3.1.1方程的根与函数的零点.ppt

第三章函数的应用 3 1 1方程的根与函数的零点 1 y x2 2x 3与x2 2x 3 0 2 y x2 2x 1与x2 2x 1 0 3 y x2 2x 3与x2 2x 3 0 问题1 下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系 方程 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函数 函数的图象 方程的实数根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 无实数根 函数的图象与x轴的交点 1 0 3 0 1 0 无交点 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 推广 一元二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和x轴的交点与相应方程实根的关系 能否将结论再推广到更一般的情况 一 零点的定义 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 注 1 零点是一个数 而不是一个点2 零点是方程f x 0的实根3 零点也是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 请问 零点是一个点吗 再问 零点与方程的根有何关系 接着问 零点与函数图像跟x轴的交点有何关系 结论 等价关系方程f x 0有实根x函数y f x 与x轴有交点 x 0 函数y f x 有零点x 练习 D 例1 求下列函数的零点 1 f x x2 3x 10解 令x2 3x 10 0即 x 5 x 2 0解得x 5或x 2 函数的零点为 5和2 f x x2 6x 9解 令x2 6x 9 0即 x 3 2 0解得x 3 函数的零点为 3 1 代数法 解 2x x 2 3可化为2x2 4x 3 0 令f x 2x2 4x 3 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴没有交点 所以方程2x x 2 3无实数根 所以函数没有零点 3 2x x 2 3 2 几何法 画出图象 4 f x x3 7x 6 1 函数是否一定有零点 2 如何判断函数存在零点 问题探究 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 2 1 f 2 0f 1 0f 2 f 1 0 2 1 x 1x2 2x 3 0的一个根 2 4 f 2 0f 2 f 4 0 2 4 x 3x2 2x 3 0的另一个根 观察对数函数f x lgx的图象 0 5 1 5 f 0 5 0f 0 5 f 1 5 0 0 5 1 5 x 1lgx 0的一个根 观察下面函数f x 的图象并回答问题 f a f b 0 或 区间 a b 上 有 无 零点 f b f c 0 或 区间 b c 上 有 无 零点 f c f d 0 或 区间 c d 上 有 无 零点 有 有 有 二 零点存在定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 注 在 a b 上函数图像连续 f a f b 0二个条件缺一不可 探究1 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0时 函数在区间 a b 内没有零点吗 探究2 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 并且函数在区间 a b 内有零点时一定有f a f b 0吗 答 零点存在定理只能用来判断函在某个闭区间上有零点 但无法用来判断函数无零点的情况 答 此定理逆推不成立 探究3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 并且有f a f b 0时 函数在区间 a b 内有零点 但是否一定只有一个零点 如果不是 那么什么情况下只有一个零点 结论 函数y f x 在区间 a b 内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点 答 f a f b 0时 只能推出函数区间 a b 内有零点 不能判断出零点的个数 例2 判断函数f x x2 3x 5在区间 3 5 上是否存在零点 解 由题意可知f 3 50从而f 3 f 5 0又易知函数f x 的图像在 3 5 上是连续不断的于是 根据定理得 函数f x x2 3x 5在 3 5 上存在零点 1 对于定义在R上的函数y f x 若f a f b 0 a bR 且a b 则函数y f x 在 a b 内 A只有一个零点B至少有一个零点C无零点D无法确定有无零点 练一练 2 如果二次函数y x2 2x m 3 有两个不同的零点 则m的取值范围是 Am 2Bm2Dm 23 函数f x x3 16x的零点为 A 0 0 4 0 B0 4C 4 0 0 0 4 0 D 4 0 44 函数f x x3 3x 5的零点所在的大致区间为 A 1 2 B 2 0 C 0 1 D 0 B B D A 5 已知函数f x 的图象是连续不断的 有如下的x f x 对应值表 那么函数在区间 1 6 上的零点至少有 个A5B4C3D2 C 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 这个零点所在的大致区间是 2 3 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表 表3 1 和图象 图3 1 3 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例3求函数f x lnx 2x 6的零点个数 法二 练习 B B 课堂小结 1 零点的定义 函数y f x 与x轴有交点 xi 0 方程f x 0有实根xi函数y f x 有零点xi 3 零点存在定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 解 令f x x2 3x 5 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴有两个交点 所以方程 x2 3x 5 0有两个不相等的实数根 1 x2 3x 5 0 解 x2 4x 4可化为x2 4x 4 0 令f x x2 4x 4 作出函数f x 的图象 如下 它与x轴只有一个交点 所以方程