9？若存在，求出数列bn的通项公式；若不存在，说明理由解(1)因为snsn12n，所以有snsn12n对n2，nn*成立，即an2n对n2成立，又a121.所以an2n对nn*成立所以an1an2对nn*成立，所以an是等差数列，所以有snnn2n，nn*.(2)存在由(1)，得an2n，nn*成立，所以有a36，a918，又a12，所以由b1a1，b2a3，b3a9，则3.所以存在以b12为首项，公比为3的等比数列bn，其通项公式为bn23n1.3已知数列an是首项a11的等差数列，其前n项和为sn，数列bn是首项b12的等比数列，且b2s216，b1b3b4.(1)求an和bn；(2)令c11，c2ka2k1，c2k1a2kkbk(k1,2,3，)，求数列cn的前2n1项和t2n1.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则an1(n1)d，bn2qn1.由b1b3b4，得qb12，由b2s22q(2d)16，解得d2.an2n1，bn2n.(2)t2n1c1a1(a2b1)a3(a42b2)a2n1(a2nnbn)1s2n(b12b2nbn)令ab12b2nbn，则a2222n2n，2a22223(n1)2nn2n1，a2222nn2n1，an2n12n12.又s2n4n2，t2n114n2n2n12n1234n2(n1)2n1.4已知数列an满足：an1，a1，3(1a)2(1a)，bn1a，cnaa(nn*)(1)证明数列bn是等比数列，并求数列bn、cn的通项公式(2)是否存在数列cn的不同项ci，cj，ck(ijk)使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项ci，cj，ck(ijk)；若不存在，请说明理由(3)是否存在最小的自然数m，对一切nn*都有(n2)cnm恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由(1)证明因为an1，a1，3(1a)2(1a)，bn1a，所以(nn*)，b11a，所以bn是以为首项，为公比的等比数列，所以bnn1(nn*)，所以a1bn1n1(nn*)所以cnaan1(nn*)(2)解假设存在cj，cj，ck(ijk)满足题意，则有2cjcick代入得2j1i1k1化简得2ji13j12kji，即2ji12kji3j1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等所以假设不成立，这样的三项不存在(3)(n2)cn(n1)cn1n1，(12)c1(22)c2(32)c3(42)c4，(42)c4(52)c5，(52)c5(62)c6(72)c7即在数列(n2)cn中，第4项和第5项是最大项，当n4时(n2)cn23，所以存在最小自然数m1符合题意必考解答题模板成形练(六)(对应学生用书p419)函数与导数(建议用时：60分钟)1已知函数f(x)x3ax2b(a，br)(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a3,4，函数f(x)在r上都有三个零点，求实数b的取值范围解(1)因为f(x)x3ax2b，所以f(x)3x22ax3x.当a0时，f(x)0，函数f(x)没有单调递增区间；当a0时，令f(x)0，得0x.故f(x)的单调递增区间为；当a0时，令f(x)0，得x0.故f(x)的单调递增区间为.综上所述，当a0时，函数f(x)没有单调递增区间；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知，a3,4时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(，0)和，所以函数f(x)在x0处取得极小值f(0)b，函数f(x)在x处取得极大值fb，由于对任意a3,4，函数f(x)在r上都有三个零点，所以即解得b0，因为对任意a3,4，b恒成立，所以bmax4，所以实数b的取值范围是(4,0)2已知函数f(x)ln x1，ar.(1)若曲线yf(x)在点p(1，y0)处的切线平行于直线yx1，求函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，且对x(0,2e时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解(1)直线yx1的斜率k1，函数yf(x)的导数为f(x)，f(1)a11，即a2.f(x)ln x1，f(x).f(x)的定义域为(0，)由f(x)0，得x2；由f(x)0，得0x2.函数f(x)的单调增区间是(2，)，单调减区间是(0,2)(2)a0，f(x)0对x(0,2e恒成立，即ln x10对x(0,2e恒成立即ax(1ln x)对x(0,2e恒成立，设g(x)x(1ln x)xxln x，x(0,2eg(x)1ln x1ln x，当0x1时，g(x)0，g(x)为增函数，当1x2e时，g(x)0，g(x)为减函数，所以当x1时，函数g(x)在x(0,2e上取到最大值g(x)g(1)1ln 11，a的取值范围是(1，)3已知函数f(x)x3bx2cx3，yf(x)为f(x)的导函数，满足f(2x)f(x)；f(x)0有解，但解却不是函数f(x)的极值点(1)求f(x)；(2)设g(x)x，m0，求函数g(x)在0，m上的最大值；(3)设h(x)lnf(x)，若对于一切x0,1，不等式h(x1t)h(2x2)恒成立，求实数t的取值范围解(1)f(x)x22bxc，f(2x)f(x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，b1.由题意，f(x)x22xc0中44c0，故c1.所以f(x)x3x2x3.(2)f(x)x22bx1 (x1)2，g(x)x|x1| 当0m时，g(x)maxg(m)mm2当m时，g(x)maxg，当m时，g(x)maxg(m)m2m，综上g(x)max(3)h(x)2ln|x1|，h(x1t)2ln|xt|，h(2x2)2ln|2x1|当x0,1时，|2x1|2x1，所以不等式等价于0|xt|2x1恒成立，解得x1t3x1，且xt，由x0,1，得x12，1，3x11,4，所以1t1，又xt，t0,1，所求的实数t的取值范围是(1,0)4已知函数f(x)k(logax)2(logxa)2(logax)3(logxa)3，g(x)(3k2)(logaxlogxa)，(其中a1)，设tlogaxlogxa.(1)当x(1，a)(a，)时，试将f(x)表示成t的函数h(t)，并探究函数h(t)是否有极值；(2)当(1，)时，若存在x0(1，)，使f(x0)g(x0)成立，试求k的范围解(1)(logax)2(logxa)2(logaxlogxa)22t22，(logax)3(logxa)3(logaxlogxa)(logaxlogxa)23t33t，h(t)t3kt23t2k，(t2)h(t)3t22kt3设t1，t2是h(t)0的两根，则t1t20，h(t)0在定义域内至多有一解，欲使h(t)在定义域内有极值，只需h(t)3t22kt30在(2，)内有解，且h(t)的值在根的左右两侧异号，h(2)0得k.综上：当k时h(t)在定义域内有且仅有一个极植，当k时h(t)在定义域内无极值(2)存在x0(1，)，使f(x0)g(x0)成立等价于f(x)g(x)的最大值大于0.tlogaxlogxa，m(t)t3kt2k2t2k，(t2)，m(t)3t22ktk20得t1k，t2.当k2时，m(t)maxm(k)0得k2；当0k2时，m(t)maxm(2)0得k2；当k0时，m(t)maxm(2)0不成立当6k0时，m(t)maxm(2)0得6k；当k6时，m(t)maxm0得k6.综上得：k的取值范围是.必考附加题模板成形练(一)1如图，在直三棱柱abca1b1c1中，bac90，abac2，aa16，点e，f分别在棱bb1，cc1上，且bebb1，c1fcc1.(1)求异面直线ae与a1f所成角的大小；(2)求平面aef与平面abc所成角的余弦值解(1)建立如图所示的直角坐标系，则a(0,0,0)，e(2,0,2)，a1(0,0,6)，f(0,2,4)，从而(2,0,2)，(0,2，2)记与的夹角为，则有cos .又由异面直线ae与a1f所成角的范围为(0，)，可得异面直线ae与a1f所成的角为60.(2)记平面aef和平面abc的法向量分别为n和m，则由题设可令n(1，y，z)，且有平面abc的法向量为m(0,0,6)，(0,2,4)，(2,0,2)由n0，得2y4z0；由n0，得22z0.所以z1，y2，即n(1,2，1)记平面aef与平面abc所成的角为，有cos .由图形可知为锐角，所以cos .2已知数列bn满足b1，bn12(n2，nn*)(1)求b2，b3，猜想数列bn的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设xb，yb，比较xx与yy的大小解(1)当n2时，2，解得b2；当n3时，2，解得b3.猜想bn.证明：当n1时，b1.假设当nk(kn*)时，即bk，则当nk1时，bk2，即2，2，bk1也成立由得bn.(2)xbn，xxnnnybn1，yyn1(n1)nnnxxyy.3三棱柱abca1b1c1在如图所示的空间直角坐标系中，已知ab2，ac4，a1a3.d是bc的中点(1)求直线db1与平面a1c1d所成角的正弦值；(2)求二面角b1a1dc1的大小的正弦值解(1)由题意，a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,4,0)，d(1,2,0)，a1(0,0,3)，b1(2,0,3)，c1(0,4,3).(1,2，3)，(0,4,0)设平面a1c1d的法向量为n(x，y，z)nx2y3z0，n4y0.x3z，y0.令z1，得x3.n(3,0,1)设直线db1与平面a1c1d所成角为，(1，2,3)，sin |cos，n|.(2)设平面a1b1d的法向量为m(a，b，c)(2,0,0)，ma2b3c0，m2a0.a0,2b3c.令c2，得b3.m(0,3,2)设二面角b1a1dc1的大小为，|cos |cosm，n|，则sin ，二面角b1a1dc1的大小的正弦值为.4已知整数n4，集合m1,2,3，n的所有3个元素的子集记为a1，a2，ac(cn*)(1)当n5时，求集合a1，a2，ac中所有元素之和；(2)设mi为ai中的最小元素，设pnm1m2mc，试求pn(用n表示)解(1)当n5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有c6个，所以含有数字1的集合有6个同时含2,3,4,5的子集也各有6个于是所求元素之和为(12345)c15690.(2)证明不难得到1min2，miz，并且以1为最小元素的子集有c个，以2为最小元素的子集有c个，以3为最小元素的子集有c个，以n2为最小元素的子集有c个，则pnm1m2mc1c2c3c(n2)c(n2)c(n3)c(n4)ccc(n3)(cc)(n4)ccc(n3)(cc)(n4)ccc(n3)c(n4)cccc(n4)(cc)ccc(n4)ccccccc.必考附加题模板成形练(二)(对应学生用书p423)1如图，圆锥的高po4，底面半径ob2，d为po的中点，e为母线pb的中点，f为底面圆周上一点，满足efde.(1)求异面直线ef与bd所成角的余弦值；(2)求二面角odfe的余弦值解(1)以o为原点，底面上过o点且垂直于ob的直线为x轴，ob所在的直线为y轴，op所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则b(0,2,0)，p(0,0,4)，d(0,0,2)，e(0，1,2)设f(x0，y0,0)(x00，y00)，且xy4，则(x0，y01，2)，(0,1,0)，efde，即，则y010，故y01.f(，1,0)，(，0，2)，(0，2,2)设异面直线ef与bd所成角为，则cos .(2)设平面odf的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令x11，得y1，平面odf的一个法向量为n1(1，0)设平面def法向量为n2(x2，y2，z2)，同理可得平面def的一个法向量为n2.设二面角odfe的平面角为，则|cos |，sin .2已知数列an满足a12，an1a(n1)(1)证明：ann(