数学压轴题综合.doc

一、圆的综合练习1、如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将ACD沿AD折叠得到AED，AE交半圆于点F，连接DF（1）求证：DE是半圆的切线：（2）迮接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论考点：切线的判定；菱形的判定；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）。专题：证明题；探究型。点评：本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理、垂径定理及图形翻折变换的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键2、如图，线段AD=5，A的半径为1，C为A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成ABC，设AB=x（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，则x= ；（3）设ABC的面积的平方为W，求W的最大值考点：二次函数的最值；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；勾股定理。3、如图，P与轴相切于坐标原点O（0，0），与轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与P交于点C（1）已知AC=3，求点的坐标； （2）若AC=, D是O的中点问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示） 第24题备用图第24题图4、如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）若P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1（1）求B点坐标；（2）求证：ME是P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，求ACQ周长的最小值；若FQ=t，SACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式2、分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5x，又由，A的半径为1，根据三角形三边关系，即可求得x的取值范围；（2）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得x的值；（3）在ABC中，作CFAB于F，设CF=h，AF=m，则W=（12xh）2=14x2h2，由AC2AF2=BC2BF2，则1m2=（5x）2（xm）2，分别从2.4x3时与2x2.4去分析，即可求得答案解答：解：（1）AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，BC=BD=5x，在ABC中，AC=1，（5x）1x1+（5x），解得：2x3；（2）ABC为直角三角形，若AB是斜边，则AB2=AC2+BC2，即x2=（5x）2+1，x=2.6；若BC是斜边，则BC2=AB2+AC2，即（5x）2=x2+1，x=2.4故答案为：2.4或2.6（3）在ABC中，作CFAB于F，设CF=h，AF=m，则W=（12xh）2=14x2h2，如图，当2.4x3时，AC2AF2=BC2BF2，则1m2=（5x）2（xm）2，得：m=5x12x，h2=1m2=24x2+120x144x2，W=14x2h2=6x2+30x36，即W=6（x52）2+32，当x=2.5时（满足2.4x3），W取最大值1.5；当2x2.4时，同理可得：W=6x2+30x36=6（x52）2+32，当x=2.4时，W取最大值1.441.5，综合得，W的最大值为1.5点评：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用4、考点：二次函数综合题分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得PEFEMF，则可证得PEM=90，即ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，利用勾股定理即可求得ACQ周长的最小值；分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，正方形CDEF的面积为1，CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，BC=2PC=2n，而PB=PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，5n2=（n+1）2+1，解得：n=1或n=- 12（舍去），BC=OC=2，B点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），A，C在抛物线上， c=2144+2b+c=0，解得： c=2b=-32，抛物线的解析式为：y= 14x2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，C与G关于直线x=3对称，CF=FG=1，MF= 12FG= 12，在RtPEF与RtEMF中，EFM=EFP， FMEF=121=12， EFPF=12， FMEF=EFPF，PEFEMF，EPF=FEM，PEM=PEF+FEM=PEF+EPF=90，ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，A与A关于直线x=3对称，A（0，2），A（6，2），AC=（6-2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，ACQ周长的最小值为2 2+2 5；当Q点在F点上方时，S=t+1，当Q点在线段FN上时，S=1-t，当Q点在N点下方时，S=t-1点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用 二、直线型的综合练习1 如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD （1）当APC与PBD的面积之生取最小值时，AP=；（直接写结果） （2）连结AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由； （3）如图10，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）2、在ABC中，A=90，点D在线段BC上，EDB=12C，BEDE，垂足为E，DE与AB相交于点F（1）当AB=AC时，（如图1），EBF= ；探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB=kAC时（如图2），求BEFD的值（用含k的式子表示）3两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合. 将图中DEC绕点C逆时针旋转得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点. （1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转得D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ，如图.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； DD （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.BCEFG1H图H1E1IGF1BCEFGHDAE图D1BAAC图4.（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P.求证：. （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN. 2、考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形。分析：（1）根据题意可判断ABC为等腰直角三角形，据此即可推断C=45，进而可知EDB=22.5然后求出EBF的度数根据题意证明BEFDEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系（2）作ACB的平分线，得到12C的正切值，然后证明BEFDEB，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系解答：解：（1）AB=ACA=90ABC=C=45EDB=12CEDB=22.5BEDEEBD=67.5EBF=67.545=22.5在BEF和DEB中E=E=90EBF=EDB=22.5BEFDEB如图：BG平分ABC，BG=GDBEG是等腰直角三角形设EF=x，BE=y，则：BG=GD=2yFD=2y+yxBEFDEBEFBE=BEED即：xy=yy+2y得：x=（21）yFD=2y+y（21）y=2yFD=2BE（2）如图：作ACB的平分线CG，交AB于点G，AB=kAC设AC=b，AB=kb，BC=1+k2b利用角平分线的性质有：ACBC=AGBG即：b1+k2b=AGkbAG得：AG=kb1+1+k2EDB=12ACBtanEDB=tanACG=k1+1+k2EDB=12ACBABC=90ACBEBF=90ABCEDB=12ACBBEFDEBEF=k1+1+k2BE ED=1+1+k2kBE=EF+FDFD= 1+1+k2k BEk1+1+k2 BE=2kBEBEFD=k2点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系3.解：（1）图中与BCF全等的有GDF、 GAH 、ECH3分（2）= 4分证明：AF1C D1H1C. 5分 F1C= H1C， 又CD1=CA，1BCDEAFG1HH1D1E1IGF132CD1- F1C =CA- H1C.即6分（3）连结CG1.在D1G1F1和AG1H1中，D1G1F1 AG1H1.G1F1=G1H1 7分又H1C=F1C，G1C=G1C，CG1F1 CG1H1.1=2. 8分B=60，BCF=30 ，BFC=90.又DCE=90，BFC=DCE，BACE， 1=3， 2=3，G1I=CI 10分4.（本题10分）（1）证明：在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DP/BQAP/AQ.同理在ACQ中，EP/CQAP/AQ.DP/BQEP/CQ.（2）9.（3）证明：B+C=90，CEF+C=90.B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC.3分DG/CFBG/EF，DGEFCFBG又DGGFEF，GF2CFBG由（1）得DM/BGMN/GFEN/CF（MN/GF）2(DM/BG)(EN/CF)MN2DMEN 三、抛物线的综合复习1、如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，3）点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行直线y=x+m过点C，交y轴于D点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标3、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8. （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E.设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.1.（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点9a-3b+30 且a-b+30解得a1b4抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1抛物线的顶点M（-2，,1）直线OD的解析式为y=x于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，解得h=.当h时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（x-h）2+h,y=-2x+9.得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，解得h=4此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h.（3）方法1，将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k0）.假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GHx轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.PEF的内心在y轴上，GEP=EPQ=QPF=HFP，GEPHFP，.9分GP/PH=GE/HF,-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)2kxExF=（t-3）（xE+xF）由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.xE+xF=k,xExF=-3.2k（-3）=（t-3）k,k0,t=-3.y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使PEF的内心在y轴上.方法2设EF的解析式为y=kx+3（k0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知EPQ=FPQ，点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,P（0，-3）.y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使PEF的内心在y轴上.2、考点：二次函数综合题。分析：（1）把点E，A、B的坐标代入函数表达式，即可求出a、b、c的值；（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；（3）需要讨论解决，若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3n；当点N在点M的右侧时，MN=n3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（1，0）过P点作NPx轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了 解答：解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x1）（x+3）抛物线交y轴于点E（0，3），将该点坐标代入上式，得a=1所求函数表达式为y=（x1）（x+3），即y=x2+2x3；（2）点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（3，0），点B坐标（1，0），点C坐标（5，0），将点C坐标代入y=x+m，得m=5，直线CD的函数表达式为y=x+5，设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，t+5），G点的坐标为（t，t2+2t3），点K为线段AB上一动点，3t1，HG=（t+5）（t2+2t3）=t23t+8=（t+32）2+414，3321，当t=32时，线段HG的长度有最大值414；（3）点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），点F的坐标为（3，0），直线l过点F且与y轴平行，直线l的函数表达式为x=3，点M在直线l上，点N在抛物线上，设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n3），点A（3，0），点C（5，0），AC=8，分情况讨论：若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MNAC，且MN=AC=8当点N在点M的左侧时，MN=3n，3n=8，解得n=5，N点的坐标为（5，12），当点N在点M的右侧时，MN=n3，n3=8，解得n=11，N点的坐标为（11，140），若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（1，0）过P点作NPx轴，交抛物线于点N，将x=1代入y=x2+2x3，得y=4，过点N，B作直线NB交直线l于点M，在BPN和BFM中，NBP=MBF，BF=BP，BPN=BFM=90，BPNBFM，NB=MB，四边形ANCM为平行四边形，坐标（1，4）的点N符合条件，当N的坐标为（5，12），（11，140），（1，4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、平行四边形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法3、考点：二次函数综合题。分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；（2）求得抛物线顶点P，从直线BC的斜率算起，设过点P的直线，解得直线代入抛物线解析式解得点Q；（3）求得点M，由点M，P的纵坐标关系可知，点R存在，y=2代入解得解答：解：（1）把三点代入抛物线解析式&0=ab+c&0=9a+3b+c&3=c，即得：&a=1&b=2&c=3，所以二次函数式为y=x