高考数学一轮总复习 专题五 立体几何课件 文.pptVIP

专题五立体几何 题型1 三视图与表面积 体积 三视图是高考的新增考点 经常以一道客观题的形式出现 有时也和其他知识综合作为解答题出现 2007年与2009年两次涉及解答题 解题的关键还是要将三视图转化为简单几何体 或者其直观图 例1 2014年陕西 已知四面体abcd 如图5 1 及其三视图 如图5 2 平行于棱ad bc的平面分别交四面体的棱ab bd dc ca于点e f g h 1 求四面体abcd的体积 2 证明 四边形efgh是矩形 图5 1 图5 2 1 解 由该四面体的三视图 可知 bd dc bd ad ad dc bd dc 2 ad 1 ad 平面bcd 2 证明 bc 平面efgh 平面efgh 平面bdc fg 平面efgh 平面abc eh bc fg bc eh fg eh 同理 ef ad hg ad ef hg 四边形efgh是平行四边形 又 ad 平面bcd ad bc ad ef bc fg ef fg 四边形efgh是矩形 规律方法 解决此类问题的一般步骤为 将三视图转化为简单几何体 或者其直观图 应遵循 长对正 高平齐 宽相等 的原则 即 正视图 俯视图一样长 正视图 侧视图一样高 俯视图 侧视图一样宽 利用相关的体积 或面积 公式进行运算 利用相关定理进行平行或垂直的证明 互动探究 1 2014年广东汕头一模 已知某几何体的直观 如图5 3 1 与它的三视图 如图5 3 2 其中俯视图为正三角形 其他两个视图是矩形 已知d是这个几何体的棱a1c1上的中点 1 求出该几何体的体积 图5 3 2 求证 直线bc1 平面ab1d 3 求证 平面ab1d 平面aa1d 图d50 2 如图d50 连接a1b 且a1b ab1 o 正三棱柱侧面是矩形 点o是棱a1b的中点 d为棱a1c1的中点 连接do do是 a1bc1的中位线 bc1 do 又do 平面ab1d bc1平面ab1d bc1 平面ab1d 3 在正三棱柱abc a1b1c1中 三角形a1b1c1为正三角形 b1d a1c1 又由正三棱柱性质知平面a1b1c1 平面acc1a1 且平面a1b1c1 平面acc1a1 a1c1 b1d 平面a1b1c1 b1d 平面aa1d 又b1d 平面ab1d 平面ab1d 平面aa1d 题型2 立体几何中的探索性问题 例2 如图5 4 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 db bc db ac 点m是棱bb1上一点 1 求证 b1d1 平面a1bd 2 求证 md ac 3 试确定点m的位置 使得平面dmc1 平面cc1d1d 图5 4 1 证明 由直四棱柱 得bb1 dd1 又 bb1 dd1 bb1d1d是平行四边形 b1d1 bd 而bd 平面a1bd b1d1平面a1bd b1d1 平面a1bd 2 证明 bb1 平面abcd ac 平面abcd bb1 ac 又 bd ac 且bd bb1 b ac 平面bb1d 而md 平面bb1d md ac 3 解 当点m为棱bb1的中点时 平面dmc1 平面cc1d1d 理由如下 取dc的中点n d1c1的中点n1 连接nn1交dc1于o 连接om 如图5 5 图5 5 n是dc的中点 bd bc bn dc 又 dc是平面abcd与平面dcc1d1的交线 而平面abcd 平面dcc1d1 bn 平面dcc1d1 又可证得o是nn1的中点 bm on 且bm on 即bmon是平行四边形 bn om om 平面cc1d1d om 平面dmc1 平面dmc1 平面cc1d1d 互动探究 2 2015年湖北 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图5 6所示的阳马p abcd中 侧棱pd 底面abcd 且pd cd 点e是pc的中点 连接de bd be 图5 6 1 证明 de 平面pbc 试判断四面体ebcd是否为鳖臑 若是 写出其每个面的直角 只需写出结论 若不是 请说明理由 2 记阳马p abcd的体积为v1 四面体ebcd的体积为 解 1 因为pd 底面abcd 所以pd bc 由底面abcd为长方形 有bc cd 而pd cd d 所以bc 平面pcd 因为de 平面pcd 所以bc de 又因为pd cd 点e是pc的中点 所以de pc 而pc bc c 所以de 平面pbc 由bc 平面pcd de 平面pbc 可知四面体ebcd的 四个面都是直角三角形 即四面体ebcd是一个鳖臑 其四个面的直角分别是 bcd bce dec deb 题型3 折叠问题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起 使其成为空间图形 把这类问题称为平面图形的翻折问题 平面图形经过翻折成为空间图形后 原有的性质有的发生了变化 有的没有发生变化 弄清它们是解决问题的关键 一般地 翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值 这是化解翻折问题难点的主要方法 例3 如图5 7 在边长为4的菱形abcd中 dab 60 点e f分别在边cd cb上 点e与点c d不重合 ef ac于点o 沿ef将 cef翻折到 pef的位置 使平面pef 平面abfed 1 求证 bd 平面poa 2 当pb取得最小值时 求四棱锥p bfed的体积 图5 7 思维点拨 1 根据翻折前后直线bd与直线ao的垂直关系不变 可使用线面垂直判定定理进行证明 2 先选用一个与pb有关的变量表示pb的长度 使用函数的方法求出在什么情况下pb最小 再求出四棱锥p bfed的高和底面积 根据锥体体积公式计算即可 1 证明 因为菱形abcd的对角线互相垂直 所以bd ac 所以bd ao 因为ef ac 所以po ef 因为平面pef 平面abfed 平面pef 平面abfed ef 且po 平面pef 所以po 平面abfed 因为bd 平面abfed 所以po bd 因为ao po o 又bd ao 所以bd 平面poa 2 解 设ao bd h 因为 dab 60 所以 bda为等边三角形 设po x 如图5 8 连接ob ph 图5 8 规律方法 有关折叠问题 一定要分清折叠前后两图形 折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 各元素间的位置和数量关系 哪些变 哪些不变 如角的大小不变 线段长度不变 线线关系不变 再由面面垂直的判定定理进行推理证明 互动探究 3 2014年广东 如图5 9 1 四边形abcd为矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如图5 9 2 折叠 折痕ef dc 其中点e f分别在线段pd pc上 沿ef折叠后点p在线段ad上的点记为m 并且mf cf 1 证明 cf 平面mdf 2 求三棱锥m cde的体积 1 2 图5 9