高三数学 专题13 空间的平行与垂直问题练习.doc

专题13：空间的平行与垂直问题一、前测训练abca1b1c1ded1,3,51如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，若d、e是棱cc1，ab的中点，求证：de平面ab1c1提示：法一：用线面平行的判定定理来证：“平行投影法”：取ab1的中点f，证四边形c1def是平行四边形“中心投影法”延长bd与b1c1交于m，利用三角线中位线证deam法二：用面面平行的性质 取bb1中点g，证平面deg平面ab1c12已知底面为平行四边形的四棱锥sabcd中，p为sb中点，q为ad上一点，若pq面sdc，求aq：qddsabcpq答案：1：13在正方体abcda1b1c1d1中，(1)求证：平面a1bd平面b1d1ca1d1abcdb1c1ef(2)若e，f分别是a1a，c1c的中点，求证：平面eb1d1平面bdf提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明bdb1d1，a1bd1c (2)证明bdb1d1，bfd1ea1d1abcdb1c1mo4在正方体abcda1b1c1d1中，m为棱cc1的中点，ac交bd于o，求证：a1o平面mbd 提示：用线面垂直的判定定理： 证bd平面aa1c1c，从而得出bda1o； 在矩形aa1c1c中，用平几知识证明a1oom； 5在正三棱柱abca1b1c1中，所有棱长均相等，d为bb1的中点，求证：a1bcda1bcc1b1da提示：取ab的中点e，连ce，证a1b平面cde6如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd是菱形，pbpd，且e，f分别是bc， cd的中点求证：平面pef平面pacbcdapef提示：设ef与ac交于点o，证efac，efop， 从而得出ef平面pac7如图，已知vb平面abc，侧面vab侧面vac，求证：vac是直角三角形bcav提示：过b作bdva，垂足为d， 由侧面vab侧面vac，得出bd侧面vac，从面bdac， 由vb平面abc，得acvb，从而ac平面vab 所以acva二、方法联想1证明线面平行方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行寻找平面内平行直线步骤，如下图：在直线和平面外寻找一点p；连接pa交平面于点m；连接pa交平面于点n，连接mn即为要找的平行线或pa b ab pm n m n 方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行寻找平面内平行直线步骤，如下图：选择直线上两点a、b构造两平行直线和平面相交于m、n；连接mn即为要找的平行线amnb方法3：构造面面平行构造平行平面步骤，如下图：过a做ac平行于平面内一条直线ac；连结bc；平面abc即为所要找的平行平面abcac证明线线平行 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；方法3：利用平行线段成比例；方法4：利用平行公理；方法5：利用线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理；方法7：利用面面平行2已知线面平行方法 过直线l做平面交已知平面于直线m，则lmlm3面面平行证明 方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行4证明线面垂直方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直证明线线垂直 方法1：利用线面垂直；方法2：利用线线平行；方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一；方法5：利用菱形对角线互相垂直；方法6：利用四边形为矩形5构造垂面证线线垂直要证l垂直于ab，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：过a找垂直于l的直线ac；连结bc，证bc垂直l ，则l面abcablc6证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直找垂线的一般方法：（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；（2）找（或做）两平面交线的垂线7已知线面垂直优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直三、例题分析(考虑立体几何的难度，三个层次学校题目均相同)acdbepf例1：在四棱锥pabcd中，abcacd90，baccad60，pa平面abcd，e为pd的中点，pa2ab (1)若f为pc的中点，求证：pc平面aef；(2)求证：ce平面pab证明：(1)在abc中，abc90，bac60， ac2ab，又pa2ab，acpa， f为pc的中点，afpc； pa平面abcd，cd平面abcd，pacd， acd90，cdac， acpaa，cd平面pac， pc平面pac，cdpc，e为pd的中点，f为pc的中点，efcd，efpc，acdbepfafeff，pc平面aef (2)提示：中心投影法：延长cd与ab交于g，证明cepg 平行投影法：取pa中点m，过c作cnad交ab于n 证四边形cemn是平行四边形，从而得cemn 面面平行的性质：取ad中点h，证明平面ceh平面pab【教学建议】 1本题涉及到证明空间的线面垂直与线面平行2证明线面垂直通常的方法： (1)定义法：ab，b为平面内任意一条直线 a平面 (2)线面垂直的判定定理：am，an，m平面，n平面，mna a平面 (3)面面垂直的性质定理：平面平面，平面平面l，a平面，al a平面3证明直线与平面平行的方法： (1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：ab，a平面，b平面 a平面 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法证明线线平行常用方法：平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等面面平行的性质：，m，nmn线面垂直的性质：a平面，b平面ab公理4：ac，bcab(3)面面平行的性质：平面平面， a平面 a平面例2：如图，在四棱台abcda1b1c1d1中，d1d平面abcd，底面abcd是平行四边形，ab2ad，ada1b1，bad60(1)证明：aa1bd；(2)证明：cc1平面a1bd证明：(1)法一：因为d1d平面abcd，且bd平面abcd，所以d1dbd又因为ab2ad，bad60，在abd中，由余弦定理得bd2ad2ab22adabcos603ad2，所以ad2bd2ab2因此adbd又add1dd，所以bd平面add1a1又aa1平面add1a1，故aa1bd法二：因为d1d平面abcd，且bd平面abcd，所以bdd1d取ab的中点g，连接dg，在abd中，由ab2ad得agad，又bad60，所以adg为等边三角形因此gdgb，故dbggdb，又agd60，所以gdb30故adbadggdb603090所以bdad又add1dd，所以bd平面add1a1又aa1平面add1a1，故aa1bd(2)连接ac，a1c1设acbde，连接ea1，因为四边形abcd为平行四边形，所以ecac由棱台定义及ab2ad 2a1b1知，a1c1ec且a1c1ec，所以四边形a1ecc1为平行四边形因此cc1ea1又因为ea1平面a1bd，cc1平面a1bd，所以cc1平面a1bd【教学建议】 1本题涉及证明线线垂直，线面平行 2证明异面直线垂直问题，一般的方法是证线面垂直，要根据图中已有的线线垂直，找到所需证明的平面；证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”例3：如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd为矩形，pddc4，ad2，e为pc的中点 (1)求证：adpc；(2)求三棱锥pade的体积；abdcep(3)在线段ac上是否存在一点m，使得pa平面edm，若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由证明(1) pd平面abcd，ad平面abcd，pdad， 底面abcd为矩形，addc，又pddcd， ad平面pdc，pc平面pdc， adpc； (2)由(1)知ad平面pdc，ad的长为a到平面pde的距离， 在直角三角形pdc中，e为pc中点，pddc4， spde4，vpadevapdespdead42 (3) 当m为ac中点时，pa平面edm，即在线段ac上存在一点m，使得pa平面edmm为ac中点，e为pc中点，empa，又pa平面edm，em平面edm，pa平面edm此时amac【教学建议】1本题主要涉及证明线线垂直，体积计算与探究命题成立的条件2证明空间两条异面直线垂直问题，通常是证明一条直线垂直与另一条直线所在的一个平面； 多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容