【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)考情分析考点新知会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关弦长及直线与圆锥曲线的有关问题.1. 直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_答案：相交解析：由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交2. 椭圆1的两焦点为f1、f2，一直线过f1交椭圆于p、q，则pqf2的周长为_答案：20解析：pqf2的周长4a20.3. 已知双曲线方程是x21，过定点p(2，1)作直线交双曲线于p1、p2两点，并使p(2，1)为p1p2的中点，则此直线方程是_答案：4xy70解析：设点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则由x1，x1，得k4，从而所求方程为4xy70.将此直线方程与双曲线方程联立得14x256x510，0，故此直线满足条件4. 若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_答案：解析：由题意易知两交点的横坐标为c、c，纵坐标分别为、，所以由得2b2ac2(a2c2)，即2e2e20，解得e或e(负根舍去)5. 已知双曲线e的中心为原点，f(3，0)是e的焦点，过f的直线l与e相交于a、b两点，且ab的中点为n(12，15)，则e的方程为_答案：1解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有两式作差得，又ab的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0，b0)，经过点m的直线l与曲线e交于点a、b，且2.(1) 若点b的坐标为(0，2)，求曲线e的方程；(2) 若ab1，求直线ab的方程解：(1) 设a(x0，y0)，由已知b(0，2)，m(，0)，所以，(x0，y0)由于2，所以(，2)2(x0，y0)，所以即a(，1)，将a、b点的坐标代入曲线e的方程，得解得所以曲线e的方程为x21.(2) 当ab1时，曲线e为圆x2y21，设a(x1，y1)，b(x2，y2)又2，所以2(x1，y1)，即有xy1 ，xy1 ，由4，得(2x1x2)(2x1x2)3，所以2x1x2，解得x1，x20.由x1，得y1.当a时，b(0，1)，此时kab，直线ab的方程为yx1；当a时，b(0，1)，此时kab，直线ab的方程为yx1.已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，与过右焦点f且斜率为k(k0)的直线相交于a、b两点若3，则k_答案：解析：定点f分线段ab成比例，从而分别可以得出a、b两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把a、b点的坐标代入椭圆方程1，四个方程联立方程组，解出根，得出a、b两点的坐标，进而求出直线ab的方程由已知e，所以a2b，所以ac，b.椭圆方程1变为x23y2c2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，又3，所以(cx1，y1)3(x2c，y2)，所以所以x 3y c2，x 3y c2，9，得(x13x2)(x13x2)3(y13y2)(y13y2)8c2，所以4c(x13x2)8c2，所以 x13x2c，所以x1c，x2c.从而y1c，y2c，所以a，b，故k.题型2有关垂直的问题例2如图，在平面直角坐标系xoy中，m、n分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p、a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连结ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k.(1) 若直线pa平分线段mn，求k的值；(2) 当k2时，求点p到直线ab的距离d；(3) 对任意k0，求证：papb.(1) 解：由题设知，a2，b，故m(2，0)，n(0，)，所以线段mn中点的坐标为.由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点又直线pa过坐标原点，所以k.(2) 解：将直线pa的方程y2x代入椭圆方程1，解得x，因此p，a.于是c，直线ac的斜率为1，故直线ab的方程为xy0.因此，d.(3) 证明：设p(x1，y1)，b(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，a(x1，y1)，c(x1，0)，设直线pa、pb、ab的斜率分别为k、k1、k2.因为c在直线ab上，所以k2.从而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以papb.如图，f是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆c的右焦点，直线l：x4是椭圆c的右准线，f到直线l的距离等于3.(1) 求椭圆c的方程；(2) 点p是椭圆c上动点，pml，垂足为m.是否存在点p，使得fpm为等腰三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由解：(1) 设椭圆c的方程为1(ab0)，由已知，得b.所以椭圆c的方程为 1.(2) 由e，得pfpm.pfpm.若pffm，则pffmpm，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，pf不可能与pm相等若fmpm，设p(x，y)(x2)，则m(4，y)4x，9y2168xx2.又由1，得y23x2.93x2168xx2，x28x40.7x232x160.x或x4.x(2，2)，x.p.综上，存在点p，使得pfm为等腰三角形题型3直线与圆锥曲线例3如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1的左、右顶点为a、b，右焦点为f.设过点t(t，m)的直线ta、tb与椭圆分别交于点m(x1，y1)、n(x2，y2)，其中m0，y10，y20，y20，得m2，此时直线mn的方程为x1，过点d(1，0)若x1x2，则m2.直线md的斜率kmd，直线nd的斜率knd，得kmdknd，所以直线mn过d点因此，直线mn必过x轴上的点d(1，0)已知椭圆c：1(ab0)的一个顶点为a(2，0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1) 求椭圆c的方程；(2) 当amn的面积为时，求k的值解：(1) 由题意得解得b，所以椭圆c的方程为1.(2) 由得(12k2)x24k2x2k240.设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以mn.又因为点a(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以amn的面积为smnd.由，解得k1.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知双曲线1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点f2的直线l交双曲线于a、b两点，f1为左焦点(1) 求双曲线的方程；(2) 若f1ab的面积等于6，求直线l的方程学生错解：解：(2) 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，f(2，0)，直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，f1ab的面积sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|2|k|6k48k290k21k1，所以直线l的方程为y(x2)审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2) f1ab面积的表示规范解答： 解：(1) 依题意，b，2a1，c2，(4分) 双曲线的方程为x21.(6分)(2) 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，f2(2，0)，直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，(8分)k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，(10分)f1ab的面积sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|2|k|6k48k290k21k1，(14分)所以直线l的方程为y(x2)(16分)错因分析： 解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k这一条件1. 设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案：1，1解析：易知抛物线y28x的准线x2与x轴的交点为q(2，0)，于是，可设过点q(2，0)的直线l的方程为yk(x2)(由题可知k是存在的)，联立k2x2(4k28)x4k20.其判别式为(4k28)216k464k2640，可解得1k1.2. 如图，过抛物线c：y24x上一点p(1，2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点a(x，y1)，b(x2，y2)(1) 求y1y2的值；(2) 若y10，y20，求pab面积的最大值解：(1) 因为a(x1，y1)，b(x2，y2)在抛物线c：y24x上，所以a，b，kpa，同理kpb，依题意有kpakpb，因为，所以y1y24.(2) 由(1)知kab1，设ab的方程为yy1x，即xyy10，p到ab的距离为d，ab|y1y2|2|2y1|，所以spab2|2y1|y4y112|y12|(y12)216|y12|，令y12t，由y1y24，y10，y20，可知2t2.spab|t316t|，因为spab|t316t|为偶函数，只考虑0t2的情况，记f(t)|t316t|16tt3，f(t)163t20，故f(t)在0，2是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)24，故spab的最大值为6.3. 如图，在平面直角坐标系xoy中，圆c：(x1)2y216，点f(1，0)，e是圆c上的一个动点，ef的垂直平分线pq与ce交于点b，与ef交于点d.(1) 求点b的轨迹方程；(2) 当点d位于y轴的正半轴上时，求直线pq的方程；(3) 若g是圆c上的另一个动点，且满足fgfe，记线段eg的中点为m，试判断线段om的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由解：(1) 连结bf，由已知bfbe，所以bcbfbcbece4，所以点b的轨迹是以c、f为焦点，长轴为4的椭圆，所以b点的轨迹方程为1.(2) 当点d位于y轴的正半轴上时，因为d是线段ef的中点，o为线段cf的中点，所以ceod，且ce2od，所以e、d的坐标分别为(1，4)和(0，2)因为pq是线段ef的垂直平分线，所以直线pq的方程为yx2，即直线pq的方程为x2y40.(3) 设点e、g的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则点m的坐标为，因为点e、g均在圆c上，且fgfe，所以(x11)2y16，(x21)2y16，(x11)(x21)y1y20，所以xy152x1，xy152x2，x1x2y1y2x1x21.所以mo2(x1x2)2(y1y2)2(xy)(xy)2(x1x2y1y2)152x1152x22(x1x21)7，即m点到坐标原点o的距离为定值，且定值为.4. 给定椭圆c：1(ab0)，称圆心在原点o、半径是的圆为椭圆c的“准圆”已知椭圆c的一个焦点为f(，0)，其短轴的一个端点到点f的距离为.(1) 求椭圆c和其“准圆”的方程；(2) 若点a是椭圆c的“准圆”与x轴正半轴的交点，b、d是椭圆c上的两相异点，且bdx轴，求的取值范围；(3) 在椭圆c的“准圆”上任取一点p，过点p作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆c都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由解：(1) 由题意知c，且a，可得b1，故椭圆c的方程为y21，其“准圆”方程为x2y24.(2) 由题意，可设b(m，n)，d(m，n)(m)，则有n21，又a点坐标为(2，0)，故(m2，n)，(m2，n)，故(m2)2n2m24m4m24m3，又m0)，则on的方程为yx(k0)联立方程组解得m.同理可得n.因为点n到直线om的距离为d，om2，所以omn的面积sdom21，故omn的面积为定值1. 若双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1、f2，线段f1f2被抛物线y22bx的焦点分成73的两段，则此双曲线的离心率为_答案：解析：依题意得，c2c，即bc(其中c是双曲线的半焦距)，ac，则，因此该双曲线的离心率等于.2. 如图，设e：1(ab0)的焦点为f1与f2，且pe，f1pf22.求证：pf1f2的面积sb2tan.证明：设|pf1|r1，|pf2|r2，则sr1r2sin2.又|f1f2|2c，由余弦定理有(2c)2rr2r1r2cos2(r1r2)22r1r22r1r2cos2(2a)22r1r2(1cos2)，于是2r1r2(1cos2)4a24c24b2.所以r1r2.这样即有ssin2b2b2tan.3. 已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点为m(0，1)，直线l：ykx与椭圆相交于不同的两点a、b.(1) 若ab，求k的值；(2) 求证：不论k取何值，以ab为直径的圆恒过点m.(1) 解：由题意知，b1.由a2b2c2可得cb1，a， 椭圆的方程为y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2. ab|x1x2|，化简得23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2) 证明： (x1，y11)，(x2，y21)， x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2k(x1x2)0. 不论k取何值，以ab为直径的圆恒过点m.4. 已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点p，a为上顶点，f为右焦点点q(0，t)是线段oa(除端点外)上的一个动点，过q作平行于x轴的直线交直线ap于点m，以