河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文（含解析）.doc

数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与考试说明一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间为120分钟。第i卷（选择题 共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1设集合的范围是 【知识点】集合 a1【答案】【解析】b 解析： 由子集的概念可知，故选b【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2已知空间直线l不在平面a内，则“直线l上有两个点到平面口的距离相等”是的 a充分非必要条件 b必要非充分条件 c充要条件 d非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 a2【答案】【解析】b解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是，必要不充分条件.b为正确选项. 【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 c200 d 240【知识点】三视图 g2【答案】【解析】c 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为，所以正确选项为c. 【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积.【题文】4已知函数，则下列结论中正确的是 a函数的最小正周期为 b函数的最大值为1 c将函数的图像向右平移的图像 d将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=asin（x+）的图象变换 c4【答案】【解析】c 解析：，f（x）=cosx，g（x）=sinxf（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，t=，排除a，排除b；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=sinxg（x），排除d；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x）=sinx=g（x），故选c 【思路点拨】先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除a，b；再依据三角函数平移变换法则对c，d进行验证即可【题文】5直线分割成的两段圆弧长之比为 a1：1 b1：2 c1：3 d1：4【知识点】直线与圆 h4【答案】【解析】b 解析：因为圆心到直线的距离为，所以劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为，所以b正确.【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小.【题文】6已知的最小值是 a4 b3 c2 d1【知识点】基本不等式 e6【答案】【解析】a 解析： 因为由对数的运算可知，所以，能取等号，所以a正确.【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7椭圆的一个焦点为f1若椭圆上存在一个点p，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段pf，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为 【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 h5【答案】【解析】d 解析：设线段pf的中点为m，另一个焦点f，由题意知，om=b，又om是fpf的中位线，om=pf=b，pf=2b，由椭圆的定义知 pf=2apf=2a2b，又 mf=pf=（2a2b）=ab，又of=c，直角三角形omf中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又a2b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2c2），由此可求得离心率 e=，故选：d 【思路点拨】设线段pf的中点为m，另一个焦点f，利用om是fpf的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形omf的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8已知等差数列项和为时为递增数列，则实数的取值范围为 【知识点】数列的函数特性 d1【答案】【解析】d 解析：an=2n+，a1=2+，sn=n2+（+1）n，又因为nn由二次函数的性质和nn可知7.5即可满足数列sn为递增数列，解不等式可得16故选：d 【思路点拨】sn=n2+（+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解【题文】9已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于 【知识点】双曲线的简单性质 h6【答案】【解析】d 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，y=1+lnx+ln2，y=，=，n=1，m=，=2，e=故选：d 【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线的离心率【题文】10已知实数x、y满足不等式组的取值范围是 【知识点】简单的线性规则 e5【答案】【解析】b 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形aob及其内部其中b（1，0），a（0，2）作直线：ax+by=0a0，b0，直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为b（1，0）或a（0，2）ax+by1将b（1，0）代入，a1，即a（0，2）代入得2b1，b0a+b,即a+b的取值范围是（0，故选：b 【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围【题文】11抛物线的焦点为f，m足抛物线c上的点，若三角形ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，且该圆的面积为的值为 a2 b4 c6 d8【知识点】抛物线的简单性质 h7【答案】【解析】d 解析：ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，ofm的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为36，圆的半径为6，又圆心在of的垂直平分线上，|of|=，+=6，p=8，故选：d 【思路点拨】根据ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，可得ofm的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则【知识点】导数的运算 b11【答案】【解析】a 解析：因为x（0，），所以sinx0，cosx0由f（x）tanx，得f（x）cosxsinx即sinxf（x）cosx0令g（x）=x（0，），则所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，则，即，所以，即故选a 【思路点拨】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案第卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）【题文】13函数的所有零点之和为_【知识点】函数的零点 b9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是的根，由图像可知是周期为2的函数，与交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割06180339887人们称该数列为 “斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。【知识点】数列的性质 d1【答案】【解析】3 解析：1,1,2,3,5,8,13 除以4 得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0， 即新数列 是周期为6的周期数列， 所以第2014项的值是3.【思路点拨】根据数列的性质，可找出新数列的特点.【题文】15如图，边长为1的正方形abcd的顶点a，d分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是 。【知识点】向量在几何中的应用 f3【答案】【解析】2 解析：如图令oad=，由于ad=1故0a=cos，od=sin，如图bax=，ab=1，故xb=cos+cos（）=cos+sin，yb=sin（）=cos故=（cos+sin，cos）同理可求得c（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2，的最大值是2故答案是 2 【思路点拨】令oad=，由边长为1的正方形abcd的顶点a、d分别在x轴、y轴正半轴上，可得出b，c的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可【题文】16方程的曲线即为函数的图像，对于函数，下列命题中正确的是 （请写出所有正确命题的序号） 函数在r上是单调递减函数； 函数的值域是r； 函数的图像不经过第一象限5 函数的图像关于直线对称5 函数至少存在一个零点【知识点】命题的真假判断与应用 a2【答案】【解析】 解析：不妨取=1，对于，当x0且y0时，方程为，此时方程不成立当x0且y0时，方程为，此时y=3当x0且y0时，方程为，此时y=3当x0且y0时，方程为，即y=3因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在r上单调递减，所以成立，不正确由f（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=因为双曲线和的渐近线为y=，所以函数y=f（x）与直线y=无公共点，因此f（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得不正确故答案为：【思路点拨】不妨取=1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在r上单调递减，且函数的值域为r，所以成立，不正确由f（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=因为双曲线和的渐近线为y=，即可得出结论【题文】三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17（本小题满分12分）在abc中，角a,b,c的对边分别为ab，b,c，且 （1）求角a的值； （2）若角的面积【知识点】正弦定理 c8【答案】【解析】(1) (2) 解析： （1）由正弦定理，得，化简得cosa=，a=；（2）b=，c=ab=，可知abc为等腰三角形，在amc中，由余弦定理，得am2=ac2+mc22acmccos120，即7=，解得b=2，abc的面积s=b2sinc=【思路点拨】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosa=，从而可得a；（2）易求角c，可知abc为等腰三角形，在amc中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【题文】18（本小题满分12分）数列的前n项和为，且，数列为等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 d2 d3 d4【答案】【解析】(1) (2) 解析： （1）由an+1=2sn+1得an=2sn1+1，得an+1an=2（snsn1），an+1=3an（n2）又a2=3，a1=1也满足上式，an=3n1；（3分）b5b3=2d=6d=3bn=3+（n3）3=3n6；（6分）（2），对nn*恒成立，对nn*恒成立，（8分）令，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1，（10分），所以实数k的取值范围是（12分）【思路点拨】（1）仿写一个等式，两式相减得到数列an的递推关系，判断出数列an是等比数列；利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列an，bn的通项公式（2）利用等比数列的前n项和公式求出sn，分离出参数k，构造新数列cn，利用后一项减去前一项，判断出数列cn的单调性，求出它的最大值，求出k的范围【题文】19（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）abc-a1b1c1中，d是bc的中点，aa1=ab=1 （1）求证：al c平面ab1d； （2）求点c到平面ab1d的距离【知识点】直线与平面平行；点到平面的距离 g4 g11【答案】【解析】(1)略（2） 解析： （1）取c1b1的中点e，连接a1e，ed，则b1edc，b1e=dc四边形b1dce为平行四边形，于是有b1dec，又a1ead，b1dad=d，a1eec=e，平面a1ec平面ab1d，a1c平面a1ec，a1c平面ab1d（2）由三棱柱为正三棱柱【思路点拨】（1）依题意，取c1b1的中点e，连接a1e，ed，易证平面a1ec平面ab1d，利用面面平行的性质即可证得a1c平面ab1d(2)由等体积法可求出距离.【题文】20（本小题满分12分） 设函数 （1）若函数只有一个零点，求m的取值范围； （2）若对任意恒成立，求m的取值范围【知识点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题 b9【答案】【解析】(1) m，或m (2) m 解析：（1）函数f（x）=lnx+，g（x）=f（x）=，若g（x）只有一个零点，则h（x）=x3+3x3m只有一个零点，h（x）=3x2+3=0时，x=1，故当x=1时，h（x）取极小值3m2，当x=1时，h（x）取极大值3m+2，若h（x）=x3+3x3m只有一个零点，则3m20，或3m+20，解得：m，或m（2）若对于任意ba0，1恒成立，则f（x）=1在（0，+）上恒成立，即x2x+m0在（0，+）上恒成立，由y=x2x+m的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故0，解得：m 【思路点拨】（1）由函数f（x）=lnx+，求出函数g（x）=f（x）的解析式，进而根据函数g（x）=f（x）只有一个零点，求得m的取值范围；（2）若对于任意ba0，1恒成立，则f（x）=1在（0，+）上恒成立，即x2x+m0在（0，+）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得m的取值范围【题文】21（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为f（l，0），点p是点f关于y轴的对称点，过点p的直线交抛物线于a，b两点 （1）试问在x轴上是否存在不同于点p的一点t，使得ta，tb与z轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点t的坐标，若不存在，说明理由； （2）若aob的面积为的夹角，【知识点】直线与圆锥曲线 h8【答案】【解析】(1) 存在t（1，0）(2) 解析：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且p（1，0）（1分）设a（x1，y1），b（x2，y2），设直线l的方程为x=my1，代入y2=4x得y24my+4=0，=16m2160，得m21，（2分）假设存在t（a，0）满足题意，则kat+kbt=08m4m（1+a）=0，a=1，存在t（1，0）（6分）（2）sabc=|of|y1y2|=|y1y2|=|y1y2|=5（7分）设直线oa，ob的倾斜角分别为，aob=koa=tan，kob=tan（9分）设=|，tan=|tan（）|=|=|=1 【思路点拨】（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且p（1，0）设直线l的方程为x=my1，将抛物线c的方程y2=4x与直线l的方程联立，设a（x1，y1），b（x2，y2），由韦达定理求得kat+kbt，设点t（t，0）存在，由ta，tb与x轴所成的锐角相等可得kta+ktb=0，利用韦达定理，即可求得a=1（2）根据三角形的面积公式得sabc=|of|y1y2|=|y1y2|=，从而有|y1y2|=5，再设直线oa，ob的倾斜角分别为，aob=，利用斜率公式得出koa和kob，设=|，再利用夹角公式，即可求出答案 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。【题文】22（本小题满分10分）如图，cd为abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点d，e、f分别为弦ab与弦ac上的点，且b