储油罐表示.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要本文主要运用积分微元方法，对小椭圆型储油罐和实际储油罐变位后对罐容表的影响建立了数学模型，给出了变位后罐容表标定值并与实际数据做了比较。 针对问题一，先对附件1 中的数据进行了详细的分析，观察油位高度的变化规律，并对特殊数据做出分析。然后，在无变位时，根据微元法，得到油高与油量的关系为：，通过与附件1中数据比较，得到最大误差为3.5538%，在纵向变位时，分四种情况，根据微元法分别建立模型（见正文(4)-(6)式），其中一个模型为：，根据这四种情况，当探针指示为0m时，罐内已有1.48L的油。当探针指示1.2m时，油罐储油量为4105.5L。模型计算得到的无变位进油时的罐容表及模型相对误差如下表所示（结果详见正文中表1表4）： 流水号模型结果实验数据相对误差流水号模型结果实际数据相对误差11322.93120.0349363113121823.50.03490912374.63620.0348073213621875.20.034875693589.93468.910.03489884107.33968.910.034869罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值见下表。（结果详见正文中表5）： 油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)04.2150157.818352711803975.698432107.9160180.259096111903995.548524140136.911503910.33153812004105.556545针对问题二，为了方便研究罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系，根据微元法，分别建立了油罐无变位、纵向变位、横向变位、纵向变位角度同时横向变位四个数学模型，利用试探法得到最优解，。罐体变位后油位高度间隔10cm的罐容表标定值如下表所示（结果详见正文中表7）：油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)0428.9100021329.3200049215.31001568.5110024077.2210051809.390018639.7190046543.7300070568.9通过对附件2中的实际检测数据检验模型，可以得到模型的最大误差为9%。 关键词：积分微元；相对误差；试探法；储油罐一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。典型的储油罐，其主体为圆柱体，两端为球冠体。罐体可能发生纵向倾斜变位以及横向偏转变位。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二、模型假设与符号说明2.1模型假设1注油管，出油管及油位探针的体积对于实际油量容积的大小的影响忽略不计；2油位高度是油面平稳后的测量值；3管壁厚度忽略不计；4储油罐可能左端上翘或下翘，这里只考虑油罐左端下翘；5同时发生纵向变位，横向变位时两者之间相互独立。2.2符号说明油位高度小椭圆型储油罐长度油面长度进油时，模型计算的储油量与实验数据的相对误差出油时，模型计算的储油量与实验数据的相对误差实际储油罐中，两端球罐体的半径纵向变位倾斜角度横向变位偏转角度小椭圆型储油罐容积小椭圆型储油罐无变位情况下，油罐中油量容积小椭圆型储油罐纵向变位，第种液面情况下，油罐中油量容积，小椭圆型储油罐平头（椭圆面）的长轴小椭圆型储油罐平头（椭圆面）的短轴实际储油罐无变位情况下，油罐中油量容积小椭圆型储油罐纵向变位，第种液面情况下，油罐中油量容积，三、模型的初步分析3.1问题1中实验数据的分析在问题一中分析了卧式小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体），当油罐卧式放置时，根据轴对称性，油罐的上部和下部体积变化较大，而在中间部分变化较缓。由此可知，当在进油与出油速度一定的情况下，油位高度的变化应该呈快，慢，快的变化趋势，下面通过描述油位高度差的变化趋势分析实验数据的特点，程序见附录Model1。1罐体无变位进油情况，高度差变化趋势及储油量随高度变化的曲线如下图： 图1 高度差变化曲线 1 图2 储油量随高度变化曲线1 从图2中可以观察出曲线单调递增且两端的曲线要比中间部分的陡，为进一步分析数据变化可以通过高度差的变化来分析。因为油罐在初始状态时有262L油，所以在刚开始进油时，液面已经接近油罐中间部分，而在最后的实验数据部分，液面到达油罐顶部体积变化较大所以造成高度差变化较快的趋势。每个流水号的进油速度大致是每分钟进50L油，从图中很容易观察出，有4个点对应的高度差非常小，在表中找到相应数据，造成这种变化的原因是第52，54，61，72流水号是一分钟内分别进油3.83L，1.23L，2.05L，0.08L，远小于50L，所以高度差非常小。2罐体无变位出油情况，高度差变化趋势如下图：图3 高度差变化曲线 2很明显在刚开始出油时，高度差变化较快，因为油罐在刚开始时已接近油罐容积，所以在以大致相同速度出油时，刚开始探针示数变化较快，而当出油达到一定量时，油罐中的油已经达不到出油口，所以不能再出油，所以在出油末期高度差不会出现特别陡的情况并且整个出油过程中探针都会有示数。3罐体纵向变位进油的情况，高度差变化趋势及储油量随高度变化如下图： 图4 高度差变化趋势3 图5 储油量随高度变化曲线2从图5中可以观察出曲线单调递增且两端的要比中间部分的陡，但图像显示并不明显，为进一步分析数据变化可以通过高度差的变化来分析。在罐体纵向变位的情况下，液面可能出现四种情况，而且只有当储油量达到一定体积时油位探针才会出现示数，这就会造成油罐中有油而探针无示数的情况。因为油罐在初始状态时有215L油，足可以没过探针使探针有示数，虽然罐体变位使得高度差变化不均匀，但大体上变化趋势仍满足快，慢，快，并且在这种情况下油罐不会满，因为在油罐满之前，油位探针示数就会显示油罐已满而停止进油。4罐体纵向变位出油的情况，高度差变化趋势如下图：图6 高度差变化曲线4罐体发生纵向变位，若是出油端上偏，油罐就会出现“提前”不能出油的情况，这样会造成油罐中剩油量要比预想得多的状态下而开始进油，若是探位针一端偏离地面，油罐就会出现出油“过多”的情况，工作人员从探位针读到油罐内储油量的状况，这样会造成进油比应该的进油量少，所以一旦出现罐体变位，应该及时对罐容表进行重新标定。3.1问题2中实验数据的分析在题目所给附件2中，给出了每个流水号出油量，油面高度以及出油量的对应关系，在检验数据合理性时，发现相邻两次采集数据时，油量容积之差与出油量相差较大，例如：流水号201时油量容积为60448.88L，流水号202时为60311.43L，则出水量应该等于137.45L，而实际出油量为149.09L。说明，在标定油量容积时可能存在较大误差，所以在计算参数a和b时，不应该用油量容积和油面高度的关系计算，而应该通过出油量与油量容积之差的对应关系求解，这样由附件中所给数据可以求出150组a和b的值，最后用最小二乘的思想求得a和b的最优解。四、模型的建立与求解3.1问题一模型的建立与求解3.1.1模型的建立 针对罐体无变位及纵向变位（倾斜角为a）两种情况，采用二重积分1，得到油位高度及油量的关系，计算比较罐体变位后对罐容表的影响。在纵向变位的模型中当参数a=0时，即为罐体无变位的情况，然后利用题目中所给实验数据对模型进行验证。1罐体无变位情况：-bx0Shyba图7 小椭圆油罐截面示意图如图所示，截面为长轴为a，短径为b的椭圆，形如图1所示，h为液面高度，因为罐体无变位，在同一油面高度下，油面截面均为如图示椭圆。图中所示椭圆方程为：根据不定积分可求出高度为H时，油罐截面面积为：设油罐长度为L，所以油罐中储油量为： (1)计算(1)式积分得： (2)式(2)即为储油量与油位高度的关系，下面计算罐体纵向变位a时二者的关系。2罐体纵向变位a情况以沿油罐方向（即与水平成角的方向）为y方向，以椭圆长轴方向为z轴方向，以短径方向为x轴方向，建立三维直角坐标系。考虑平面，当液面高度为y时，该点所对应的z轴坐标可以用相似三角形的知识求得：所以当液面高度为y时，该点所对应的z轴坐标为： (3)当罐体发生纵向变位时，液面可能会发生五种情况：（1）设油面长度为l，时：h0.4m2.05ml水平方向图8 罐体纵向变位a情况1在这种情况下，平行于油位探针的平面截得的正截面图仍为椭圆，利用积分公式可求得二者的关系表达式： 这里y是与z有关的，关系表达式见式(3)。油面长度同样随h的变化而变化，对油面正截面从0到液面长度进行积分，即可算得储油量与油位高度的关系：将(3)式对y进行换元，最后得到储油量与油位高度的关系为： (4)（2）当l=2.45且油面未达到油罐顶部时：0.4m2.05mhl图9 罐体纵向变位a情况2在这种情况下，油面长度为定长L，截面面积随油面的高度的变化而变化2,利用积分公式可求的二者的关系表达式：此时，储油量为：将(3)式对y进行换元，最后得到储油量与油位高度的关系为：(5)（3）当l=2.45且油面达到油罐顶部时：0.4mlh2.05m2b-h2.05tan图10 罐体纵向变位a情况3在这种情况下，可以将油分为两部分（一部分为到达油顶部分油的体积，另一部分是未达到部分的体积）计算储油量，这样做比较繁琐，所以采用整个油罐容积减去罐内无油部分的体积的方法来计算储油量。无油部分体积：所以储油量为：将(3)式对y进行换元，最后得到储油量与油位高度的关系为：(6)（4）油罐油位探针探针显示油罐已满时：h0.4m2.05ml图11 罐体纵向变位a情况4这时油罐储油量为油罐总体积减去无油部分体积，而无油部分可由情况（3）中储油量与油面高度的关系式算出，油位探针显示1.2m时，油罐中储油量4105.557L。3.1.2模型的求解在对模型进行求解时，针对题中附件1所给实验数据，分别对进油和出油两种情况进行求解，其中油罐长度为2.45m。1罐体无变位（1）对于进油情况，将整理后的数据代到表达式(1)中，用MATLAB软件编程，程序见附录中Model2，Model3，部分结果列举如下（结果详见附录中表1）：表1 无变位进油时模型算得的储油量与实验数据对照表流水号模型计算值(L)实际测量值(L)流水号模型计算值(L)实际测量值(L)11322.93123113121823.512374.63623213621875.213426.4412331412192714478.14623414621978.715529.85123515122030.416581.65623615622082.2683538.13418.91874055.63918.91693589.93468.91884107.33968.91（2）同样对出油量递减，即出油情况进行计算，程序见附录中Model4,部分结果列举如下（结果详见附录中表2）：表2 无变位出油时模型算得的储油量与实验数据对照表流水号模型计算值(L)实际测量值(L)流水号模型计算值(L)实际测量值(L)11151.750145013151.732445011251.731335013251.771495011351.744615013351.72935011451.73625013451.731945011551.764065013551.741725011651.725535013651.7613550683538.13418.91874055.63918.91693589.93468.91884107.33968.912罐体纵向变位（1）对于进油情况，将整理后的数据代到表达式(1)中，用MATLAB软件编程，程序见附录中Model5，Model6，部分结果列举如下（结果详见附录中表3）：表3 纵向变位进油时模型算得的储油量与实验数据对照表流水号模型计算值实际测量值流水号模型计算值实际测量值2111010.047962.862382402.7462312.732121058.3321012.862392452.2362362.732131118.0471062.862402497.8952412.732141167.5331112.862412548.6562462.732151222.1461162.862422599.5552512.732161279.1981212.862432644.6892562.732492942.0692862.732633573.2283514.742502992.5682912.73（2）同样对出油量递减，即出油情况进行计算，程序见附录中Model7，部分结果列举如下（结果详见附录中表4）：表4 纵向变位出油时模型算得的储油量与实验数据对照表流水号模型计算值(L)实际测量值(L)流水号模型计算值(L)实际测量值(L)31145.0264495032851.2942835031247.673315032946.4514145031348.3921545033050.9481115031451.0934215033146.9141135031541.4985675033248.3565485031654.9228715033348.9747995033949.8623815036056.8725545034053.6185935031056.05121750下面给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（结果详见附录中表5）：表5 变位罐容表高度(mm)油量(L)高度(mm)油量(L)高度(mm)油量(L)04.2400965.66088002661.423107.94101004.9548102703.552209.34201044.5848202745.4913011.14301084.5358302787.2254014.84401124.7918402828.745020.74501165.3368502870.022390926.72167067902619.11511903995.54912004105.5573.2问题二模型的建立与求解3.2.1模型的建立在对该问题建立模型时，分四种情况：1油罐无变位；2罐体纵向变位；3罐体横向变位；4纵向变位角度，横向变位，分别建立模型。1油罐无变位问题二中，将油罐分为两部分求解，一部分是两端球冠状中油的体积；第二部分是中间圆柱部分油的体积，分别求解这两部分油的体积，再相加，即为油罐整体中的注油量，首先对于第一部分，用平行于液面的切面切割，得到的是如图的切面（深色阴影），设该切面是半径为R的球的一部分。h图12 实际油罐图该切面的面积可用积分求得：该部分的体积对y进行积分：计算，整理得到：对于第二部分的体积同样可根据积分求得：计算，整理得到：所以此时油罐储油量为：2油罐纵向变位对于这种情况，将油罐中储油量分为两种液面情况分别求解：1）液面长度l小于10m时，纵向偏转倾斜后侧截面图如下图：y液面水平线 图13 纵向偏转倾斜后侧截面图1当近似和相等时，油罐两端液面近似于扇形，扇形所在圆的方程的半径可通过方程：求得：m，由相似三角形的知识，有下面的比例式成立：可以推出：，。所以油罐两端液面近似的扇形的面积为：对面积积分即可求得油罐两端储油量：计算积分得：对于油罐中间部分体积的计算，参照问题一中(4)式，将带入(4)中，并将0.4m改为2m即可求得：计算得到和，后即可得到：2）液面长度l等于10m且液面处于中间偏上时，纵向偏转倾斜后侧截面图如下图：y液面水平线图14 纵向偏转倾斜后侧截面图2这种情况下，在计算油罐左侧截面面积时，用整个切面面积减去无油部分切面的面积，无油部分切面中近似和相等，可以用1）情况下计算扇形面积的方法，这里就不再赘述，因为每个切面的面积相差不大，所以为方便计算用最大的切面近似每个切面的大小，则最后得到的油面截面面积为：这一部分油的体积为：经计算最后整理得到：在计算油罐右侧截面面积时，有油切面可以近似为扇形，可以用1）情况下计算扇形面积的方法：这一部分油的体积为：经计算最后整理得到： 在计算油罐中间部分油量体积时，参照问题一中(4)式，将带入(4)中，并将0.4m改为2m即可求得： 所以最后得到的储油量与油面高度的关系为：3油罐横向变位因为油罐为圆柱，发生横向偏转时，探针的示数不再是真实的液面高度，只要通过探针示数求出真实液面高度再带入到无偏转的模型中即可求得储油量，下面分析探针示数与真实液面高度的关系。h图15 横向偏转倾斜后正截面图将探针向垂直方向做投影，易得：(8)将(8)带入(7)式，得到油面高度与储油量的关系： 所以储油量与高度的关系：4油罐纵向变位角度，横向变位：油罐同时发生纵向，横向变位，探针示数与真实液面高度的关系仍满足(8)式，所以只需将(8)式代入对应的储油量与液面高度对应关系式，就可以求得罐容表。所以储油量与高度的关系： (9)3.2.2模型的求解在对数据进行分析时，发现标定油量容积时可能存在较大误差，所以在计算参数和时，应该通过出油量与油量容积之差的对应关系求解，这样由附件2中所给数据可以求出150组和的值，最后用最小二乘的思想求得和的最优解，具体步骤如下：取相邻四个流水号的高度值，对应出油量为将四个值分别代入中，对应的油量容积值，则可以建立方程组：这是一个关于的二元方程组，可以利用MATLAB软件编程（程序见附录Model）求得一组的值，这样根据实验数据中的603个数据，可以算得150组的值，然后用最小二乘的思想求误差最小的最优解，的部分值列举如下表（结果详见附录中表6）：表6 的值序号序号序号13.7429244.272306513.8000634.1574041013.7761454.1385323.8494234.115006523.7243763.9965971023.7515994.1986333.8991444.120362533.8404324.0671451033.7672664.2412143.9077144.272534543.7206154.1680111043.8475524.1062853.8776844.368654553.8859784.2825431053.7874.2835163.5740164.161361563.8066874.1770711063.7405654.30945503.8448764.2018771003.6987284.2291791503.7472064.21674在确定的值后，实验数据所满足的油位高度与储油量的表达式就得到了，求得油位高度间隔10cm的罐容表标定值，部分罐容表列举如下：表7 罐容表油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)0428.9100021329.3200049215.31001568.5110024077.2210051809.32002989.2120026869.1220054308.73004708.3130029691.6230056694.54006656.4140032531.5240058944.85008790.5150035376.2250061032.960011079.2160038212.8260062924.970013497.2170041028.4270064573.380016023.5180043809.9280066924.990018639.7190046543.7290068573.3300070568.9五、模型的进一步分析5.1问题一的进一步分析5.1.1模型的进一步分析根据椭圆圆柱体积公式，可算得油罐体积，在纵向倾斜4.1o时，模型中分为四种情况，那么对于3种边界情况油罐储油量为：1 油位探针刚开始有示数时，油罐储油量是.1.48L；2 油面长度恰好为2.45m时，油罐储油量是368.72L；3 油位探针显示油罐已满时，油罐储油量是4105.5L。5.1.2模型的误差分析针对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况得到的实验数据对模型一进行检验，对于进油情况，根据实验油罐中油量与模型算得的油量的相对误差的大小对模型进行检验，设实验油罐中储油量为，模型算得的油量为，所以相对误差3为：对于出油情况，因为无法确定储油量，所以根据实际出油量与模型算得的出油量的相对误差的大小进行检验，设实际出油量为，模型算得的出油量为，所以相对误差为：用MATLAB编程，Excel处理数据，无变位进油，无变位出油，倾斜变位进油，倾斜变位出油，四个情况下相对误差算得如下。（1）无变位进油（结果详见附录中表1）：表8 无变位进油情况模型误差流水号模型结果实验数据相对误差流水号模型结果实际数据相对误差11322.93120.0349363113121823.50.03490912374.63620.0348073213621875.20.03487513426.44120.03495133141219270.03484414478.14620.0348483414621978.70.03488415529.85120.0347663515122030.40.03485416581.65620.0348753615622082.20.034891683538.13418.910.034871874055.63918.910.03488693589.93468.910.03489884107.33968.910.034869表9 误差统计1统计量最大误差最小误差平均误差统计量的值34951%34766%34872%（2）无变位出油：（结果详见附录中表2）：表10 无变位出油情况模型误差流水号模型计算值实际出油量相对误差流水号模型计算值实际出油量相对误差11151.75014500.03500313151.73244500.03464911251.73133500.03462713251.77149500.0354311351.74461500.03489213351.7293500.03458611451.7362500.03472413451.73194500.03463911551.76406500.03528113551.74172500.03483411651.72553500.03451113651.76135500.03522715651.75774500.03515518251.75232500.03504615751.7272500.03454418351.73457500.034691表11 误差统计2统计量最大误差最小误差平均误差统计量的值35538%3363634873%上述两种情况的误差分布都在0.0348左右，变化不大，是因为这两种情况的进油和出油速度都保持在50L/min，且无变位放置探位针测量油面高度的读取误差不会很大。产生误差的原因大致有以下几种：1 在量取油罐外径和内径时，测量的是外径；2 忽略了进油管，出油管以及探位针所占体积；3 计算机计算模型时的截断误差也会造成模型结果与实验数据的偏离。（3）倾斜变位进油（结果详见附录中表3）：表12 倾斜变位进油情况模型误差流水号模型结果实验数据相对误差流水号模型结果实际数据相对误差2111010.047962.860.0490082291952.7361862.730.048322121058.3321012.860.0448942301999.211912.730.0452132131118.0471062.860.0519242312052.6971962.730.0458382141167.5331112.860.0491292322103.2312012.730.0449642151222.1461162.860.0509832332148.4492062.730.0415562161279.1981212.860.0546952342202.2732112.730.0423822442696.2772612.730.0319772623569.4573512.730.0161492442748.8372662.730.0323382633573.2283514.740.016641表13 误差统计3统计量最大误差最小误差平均误差统计量的值0.0546950.0158620.037814 这种情况下，误差整体呈递减趋势，最大误差与最小误差相差很大，造成这种现象的原因是在罐体变位时，探位针读数变化不均匀，而产生误差的原因和上述无变位时两种情况的原因相同。（4）倾斜变位出油（结果详见附录中表4）：表14 倾斜变位出油情况模型误差（出油量）流水号模型结果实验数据相对误差流水号模型结果实际数据相对误差31145.026449500.09947132946.451414500.061717731247.67331500.046533833050.948111500.03286931348.392154500.032156933146.914113500.02050431451.093421500.021868433248.356548500.063223731541.498567500.170028733348.974799500.017317831654.922871500.098457433453.161186500393045500.032139136056.872554500.137451134552.369447500.047388936156.051217500.1210243 表15 误差统计3统计量最大误差最小误差平均误差统计量的值17.87167%0.25371%6.26484%造成这种现象的原因是在罐体变位时，探位针读数变化不均匀，而产生误差的原因和上述无变位时两种情况的原因相同。5.2问题二模型的正确性与方法可靠性分析根据模型已经求出和的最优解，将和的值代入(8)式，就会得到V与h的对应关系，将附件2中油面高度代入，然后再利用出油量的相对误差分析模型的准确性与可靠性，这里只取出30个出油量做分析：表16 出油量相对误差分析表出油量计算值误差出油量计算值误差149.09140.000.06131.79125.460.0568.4565.530.02238.33230.320.03199.27190.210.0542.9236.210.0670.0565.450.07171.34165.460.03136.36130.130.05212.34210.910.08232.74227.780.0292.3884.790.08107.97100.250.07243.85236.790.0349.2440.780.07206.69200.120.0380.6575.250.07224.50215.780.04120.29115.580.04169.26160.750.05108.24100.780.07220.09212.760.0983.4680.450.04117.54110.830.06229.93220.780.0493.4486.450.07181.70171.790.05114.46106.890.07238.52123.960.03表17 误差统计4统计量最大误差最小误差平均误差统计量的值9%2%6.2759% 从误差统计中，平均误差很小，且最大误差相对也较小，从而验证了模型的准确性及方法的可靠性。五、模型的评价与推广55.1模型的评价优点：1模型用微元积分的方法求解油罐内储油量，思路清楚，易于理解，且最后得到了确切的油面高度与出油量的关系式。2根据题中所给实验数据对模型进行检验时，误差较小，基本符合实际情况。3应用试探法进行的求解，可以在复杂的数学模型中较容易的得到所求结果。缺点：1模型建立过程中，忽略了油罐壁造成椭圆长径与短径测量误差的影响，这是导致模型产生误差的主要因素，在建立模型时应对其进行修正。2在运用试探法所得的结果相比于精确值误差较大。5.2模型的推广1该模型不仅适用于储油罐，在输水管线中，当水流稳定时，根据水面高度确定水管中水的体积具有很高的参考价值，而且对于非椭圆柱的各种输送液体的管线，只要改变积分函数，也可以应用此模型。2在不要求精确的情况下，运用抽象的方法简化模型，可以得到较为近似的结果。3在其他应用中，常用于检验液态危化品是否泄露，由于液位测量值易受箱体态影响而导致虚假的液体泄漏警报。针对此问题，本模型可以结合液位和倾角信息,给出了在一定倾角下仍能准确估计储油罐液体泄漏状态的方法。参考文献1 沈继红 施久玉，数学建模，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，19962 高恩强 丰培云，卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算，第20卷 第1期：26-27，19983 肖明耀，误差理论与应用，北京：计量出版社，1985附 录Model1：画图描述程序，改程序在MATLAB软件运行，其中houyi，wucha1，houyi2，wucha2，houyi3，wucha3，houyi4，wucha4为导入数据：% x1=1:1:77;% y1=houyi-wucha1;% plot(x1,y1,.)% x2=1:1:73;% y2=houyi2-wucha2;% plot(x2,y2,.)% x3=1:1:52;% y3=houyi3-wucha3;% plot(x3,y3,.)x4=1:1:50;y4=houyi4-wucha4;plot(x4,y4,.)axis(0,51,-20,-8)Model2：（1）平放进油的前34个高度值程序。a=0.89; b=0.60; L=2.45; h=159.02 176.14 192.59 208.50 223.93 238.97 253.66 268.04 282.16 296.03 309.69 323.15 336.44 49.57 362.56 375.42 388.16 400.79 413.32 425.76 438.12 450.40 462.62 474.78 486.89 498.95 510.97 522.95 534.90 546.82 558.72 570.61 582.48 594.35 ;c=0.6-h./1000 d=-cfun=inline(0.89*4.9*sqrt(1-y.*y/0.36);for i=1:34 m(i)=quad(fun,-0.6,d(i)endq=mModel3：平放进油的后40个高度值程序：a=0.89; b=0.60; L=2.45;h=1200-606.22 618.09 629.96 641.85 653.75 665.67 677.63 690.82 702.85 714.91 727.03 739.19 751.42 764.16 776.53 788.99 801.54 814.19 826.95 839.83 852.84 866.00 879.32 892.84 906.53 920.45934.61 949.05 963.80 978.91 994.43 1010.43 1026.99 1044.25 1062.37 1081.59 1102.33 1125.32 1152.361193.49;c=0.6-h./1000 d=-cfun=inline(0.89*4.9*sqrt(1-x.*x/0.36);for i=1:40 m(i)=quad(fun,-0.6,d(i)ends=4.1101-mss=sModel4：平放出油的前39个计算值程序：a=0.89; b=0.60; L=2.45;h=1200-1150.72 1123.991101.15 1080.51 1061.36 1043.29 1026.08 1009.54 993.57 978.08 962.99 948.26 933.84 919.69