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第4章 插值与拟合方法1 问题的描述与基本概念已知上实函数在个互异点处的函数值要求估算在中某点的值.1）插值问题的描述找近似函数P (x)，满足 l P (x) 称为f (x)的一个插值函数;l f (x) 称为被插函数;点为插值节点;l 称为插值条件;l 称为插值余项。当插值函数是多项式时称为多项式插值. 为获得唯一的插值多项式，设 用表示次数不超过的多项式集合. 定理1 中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.证明 仅证唯一性.设且都满足插值条件，于是有令那么.因为所以有n+1个零点. 由代数基本定理有，因此。2 Lagrange插值 时，设，满足 时，设，满足. 将写成 其中是二次多项式，满足 可求得 例一 已知数表x013y=f(x)132用抛物插值计算的近似值.一般地， 其中 具有性质 称为Lagrange插值多项式，而称为 Lagrange插值基函数例二 证明： 定理2 设在a,b上连续，在（a,b）上存在，互异节点 是满足插值条件的插值多项式，则有对任何成立 式中设在a,b上有n+1阶导数，若能得到，则有余项估计式例三 证明由下列插值条件xy=f(x)所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式.3 Newton 插值1) 构造原理已知数表 设插值多项式为借助插值条件可求出 的系数.当时，有得出. 当时, 有 可得 依次取并利用插值条件就可依次解出，从而求出的具体形式。为将解出的系数用公式表示出来，引进差商的概念.称为函数关于节点的零阶均差，称为函数关于节点的一阶均差，称为函数关于节点的二阶均差. 一般地，有了阶均差后，称为函数关于节点的阶均差.均差性质 2 均差关于节点是对称的3 在上存在阶导数，则均差与导数关系为 例一 设 求和2) 分析 把后式依次代入前式可有 其中 为Newton插值多项式，为均差型插值余项.由插值多项式唯一性可有设可得 差商表xf(x)一阶差商二阶差商n阶差商例二 已知数表x013y=f(x)132用二次Newton插值计算的近似值.练习一 给定数表x124568f(x)028121828试用二次和四次Newton插值多项式计算的近似值.练习二 假定定义在上,又是中互异的点,证明 练习三 设为关于节点的次Lagrange插值多项式，证明下列递推关系 设函数在等距节点上的值为已知，这里常数称为步长. 记号 分别称为在处以为步长的一阶向前差分及一阶向后差分.一般可定义阶差分为 均差与差分的关系 证明：时，命题成立. 假设时命题成立，时， 命题成立. 由数学归纳法，命题成立. Newton插值多项式为 由均差与差分的关系，等距节点的Newton插值多项式可改写为 令则有Newton前插公式均差与向后差分有关系 运用此关系并令可得Newton后插公式差分表 4. Hermite插值 中满足条件的多项式称为Hermite插值多项式. 设为次数不超过的多项式，并满足条件 Hermite插值多项式可写成 以下求 设利用可得 因为 所以 于是 同理 三次Hermite插值基函数为 类似于前面证明插值多项式唯一性可证明中满足条件的Hermite插值多项式具有唯一性. 类似前面导数余项形式的推导可得例一 按表 求Hermite插值多项式5.分段低次插值1) 定义分段线性插值函数 取a，b上n+1个节点及函数值 若函数满足（k=0，1，n）,在每个小区间是线性插值多项式.则称为在a，b上的分段线性插值函数易知在a，b上连续.分段三次Hermite插值函数若分段插值函数满足且在是三次多项式，则称为分段三次Hermite插值函数. 易知.2) 构造原理分段线性插值函数的构造设为任何连个相邻插值点，于是在上分段线性插值函数是一次多项式.利用上的插值数据用n=1的Lagrange插值构造，于是有 分段三次Hermite插值函数设是任何两个相邻节点构成的区间，在上的插值数据为则,式中 .3）分析定理1 假设出现在如下不等式中的函数的高阶导数存在，记，则有1. 分段线性插值的误差估计为2. 分段三次Hermite插值函数的误差估计为证明 只对结果2给出证明，结果1可类似证明。由两点的Hermite插值余项可知，在区间上，分段三次Hermite插值函数与被插值函数的误差关系式又因为故对k= 0，1，n有 注意到上式右端与x属于哪个小区间无关，这就证明了结果2.三次样条插值定义 设函数定义在区间上，对给定的一个分划若满足下列条件在上有二阶连续导数,在每个小区间都是一个三次多项式,则称函数是关于分划的一个三次样条函数，若同时还满足则称是在上关于划分的三次样条插值函数。6 最佳平方逼近和曲线拟合最小二乘法1）最佳平方逼近 定义1 设是上非负函数，满足 存在 对上的非负连续函数,如果则则称是上的一个权函数. 设，可定义内积此内积导出范数 设，线性无关，若存在使得则称是在中的最佳平方逼近函数.设则有函数由极值必要条件于是有 法方程组 其中，线性无关，于是方程组有唯一解因此最佳逼近的证明 因为所以 例一 求在区间上的最佳平方逼近多项式2) 曲线拟合曲线拟合也是一种求近似函数的方法，本节主要介绍最小二乘拟合方法.设有数据 求与所给数据拟合. 在中找函数使得为权系数.设有函数由极值必要条件类似于求最佳平方逼近函数时的推导可得法方程组其中，此时 若方程组有唯一解则有拟合曲线（曲线拟合最小二乘解）称为平方误差例2 给定数据表-3-1013-1.21.31.51.92求二次拟合曲线。解 求二次拟合曲线就是求2次最小二乘多项式，由于没给出权系数，可选.取基函数，则二次拟合曲线形式为计算得法方程组解之得 ，故所求二次拟合曲线为为避免病态，把基函数组选为正交函数组即可.设函数组在区间a，b上有定义，点集，权系数如果则称函数组是关于的带权正交函数组.当是关于的带权正交函数组时，其法方程组就变为对角方程