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文档简介

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题（64分）1设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 2函数的值域为 3设为正实数，则 4如果，那么的取值范围是 5现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）6在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为 7直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为 8已知c，则数列中整数项的个数为 二、解答题（56分）9（16分）设函数，实数满足，求的值10（20分）已知数列满足：r且，n（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小yxopab11（20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1. 提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个元素分别为5（1）6，532，550，583，因此，集合2. 提示：设，且，则设，则，且，所以 3-1. 提示：由，得又 ，即 于是 再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或故4. 提示：不等式等价于. 又是上的增函数，所以，故z)因为，所以的取值范围是515000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；所以满足题设要求的方案数为6. 提示：设四面体的外接球球心为，则在过的外心且垂直于平面的垂线上由题设知，是正三角形，则点为的中心设分别为的中点，则在上，且，因为，设与平面所成角为，可求得abcdopmn在中，由余弦定理得，故四边形的外接圆的直径 故球的半径7或提示： 设，由得 ，则，又，所以，因为，所以，即有，即，即，即显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合所以，解得故所求点的坐标为或815. 提示：c要使 为整数，必有均为整数，从而当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个当时，c，在c中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以c中因数2的个数为，故是整数当时，c，在c中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故c中因数2的个数为，故不是整数因此，整数项的个数为9因为，所以，所以或，又因为，所以，所以 又由有意义知，从而，于是所以 从而 又，所以，故 解得或（舍去）把代入解得 所以 ， 10（1）由原式变形得 ，则 记，则， 又 ，从而有，故 ，于是有 （2），显然在时恒有，故 11（1）设直线：，将代入中，化简整理得于是有， 则，上式中，分子，从而，又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以的内切圆的圆心在直线上
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