数值分析练习1-3章.doc

第一章 绪论一、 填空题1、 已知，求x的近似值a的有效数位和相对误差：题号精确数xx的近似数aa的有效数位a的相对误差e2.7e2.718e/1000.027e/1000.027182、 设原始数据x1，x2，x3和x4的近似值（每位均为有效数字）如下： a1=1.1021，a2=0.031，a3=385.6，a4=56.430则 a1+a2+a4= ，相对误差界为 ； a1a2a3= ，相对误差界为 ； a2/a4= ，相对误差界为 。二、 为使的近似值的相对误差小于0.01%，问应取多少位有效数字？三、 当x接近于0时，怎样计算以及当x充分大时，怎样计算，才会使其结果的有效数字不会严重损失。四、 在数值计算中，为了减小误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列，试构造两种递推算法计算，在你构造的算法中，那一种是稳定的，说明你的理由；第二章 插值法一、 选择题、在互异的n+1个点处满足插值条件P(xi)=yi,(i=0,1,n)的次数不高于n 的多项式是( )的()存在且唯一 ()存在 ()不存在 ()不唯一2、当f(x)是次数不超过n的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( ) ()不确定 ()次数为n ()f(x)自身 （D）次数超过n 3、 插值基函数的和= ( )() () () ()不确定4、 设f(x)=x3-x+5，则f20,21,22,23= ( )； f20,21,22,23,24= ( )() () () ()不确定5、( )插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，而( )插值方法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的方法()构造性 ()解方程组 ()拉格朗日 ()牛顿、一般地，内插公式比外推公式( ),高次插值比低次插值( )，但当插值多项式的次数高于七、八次时，最好利用( )插值公式()粗糙 ()精确 ()分段低次 ()高次、整体光滑度高，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应用广泛的分段插值方法为（ ）.（）分段线性插值 （）分段抛物插值 （）分段三次埃尔米特插值 （）三次样条插值。、差商与差分的关系式为fx0,x1,xk=（ ）,fxn,xn-1,xn-k=（ ）。 （） （） （） （）二、填空题1、插值问题是指 。通常称 为插值函数， 为插值区间， 为被插值函数， 称为插值节点。2、讨论代数多项式插值问题的原因是 。3、Lagrange插值多项式为_ 。4、设函数Y=F(X)在a,b上的n阶导数连续，在（a,b）内存在，Ln(x)是F(X)在处的n次Lagrange插值多项式，则对a,b中每一个点x存在依赖于x的点，使插值余项R(x)= 。其插值误差与 有关。5、牛顿插值公式为 _。6、埃尔米特插值问题是解决 。7、样条插值问题的提法是 。记 称为S(x)在节点处的弯矩。 称为三弯矩法。、已知函数Y=F(x)的观测数据为X1234Y0-5-63 则三次Lagrange插值多项式为 。三、已知函数表：X0.320.340.36Y=sinX0.3145670.333487 0.352274分别用拉格朗日线性插值和抛物线插值求sin0.3367的近似值，并估计截断误差。四、已知F(x)=Shx的函数值X0.40.550.650.800.901.05Y0.410750.578150.696750.888111.026521.25382求，再由增加节点x=0.9求，并计算F(0.596)的近似值。五、给定f(X)=cosX的函数值X0.00.10.20.30.40.50.6F(X)1.00.9950.980060.955330.921060.877580.82533求cos0.048及cos0.575的值，并估计余项。六、给定函数表为X2.22.42.6F(x)0.52078430.51041470.4813306-0.0014878-0.1004889-0.1883635利用Hermite插值求F(2.5)的近似值。七、已知函数Y=F(x)的函数值X0.250.300.390.450.53F(x)0.50000.54770.62450.67080.7280求三次样条插值函数S(x)，使其满足。八、设f(x)=在-，上，取n=5,按等距节点求分段线性插值函数,并求各节点中间处的值。九、证明：n次拉格朗日插值基函数可写成十、证明：n阶差商的下列性质：若F(x)=cf(x),则F=cf；若F(x)=f(x)+g(x)，则F=f+g。十一、数值试验题、已知由生成的一组原始数据t=linspace(0,5,100);y=1-cos(3*t).*exp(-t)，确定它们所代表的函数穿越线的时刻。（）通过图形初步判断第一个穿越时刻(利用plot与ginput)；（）利用插值获得较准确的穿越时刻（分别利用一维插值interp1之中的nearest、cubic、spline选项）；（）利用求零点语句fzero求穿越时刻，以便与（2）比较（可以不作）。、利用MATLAB环境（）画出函数f(x)=cos(x)在区间0,pi上的图形； （）分别画出将上面区间等分成，1，时的分段线性插值的图形。第三章 函数逼近与曲线拟合一、选择题、函数逼近的基本问题：(1)选定逼近函数类型，如( )、( )、( )(2)按一定逼近目标求逼近函数，如( )、( )、( )等最佳逼近问题(3)研究逼近函数的( )、( )及( )等理论问题()三角多项式 ()代数多项式 ()简单函数 ()最佳一致逼近 ()最佳平方逼近 ()最小二乘逼近 ()存在唯一性 ()收敛性 ()误差估计、设f(x)a,b，m和M分别为f(x)在a,b上的最小值与最大值，则f(x)的零次最佳一致逼近多项式为( )。() () () ()、在-1,1上的零点为( ),(k=1,2,n)；极值点为( ), (k=0,1,n),其极大极小值交替为 ( )。（） （） （） （）、在最高次项系数是的一切n次多项式中，于区间-1,1上与零有最小偏差的多项式为( )。() () () ()、对于连续函数f(x)，xa,b，常用的范数有：( )；( )；( )。() () () () ()、在所有首项系数为的n次多项式中，首项系数为的n次( )在-1,1上与零的平方逼近误差最小。()切比雪夫多项式 ()勒让德多项式()拉盖尔多项式 ()埃尔米特多项式二、填空题、Weierstrass定理说明，定义在闭区间上的任何连续函数f(x)可以用_逼近到任意精确的程度。、对f(x)a,b及任给的，求n次多项式Pn(x)，使则称Pn(x)为a,b上f(x)的 ，称在无穷范数意义下的逼近为_；而称达到最小偏差的多项式为 ，该问题称为 。、对定义在a,b上的函数y=f(x)，求n次多项式Pn(x)，使则称Pn(x)为 ，称在范数意义下的逼近问题为 。4、切比雪夫多项式为_；多项式序列关于权函数为 。、函数在-1,1上的关系是_。、对于超定方程组Ax=b，用最小二乘法导出的法方程组为_。二、在区间上给定函数，求其在上的关于的最佳平方逼近多项式，并估计其误差。三、求a,b使达到最小。四、利用勒让德多项式为基，求f(x)=x在-1,1上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。五、求解超定方程组。六、用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。x1925313844y19.032.349.073.397.8七*、数值试验题：、对给定数据表X-0.75-0.5-0.2500.250.50.75y0.330.881.442.002.563.133.71试分别用Matlab中的函数polyfit作一次、二次、三次多项式拟合，并比较优劣。、在某科研中，观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量w的数据如下：T(秒)w(克)4.224.023.853.593.443.022.59已知t与w之间的关系有经验公式w=ct, 试用最小二乘