江苏省高考数学一轮复习 试题选编21 空间角与空间距离 苏教版.doc

江苏省2014届一轮复习数学试题选编21：空间角与空间距离（教师版）一、解答题 （2011年高考（江苏卷）如图,在正四棱柱中,点是的中点,点在上,设二面角的大小为(1)当时,求的长;abcnmd(2)当时,求的长.【答案】【命题意图】本小题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz, 设,则各点的坐标为 ,所以 . 设平面dmn的法向量为,则, 即.令是平面dmn的一个法向量.设平面a1dn的法向量为,则, 即.令是平面a1dn的一个法向量.从而 (1)因为,所以,解得.从而.所以. (2)因为, 所以,因为,所以,解得.根据图形和(1)的结论可知,从而cm的长为. （2010年高考（江苏）如图,四棱锥p-abcd中,pd平面abcd,pd=dc=bc=1,ab=2,abdc,bcd=900 (1)求证:pcbc(2)求点a到平面pbc的距离【答案】(1)pd平面abcd,pdbc,又bccd,bc面pcd,bcpc. (2)设点a到平面pbc的距离为h, （江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）如图所示,是长方体,已知,是棱的中点,求直线与平面所成角的余弦值.【答案】解:以为坐标原点,为坐标轴,建立坐标系, 则, 设平面的一个法向量为 由可得的一个值是, 设直线与平面所成的角是,则 , 故直线与平面所成角的余弦是 （江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）word版）如图,pa平面abcd,ad/bc,abc=90,ab=bc=pa=1,ad=3,e是pb的中点.(1)求证:ae平面pbc;(2)求二面角b-pc-d的余弦值.pabcde(第22题)【答案】(1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,pabcdexyz则a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,3,0),p(0,0,1),e(,0,), =(,0,),=(0,1,0),=(-1,0,1).因为=0,=0,所以,.所以aebc,aebp.因为bc,bp平面pbc,且bcbp=b, 所以ae平面pbc (2)设平面pcd的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.因为=(-1,2,0),=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0.令x=2,则y=1,z=3.所以n=(2,1,3)是平面pcd的一个法向量 因为ae平面pbc,所以是平面pbc的法向量.所以cos=.由此可知,与n的夹角的余弦值为.根据图形可知,二面角b-pc-d的余弦值为- （江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理）如图,在棱长为1的正方体a中,e、f分别为和的中点.(1)求异面直线af和be所成的角的余弦值:(2)求平面ac与平面bf所成的锐二面角:(3)若点p在正方形abcd内部或其边界上,且ep平面bf,求ep的取值范围.【答案】解:(1)以d为原点,da,dc,dd1分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,则, , 所求的锐二面角为 (3)设() ,由得 即, 当时, 当时, 故ep的取值范围为 （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,底面是等腰直角三角形,ab=bc=,bb1=3,d为a1c1的中点,f在线段aa1上.(1)af为何值时,cf平面b1df?(2)设af=1,求平面b1cf与平面abc所成的锐二面角的余弦值.abcc1b1a1fd 2013江苏省高考压轴【答案】(1)因为直三棱柱abc-a1b1c1中,以b点为原点,ba、bc、bb1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. abcc1b1a1fdxyz 因为ac=2,abc=90,所以ab=bc=, 从而b(0,0,0),a,c,b1(0,0,3),a1,c1,d,e. 所以, 设af=x,则f(,0,x), . ,所以 要使cf平面b1df,只需cfb1f. 由=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2, 故当af=1或2时,cf平面b1df. (2)由(1)知平面abc的法向量为n1=(0,0,1). 设平面b1cf的法向量为,则由得 令z=1得, 所以平面b1cf与平面abc所成的锐二面角的余弦值 （江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）如图,圆锥的高,底面半径,为的中点,为母线的中点,为底面圆周上一点,满足.(1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求二面角的正弦值.oedafbp【答案】 （江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）正三棱柱的所有棱长都为4,d为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】解:取bc中点o,连ao,为正三角形, , 在正三棱柱中,平面abc平面,平面, 取中点为,以o为原点,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则., ,. ,面 (2)设平面的法向量为,. ,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面, 为平面的法向量, 二面角的余弦值为 （连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】以o点为原点,ob为x轴,oc为y轴,os为z轴建立空间直角坐标系.由题意知sbo=45,so=3. o(0,0,0),c(0,0),a(0,-,0),s(0,0,3),b(3,0,0). abocdsxzy (1)设=l(0l1),则=(1-l)+l=(3(1-l),0,3l), 所以=(3(1-l),-,3l). 因为=(3,0),cdab,所以=9(1-l)-3=0,解得l=. 故=时, cdab (2)平面acb的法向量为n1=(0,0,1),设平面sbc的法向量n2=(x,y,z), 则,解得,取n2=(1, ,1), 所以cos=, 又显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的余弦值的大小为 （南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图,三棱锥p-abc中,已知pa平面abc,abc是边长为2的正三角形,d,e分别为pb,pc中点.(1)若pa=2,求直线ae与pb所成角的余弦值;(2)若平面ade平面pbc,求pa的长.abbcbebdbpb（第22题）【答案】解(1)如图,取ac的中点f,连接bf,则bfac.以a为坐标原点abbcbebdbpb（第22题）yxzf过a且与fb平行的直线为x轴,ac为y轴,ap为z轴,建立空间直角坐标系.则a(0,0,0),b(,1,0),c(0,2,0),p(0,0,2),e(0,1,1),从而=(,1,-2), =(0,1,1). 设直线ae与pb所成角为,则cos=|=.即直线ae与pb所成角的余弦值为 (2)设pa的长为a,则p(0,0,a),从而=(,1,-a),=(0,2,-a).设平面pbc的法向量为n1=(x,y,z),则n1=0,n1=0,所以x+y-az=0,2y-az=0.令z=2,则y=a,x=a.所以n1=(a,a,2)是平面pbc的一个法向量. 因为d,e分别为pb,pc中点,所以d(,),e(0,1,), 则=(,),=(0,1,).设平面ade的法向量为n2=(x,y,z),则n2=0,n2=0.所以x+y+z=0,y+z=0.令z=2,则y=-a,x=-a.所以n2=(-a,-a,2)是平面ade的一个法向量 因为面ade面pbc,所以n1n2,即n1n2=(a,a,2)(- a,-a,2)=-a2-a2+4=0,解得a=,即pa的长为 （苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）三棱柱在如图所示的空间直角坐标系中,已知,.是的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求二面角的大小的正弦值.【答案】 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在正三棱柱中,已知,分别是棱,上的点,且,.求异面直线与所成角的余弦值;求二面角的正弦值.（第22题图）abca1b1c1mn【答案】以的中点为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系(如图). 则（第25题图）abca1b1c1mnxyzo,. 所以,. 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为,因为, 由得令,则. 所以, 所以二面角的正弦值为 （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在三棱柱中,且.(1)求棱与bc所成的角的大小;(2)在棱上确定一点p,使二面角的平面角的余弦值为.（第22题）baca1b1c1【答案】【解】(1)如图,以a为原点建立空间直角坐标系, 则 , ,. , 故与棱bc所成的角是 baca1b1c1zxyp(2)p为棱中点, 设,则. 设平面的法向量为n1, 则 故n1 而平面的法向量是n2=(1,0,0),则, 解得,即p为棱中