高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算课件 北师大版选修21.ppt

第二章空间向量与立体几何 5夹角的计算 学习目标1 理解直线间的夹角 平面间的夹角 直线与平面的夹角的概念 2 掌握直线间的夹角 平面间的夹角 直线与平面的夹角的求解 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一直线间的夹角 思考1 设a b分别是空间两条直线l1 l2的方向向量 则l1与l2的夹角大小一定为 a b 吗 答案 不一定 若l1 l2的方向向量的夹角为 0 内的角时 l1与l2的夹角为 a b 否则为 a b 思考2 当两条直线平行时 它们的夹角是多少 答案 0 梳理 1 共面直线的夹角 2 异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点a作ab l2 我们把直线l1和直线ab的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角 如图所示 垂直 3 直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1 s2 s1 s2 s1 s2 知识点二平面间的夹角 思考 若平面 1与平面 2平行 则它们的夹角是多少 答案 0 梳理 1 平面间夹角的概念如图 平面 1与 2相交于直线l 点r为直线l上任意一点 过点r 在平面 1上作直线l1 l 在平面 2上作直线l2 l 则l1 l2 r 我们把直线l1和l2的夹角叫作平面 1与 2的夹角 由平面间夹角的概念可知 空间中两个平面的夹角的范围是 当夹角等于0时 两个平面 当夹角等于时 两个平面互相 重合 垂直 2 两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定 已知平面 1与 2的法向量分别为n1与n2 当0 n1 n2 时 平面 1与 2的夹角等于 当 n1 n2 时 平面 1与 2的夹角等于 事实上 设平面 1与平面 2的夹角为 则cos cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 知识点三直线与平面的夹角 思考 若直线l与平面的夹角是0 则直线l与平面是否一定平行 不一定 答案 梳理 1 直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角 如图所示 2 直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内 我们规定这条直线与平面的夹角是 如果一条直线与一个平面垂直 我们规定这条直线与平面的夹角是 由此可得 直线与平面夹角的范围是 0 3 利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中 直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定 设平面 的法向量为n 直线l的方向向量为a 直线l与平面 所成的角为 即sin cos n a 题型探究 类型一直线间的夹角求解 例1已知直线l1的一个方向向量为s1 1 0 1 直线l2的一个方向向量为s2 1 2 2 求直线l1和直线l2夹角的余弦值 解答 s1 1 0 1 s2 1 2 2 s1 s2 90 直线l1与直线l2的夹角为 s1 s2 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时 要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系 因为两条直线的方向向量的夹角的范围是 0 而两条直线的夹角的范围是 0 所以这两者不一定相等 还可能互补 由于任意两条直线的夹角 0 所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于 cos s1 s2 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 在三棱柱oab o1a1b1中 平面obb1o1 平面oab o1ob 60 aob 90 且ob oo1 2 oa 求异面直线a1b与ao1夹角的余弦值 解答 建立如图所示的空间直角坐标系 则o 0 0 0 类型二求平面间的夹角 例2如图 已知abcd为直角梯形 dab abc 90 sa 平面abcd sa ab bc 1 ad 求平面sab与平面scd的夹角的余弦值 解答 如图 以a为坐标原点 分别以ad ab as所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设平面scd的一个法向量为n x y z 令z 1 得n 2 1 1 反思与感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 1 建立适当的空间直角坐标系 2 分别求出两平面的法向量 3 求出两个法向量的夹角 4 确定平面间夹角的大小 跟踪训练2如图 在四棱锥s abcd中 sd 底面abcd ab dc ad dc ab ad 1 dc sd 2 e为棱sb上的一点 平面edc 平面sbc 1 证明 se 2eb 证明 以d为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 2 0 s 0 0 2 设平面sbc的一个法向量为m a b c 设平面edc的一个法向量为n x y z 由平面edc 平面sbc 得m n m n 0 2 0 即 2 se 2eb 2 求平面ade与平面cde夹角的大小 解答 故平面ade与平面cde夹角的大小为60 类型三直线与平面的夹角 例3已知直线l的一个方向向量为s 1 0 0 平面 的一个法向量为n 2 1 1 求直线与平面夹角的正弦值 解答 反思与感悟 注意公式sin cos n a 中 是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值 不要记错 跟踪训练3如图所示 已知直角梯形abcd 其中ab bc 2ad as 平面abcd ad bc ab bc 且as ab 求直线sc与底面abcd的夹角 的余弦值 解答 由题设条件知 以点a为坐标原点 分别以ad ab as所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 0 90 当堂训练 1 在两个平面内 与两个面的交线都垂直的两个向量分别为 0 1 3 2 2 4 则这两个平面夹角的余弦值为 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则cd与平面bdc1的夹角的正弦值是 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 设aa1 2ab 2 则b 1 1 0 c 0 1 0 d 0 0 0 c1 0 1 2 设平面bdc1的法向量为n x y z 2 3 4 5 1 令z 1 则y 2 x 2 所以n 2 2 1 设直线cd与平面bdc1的夹角为 2 3 4 5 1 3 在矩形abcd中 ab 1 bc pa 平面abcd pa 1 则pc与平面abcd的夹角大小为 答案 解析 30 建立如图所示的空间直角坐标系 平面abcd的一个法向量为n 0 0 1 所以斜线pc与平面abcd的法向量的夹角为60 所以斜线pc与平面abcd的夹角大小为30 2 3 4 5 1 4 已知直线l1的一个方向向量为a 1 1 2 直线l2的一个方向向量为b 3 2 0 则两条直线夹角的余弦值为 答案 解析 2 3 4 5 1 5 已知平面 1的一个法向量为n1 1 1 3 平面 2的一个法向量为n2 1