2018版高中数学 圆与方程4.24.2.1直线与圆的位置关系学案新人教A版.docx

4.2.1直线与圆的位置关系目标定位1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.自 主 预 习直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000图形即 时 自 测1.判断题(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.()(2)直线和圆相切，有且只有一个公共点.()(3)过圆外一点作圆的切线有两条.()(4)解决有关直线与圆的位置关系问题有两种思路：一是代数法，二是几何法.()2.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心解析圆心(1，1)到直线3x4y120的距离d0时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0时，即m0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.法二已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2，1)，半径r2.圆心C(2，1)到直线mxym10的距离d.当d0或m2时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.规律方法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.【训练1】 已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3，0)的直线，则()A.l与C相交 B.l与C相切C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能解析将点P(3，0)代入圆的方程，得32024391231，所以点A在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4).即kxy34k0，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.规律方法1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式yy0k(xx0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1k21(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用dr(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式.【训练2】 求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程.解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.类型三圆的弦长问题【例3】 求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长.解法一由得交点A(1，3)，B(2，0)，弦AB的长为|AB|.法二由消去y得x23x20.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则由根与系数的关系得x1x23，x1x22.|AB|，即弦AB的长为.法三圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0，1)，半径r，点(0，1)到直线l的距离为d，所以半弦长为，所以弦长|AB|.规律方法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2.即|AB|2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|，其中k为直线l的斜率.【训练3】 若直线2xy0与圆C：(x2)2(y1)29交于A、B两点，则ABC(点C为圆心)的面积等于()A.2 B.2 C.4 D.4解析过圆心C(2，1)向AB作垂线，垂足为D，则|CD|，所以|AB|2224，所以SABC42.答案A课堂小结1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l|x1x2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.1.直线xym0与圆x2y2m(m0)相切，则m的值为()A.0或2 B.2C. D.无解解析由圆心到直线的距离d，解得m2.答案B2.设A、B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A.1 B. C. D.2解析直线yx过圆x2y21的圆心C(0，0)，则|AB|2.答案D3.过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_.解析设所求直线方程为ykx，即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于0，即圆心(1，2)位于直线kxy0上.于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.答案2xy04.求过点P(3，2)的圆x2y29的切线方程.解点P(3，2)到圆心(0，0)的距离为3，点P在圆x2y29外.若所求的切线的斜率存在，设所求切线的方程为y2k(x3)，即kxy23k0.又圆心为O(0，0)，半径r3，而圆心到切线的距离为d3，即|3k2|3，所以k，所以方程为xy230，即5x12y390.若切线斜率不存在，则切线方程为x3，圆心(0，0)到切线的距离为3，与半径相等，符合题意，另一条切线方程是x3.综上所述，所求切线方程为x3或5x12y390.基 础 过 关1.若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A.1或 B.1或3C.2或6 D.0或4解析由弦长为2得圆心(a，0)到直线xy2的距离为d得a0或4.答案D2.圆x2y24上的点到直线xy20的距离的最大值为()A.2 B.2C. D.0解析圆心(0，0)到直线xy20的距离d，所求最大距离为2.答案A3.已知过点P(2，2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()A. B.1 C.2 D.解析由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0，由切线xayc0过点P(2，2)，c22a，解得a2.答案C4.在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_.解析圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案5.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2y22相切，则a的值为_.解析由题意知直线方程为yxa，即xya0，圆x2y22的圆心为(0，0)，半径为.因为直线xya0与圆x2y22相切，所以，解得a2.答案26.求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离.解圆的方程化为标准式为(x3)2y24，故圆心(3，0)到直线xmy30的距离d，圆的半径r2.(1)若相交，则dr，即2，所以m2；(2)若相切，则dr，即2，所以m2；(3)若相离，则dr，即2，所以2m2.7.圆C与直线2xy50切于点(2，1)，且与直线2xy150也相切，求圆C的方程.解设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2.两切线2xy50与2xy150平行，2r4，r2，r2，即|2ab15|10，r2，即|2ab5|10，又过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，由解得所求圆C的方程为(x2)2(y1)220.能 力 提 升8.在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到直线的距离d，故圆上有3个点满足题意.答案C9.直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.0，)C. D.解析设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|2时，|AC|1.当|MN|2时，圆心C到直线ykx3的距离d1.1，(3k1)2k21.k0.答案A10.过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.解析设A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r2，当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦.|CA|.半弦长.最短弦长为2.答案211.已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR).(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.(1)证明因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以解得即l恒过定点A(3，1).因为圆心为C(1，2)，|AC|5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点.(2)解由题意可知弦长最小时，lAC.因为kAC，所以l的斜率为2.又l过点A(3，1)，所以l的方程为2xy50.探 究 创 新12.如图，圆C与y轴切于点T(0，2)，与x轴正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|3.(1)