湖北省八市高三数学三月联考试卷 理（含解析）.doc

湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知x1，x2是方程（x1）2=1的两相异根，当x1=1i（i为虚数单位）时，则x22为（）a2ib1+ic2id1i2（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为（）a45b36c60d1203（5分）有下列关于三角函数的命题p1：xr，xk+（kz），若tanx0，则sin2x0；p2：函数y=sin（x）与函数y=cosx的图象相同；p3：x0r，2cosx0=3；p4：函数y=|cosx|（xr）的最小正周期为2，其中真命题是（）ap1，p4bp2，p4cp2，p3dp1，p24（5分）如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）a94b32c64d165（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（） 1813 101 用电量（度） 24 3438 64由表中数据得到线性回归方程=2x+a，当气温为4时，预测用电量均为（）a68度b52度c12度d28度6（5分）已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式给定，若m（x，y）为d上任一点，点a的坐标为（，1），则z=的最大值为（）a3b4c3d47（5分）从半径r的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为（）abcd8（5分）已知函数f（x）=sin（x）1（0），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）abcd9（5分）点f（c，0）为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，点p在双曲线上，线段pf与圆（x）2+y2=相切于点q，且，则双曲线的离心率等于（）abcd210（5分）设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1，若f（x）1的解集为m，g（x）4的解集为n，当xmn时，则函数f（x）=x2f（x）+xf（x）2的最大值是（）a0bcd二、填空题（共6小题，每小题5分，满分25分）11（5分）已知向量=（1，2），=（5，2），向量=（4，0），用，表示向量，则=12（4分）设an为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程度框图，运行相应的程序，则输出结果为13（4分）在平面直角坐标系中，已知点p（4，0），q（0，4），m，n分别是x轴和y轴上的动点，若以mn为直径的圆c与直线pq相切，当圆c的面积最小时，在四边形mpqn内任取一点，则这点落在圆c内的概率为14（4分）在平面直角坐标系中，二元方程f（x，y）=0的曲线为c，若存在一个定点a和一个定角（0，2），使得曲线c上的任意一点以a为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线c为旋转对称曲线，给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是（填上你认为正确的曲线）c1：=1； c2：=0；c3：x2y=0（x2，2）； c4：ycosx=0（x0，）15（4分）如图，圆o的圆心在rtabc的直角边bc上，该圆与直角边ab相切，与斜边ac交于点d、e，ad=de=ec，ab=，则直角边bc的长为16（4分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程为p=2cos，0，则c的参数方程为三、解答题（共6小题，满分75分）17（12分）已知函数f（x）=acos2+asinxa（0，a0在一个周期内的图象如图所示，其中点a为图象上的最高点，点b，c为图象与x轴的两个相邻交点，且abc是边长为4的正三角形（1）求与a的值；（2）若f（x0）=，且x0（，），求f（x0+1）的值18（12分）已知数列xn满足x1=，且xn+1=，（nn+）（1）用数学归纳证明：0xn1（2）设an=，求数列an的通项公式19（12分）如图1在rtabc中，abc=90，d、e分别为线段ab、ac的中点，ab=4，bc=，以d为折痕，将rtade折起到图2的位置，使平面ade平面dbce，连接ac，ab，设f是线段ac上的动点，满足=（1）证明：平面fbe平面adc；（2）若二面角fbec的大小为45，求的值20（12分）某物流公司送货员从公司a处准备开车送货到某单位b处，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例如acd算作两个路段：路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由a到b的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线acfb中遇到堵车的次数为随机变量，求的数学期望e21（13分）椭圆c：+=1（ab0）的上顶点为a，p（，）是c上的一点，以ap为直径的圆经过椭圆c的右焦点f（1）求椭圆c的方程；（2）动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由22（14分）已知函数f（x）=和直线l：y=m（x1）（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线l垂直时，求原点o到直线l的距离；（2）若对于任意的x1，+），f（x）m（x1）恒成立，求m的取值范围；（3）求证：ln（nn+）湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知x1，x2是方程（x1）2=1的两相异根，当x1=1i（i为虚数单位）时，则x22为（）a2ib1+ic2id1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由方程（x1）2=1化简得到x1+x2=2，然后再由x1的值求出x2，则答案可求解答：解：由（x1）2=1，得x22x+2=0则x1+x2=2x1=1i，1i+x2=2x2=1+i则故选：c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为（）a45b36c60d120考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：把所给的式子利用二项式定理展开，可得xy2项的系数解答：解：由于（1+x）6（1+y）4=（1+6x+15x2+20x3+x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），可得xy2项的系数为 66=36，故选：b点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题3（5分）有下列关于三角函数的命题p1：xr，xk+（kz），若tanx0，则sin2x0；p2：函数y=sin（x）与函数y=cosx的图象相同；p3：x0r，2cosx0=3；p4：函数y=|cosx|（xr）的最小正周期为2，其中真命题是（）ap1，p4bp2，p4cp2，p3dp1，p2考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；三角函数的图像与性质；简易逻辑分析：运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断p1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断p2；由余弦函数的值域，即可判断p3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断p4解答：解：对于p1，xr，xk+（kz），若tanx0，则sin2x=2sinxcosx=0，则p1为真命题；对于p2，函数y=sin（x）=sin（2+x）=sin（x+）=cosx，则p2为真命题；对于p3，由于cosx1，1，1，1，则p3为假命题；对于p4，函数y=|cosx|（xr），f（x+）=|cos（x+）|=|cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为，则p4为假命题故选d点评：本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题4（5分）如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）a94b32c64d16考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积s=（62）2=16，高h=82=6，故四棱锥的体积v=32，故选：b点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（） 1813 101 用电量（度） 24 3438 64由表中数据得到线性回归方程=2x+a，当气温为4时，预测用电量均为（）a68度b52度c12度d28度考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数解答：解：由表格得=10，=40（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=2，40=10（2）+a，解得：a=60，=2x+60，当x=4时，=2（4）+60=68故选：a点评：本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题6（5分）已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式给定，若m（x，y）为d上任一点，点a的坐标为（，1），则z=的最大值为（）a3b4c3d4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：首先画出可行域，则z=x+y，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：首先做出可行域，如图所示：z=x+y，即y=x+z做出l0：y=x，将此直线平行移动，当直线y=x+z经过点b时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值因为b（，2），所以z=+2=2+2=4，即z的最大值为4故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用以及向量数量积的应用，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）从半径r的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计；排列组合分析：画出正方体的图形，设正方体的边长为1，求出正方形的外接球半径r=；计算从9个点中任取2个点的取法种数以及所取的2个点间的距离小于或等于半径的取法种数，求出对应的概率即可解答：解：如图所示，设正方体的边长为1，则该正方形的外接球的直径为，半径r=；从球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，方法有=36种；其中这两个点间的距离小于半径的取法有0种，等于半径的取法有8种，是oa、ob、oc、od、oa1、ob1、oc1、od1，共0+8=8种；所求的概率为p=故选：b点评：本题考查了古典概型的应用问题，也考查了组合数的应用问题，是基础题目8（5分）已知函数f（x）=sin（x）1（0），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）abcd考点：定积分；函数的零点 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：把f（x）=sin（x）1代入（f（x）+1）dx=0，由定积分求得，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点解答：解：由f（x）=sin（x）1且（f（x）+1）dx=0，得sin（x）dx=0，cos（x）=0即，0，=，则f（x）=sin（x）1，由sin（x）1=0，解得：取k=0，得x=故选：a点评：本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题9（5分）点f（c，0）为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，点p在双曲线上，线段pf与圆（x）2+y2=相切于点q，且，则双曲线的离心率等于（）abcd2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆的左焦点为f1，确定pf1pf，|pf1|=b，|pf|=2a+b，即可求得椭圆的离心率解答：解：设双曲线的左焦点为f1，连接f1，设圆心为c，则（x）2+y2=，圆心坐标为（，0），半径为r=|f1f|=3|fc|，pf1qc，|pf1|=b|pf|=2ab线段pf与圆（x）2+y2=（其中c2=a2+b2）相切于点q，cqpfpf1pfb2+（2a+b）2=4c2b2+（2a+b）2=4（a2+b2）b=2a，c=ae=故选：c点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键10（5分）设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1，若f（x）1的解集为m，g（x）4的解集为n，当xmn时，则函数f（x）=x2f（x）+xf（x）2的最大值是（）a0bcd考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：根据绝对值不等式的解法求出集合m，n，以及mn，然后求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质即可得到结论解答：解：f（x）=2|x1|+x1=，若x1，由f（x）1得3x31得x，此时得1x，若x1，由f（x）1得1x1得x0，此时得0x1综上，原不等式的解集m为0，由g（x）=16x28x+14，求得x，n=，mn=0，当xmn时，f（x）=1x，f（x）=x2f（x）+xf（x）2 =xf（x）x+f（x）=x（1x）=（x）2，当且仅当x=时，取得最大值则函数的最大值为故选：d点评：本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值不等式的解法以及一元二次函数以及一元二次不等式的性质是解决本题的关键，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分25分）11（5分）已知向量=（1，2），=（5，2），向量=（4，0），用，表示向量，则=考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据题意，设=+，利用向量相等，求出、的值即可解答：解：=（1，2），=（5，2），=（4，0），设=+，则（4，0）=（1，2）+（5，2）=（+5，22）；，解得=1，=1；=故答案为：点评：本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目12（4分）设an为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程度框图，运行相应的程序，则输出结果为4考点：程序框图 专题：图表型；等差数列与等比数列；算法和程序框图分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，程序算法的功能是求s=lga1+lga2+lga8的值，由等比数列的求和公式即可得解解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=1s=lga1，n=2不满足条件n9，s=lga1+lga2，n=3不满足条件n9，s=lga1+lga2+lga8，n=9满足条件n9，退出循环，输出s的值根据等比数列的通项公式：an=a1qn1a4=2，a5=5，可解得：q=，a1=，所以s=lga1+lga2+lga8=lgs=lg（a1a2a8）=lg（）8（）28=8（lg16lg125）+28（lg5lg2）=4故答案为：4点评：本题主要考查的知识点是程序框图，考查了等比数列的求和，考查了对数的运算，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于中档题13（4分）在平面直角坐标系中，已知点p（4，0），q（0，4），m，n分别是x轴和y轴上的动点，若以mn为直径的圆c与直线pq相切，当圆c的面积最小时，在四边形mpqn内任取一点，则这点落在圆c内的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意，圆c的面积最小时，圆c的半径为，面积为2，四边形mpqn的面积为=6，即可得出结论解答：解：由题意，圆c的面积最小时，圆c的半径为，面积为2，四边形mpqn的面积为=6，当圆c的面积最小时，在四边形mpqn内任取一点，则这点落在圆c内的概率为故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，确定面积是关键14（4分）在平面直角坐标系中，二元方程f（x，y）=0的曲线为c，若存在一个定点a和一个定角（0，2），使得曲线c上的任意一点以a为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线c为旋转对称曲线，给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是c1，c2，c4（填上你认为正确的曲线）c1：=1； c2：=0；c3：x2y=0（x2，2）； c4：ycosx=0（x0，）考点：曲线与方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用旋转对称曲线的定义，确定一个定点a和一个定角（0，2），即可得出结论解答：解：由题意，c1：=1，存在一个定点a（0，0）和一个定角=； c2：=0，存在一个定点a（0，0）和一个定角=；c3：x2y=0（x2，2）是轴对称图形，不是中心对称图形； c4：ycosx=0（x0，），存在一个定点a（，0）和一个定角=，故答案为：c1，c2，c4点评：本题考查曲线与方程，考查旋转对称曲线的定义，正确理解旋转对称曲线的定义是关键15（4分）如图，圆o的圆心在rtabc的直角边bc上，该圆与直角边ab相切，与斜边ac交于点d、e，ad=de=ec，ab=，则直角边bc的长为7考点：与圆有关的比例线段 专题：推理和证明分析：由切割线定理得ab2=ad（ad+de），从而得到ad=de=ec=，由此利用勾股定理能求出bc解答：解：ab是切线，ade是割线，ab2=ad（ad+de），ab=，ad=de=ec，解得ad=de=ec=，ac=3，rtabc的直角为abc，bc=7故答案为：7点评：本题考查直角边的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用16（4分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程为p=2cos，0，则c的参数方程为，（0）考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由半圆c的极坐标方程为p=2cos，0，可得直角坐标方程：（x1）2+y2=1，（0y1）利用sin2+cos2=1即可得出参数方程解答：解：由半圆c的极坐标方程为p=2cos，0，2=2cos，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x1）2+y2=1，（0y1）可得参数方程为，（0）点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程，考查了计算能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分75分）17（12分）已知函数f（x）=acos2+asinxa（0，a0在一个周期内的图象如图所示，其中点a为图象上的最高点，点b，c为图象与x轴的两个相邻交点，且abc是边长为4的正三角形（1）求与a的值；（2）若f（x0）=，且x0（，），求f（x0+1）的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）化简函数解析式可得f（x）=（），由已知可求t，即可求得的值，由图象可知，正三角形abc的高即为函数f（x）的最大值a，即可得a的值（）由（）及已知可得sin（x0+）=，即可求cos（x0+）的值，由f（x0+1）=2（x0+）=2sin（x0+）+展开即可求值得解解答：解：（）由已知可得f（x）=a（）=asin（） bc=4，t=8，=由图象可知，正三角形abc的高即为函数f（x）的最大值a，得a=bc=2（）由（）知f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，x0（，），x0+（，），cos（x0+）=f（x0+1）=2（x0+）=2sin（x0+）+=2sin（x0+）cos+cos（x0+）sin=2（）=点评：本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变形的应用，属于基本知识的考查18（12分）已知数列xn满足x1=，且xn+1=，（nn+）（1）用数学归纳证明：0xn1（2）设an=，求数列an的通项公式考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据数学归纳法的证明步骤进行证明；（2）设an=，可得an1是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列an的通项公式解答：（1）证明：当n=1时，x1=（0，1），假设当n=k时，结论成立，即xk（0，1），则当n=k+1时，xk+1=f（xk）=xk（0，1），（0，1），即n=k+1时结论成立综上可知0xn1；（6分）（2）解：由xn+1=可得：=1an=，an+1=2an1，an+11=2（an1）（8分）又a11=1an1是以1为首项，以2为公比的等比数列，an1=2n1，即an=2n1+1（12分）点评：本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查数学归纳法，证明n=k+1时，是解题的难点19（12分）如图1在rtabc中，abc=90，d、e分别为线段ab、ac的中点，ab=4，bc=，以d为折痕，将rtade折起到图2的位置，使平面ade平面dbce，连接ac，ab，设f是线段ac上的动点，满足=（1）证明：平面fbe平面adc；（2）若二面角fbec的大小为45，求的值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得adde，ad平面dbce，从而adbe，由1tanbedtancde=0，得bedc，由此能证明平面feb平面adc（2）作fgdc，垂足为g，设be交dc于o点，连of，则fog为二面角fbec的平面角，由fgad，得fg=ad=2，同理，得cg=cd，dg=（1）cd=2（1），从而og=dgdo=2（1），由此结合已知条件能求出解答：解：（1）证明：平面ade平面dbce，adde，ad平面dbce，adbe，d，e分别是线段ab、ac的中点，de=，bd=，（2分）在直角三角形deb中，tan=，tan，1tanbedtancde=0，bed+cde=90，得bedc，be平面adc，又be平面feb，平面feb平面adc（6分）（2）解：作fgdc，垂足为g，则fg平面dbce，设be交dc于o点，连of，由（1）知，fog为二面角fbec的平面角，（7分）由fgad，则=，fg=ad=2，同理，得cg=cd，dg=（1）cd=2（1），do=，og=dgdo=2（1），在rtogf中，由tanfog=1，（10分）得（12分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）某物流公司送货员从公司a处准备开车送货到某单位b处，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例如acd算作两个路段：路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由a到b的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线acfb中遇到堵车的次数为随机变量，求的数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）由对立事件概率计算公式，分别计算路线aefb途中堵车概率、路线acdb途中堵车概率、路线acfb途中堵车概率，由此能求出选择路线路线aefb的途中发生堵车的概率最小（）由题意，可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望e解答：解：（1）由已知得：路线aefb途中堵车概率为：1=，路线acdb途中堵车概率为：1=，路线acfb途中堵车概率为：1=所以选择路线路线aefb的途中发生堵车的概率最小（6分）（）由题意，可能取值为0，1，2，3p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=+=，p（=3）=e=（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用21（13分）椭圆c：+=1（ab0）的上顶点为a，p（，）是c上的一点，以ap为直径的圆经过椭圆c的右焦点f（1）求椭圆c的方程；（2）动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题设可得c2c+=0，又点p在椭圆c上，可得a2=2，又b2+c2=a2=2，联立解得c，b2，即可得解（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0（），由=0，得m2=2k2+1，假设存在m1（1，0），m2（2，0）满足题设，则由