法向量在高中立体几何题中的几点应用.doc

向量在高中立体几何中的几点应用昭通一中 毛孝宗高中立体几何中经常需要计算有关距离（点到线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离）和空间角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）即“三大距离”与“三大角”， 传统方法解决这些问题时，应遵循“一作（或找）、二证、三求解”这一步骤，关键是作出垂线段和角。用向量法求解“三大距离”，其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线（或面）的一个法（或公垂）向量上的投影，也即数量积的直接应用。“三大角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，学生太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！特别是近几年高考中这些问题频繁出现，为了更好地理解和解决上述问题。现将常用的与向量有关知识点列举如下： 平面的法向量的定义：直线 ，取直线的方向向量，那么向量叫做平面的一个法向量。射影的定义：已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点A在上的射影，作点B在上的射影，则叫做向量在轴上或在方向上的正射影，简称射影。可以证明：同样，设是同方向的向量，则可以证明在上的射影：。（）设是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，所以基于以上事实，运用法向量来解决一些距离和空间角的问题，有以下几个结论可以应用:定义：是两条异面直线，向量所在的直线同时垂直于，那么向量叫做的公垂向量。结论1：是两条异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离，则。（）空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！【例1】已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：异面直线MN与间的距离。【分析及解】本题需要找出异面直线与的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图1的空间直角坐标系，则，由于M、N是的中点，则，从而，设与都垂直的方向向量为，则ABCDA1B1D1C1MNxzy图1即即，不妨设，所以异面直线MN与CD1间的距离为 结论2：设为平面的法向量，是经过面的一条斜线，则点到平面的距离。【例2】如图2，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，求三棱锥的体积V。【分析及解】 该题需要求点到平面的距离，按传统方法，需要过点作平面的垂线段，比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则， ， ，所以，ABCDA1B1D1C1Exy图2FzG设平面 的法向量为，由得，不妨设 ，点到平面的距离，即为所求。 结论3：直线是平面的一条斜线，为平面的法向量，则直线与平面所成角或。【例3】如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的大小。（结果用反三角函数表示）【分析及解】本题按传统方法，需要作 在平面ABD上的射影，比较复杂，若用法向量来解，则可简化问题：以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，GADC1B1A1CBxyzE图图3 点E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD，解得 ， 平面ABD，为平面ABD的一个法向量；由，得，与平面ABD所成的角为，即 。评析：因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。结论4：若，分别为平面，的法向量，则二面角的平面角或。【例4】如图4，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，求二面角的大小。【分析及解】依题意，需要在平面与平面各取一条直线与垂直且相交，从而找出二面角的平面角，比较麻烦，若取BC的中点O，连AO，由题意平面平面，平面，以O为原点，建立如图4所示空间直角坐标系，则，BzOCxyB1C1A1AD图4 由题意平面ABD，为平面ABD的法向量。设平面的法向量为，则，即 ，不妨设，由，得。故所求二面角的大小为。评析：此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而误认为所求二面角为，其实不然，二面角仍为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，或通过判断法向量的方向来确定取“相等角”或取“补角”。通过上面例题可以看出：法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，在利用法向量后变得思路清晰且