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轴对称重难点解读海门市海南中学 施卫卫图形的轴对称，是初中数学“空间与图形”领域当中的一个重要内容。轴对称变换是数学中的一种基本的变换，同平移变换一样，它是保持两点之间距离不变的变换，即保持变换或合同变换，这种变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。图形的轴对称的学习是从学生已有现实入手，来认识和学习轴对称以及其基本性质，观察、领悟轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称性探究等腰三角形的性质（这为探索矩形、菱形、正多边形、圆的性质作好准备）。同时，等腰三角形是一种特殊的三角形，也是我们几何学习中较为重要和常用的图形，它是我们今后各阶段学习的基础。一、课标要求“轴对称”的主要内容包括“轴对称”、“画轴对称图形”、和“等腰三角形”和“最短路径”四个方面。引导学生从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在生活中的广泛应用。在此基础上，探索等腰三角形的性质和判定，并进一步学习等边三角形。1.“轴对称”是立足于学生已有“生活现实”和“数学现实”，让学生从观察生活中的对称现象开始，通过空间想象，归纳出图形的轴对称和轴对称图形的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点的连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的探索得到线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。对于轴对称的概念，只要求学生“了解”或“认识”，这种要求借助图形直观不难达到，我们不可能也没有必要给出轴对称的严格定义；教学时应鼓励学生充分观察、动手操作，运用自己的语言概括出轴对称图形的特征（有条件的话，可以借助多媒体技术展示它们的轴对称性，帮助学生建立轴对称图形和两个图形成轴对称的概念）。轴对称的性质是通过“探索”得到的，即通过图形的运动变化去发现性质的，而不是单纯地把性质作为结论呈现给学生。进行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形的性质奠定基础。线段垂直平分线的性质定理，可以通过图形的轴对称获得猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于学生找到证明的思路。2.“画轴对称图形”是通过引导画轴对称图形、简单的图案设计等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，即从数量关系的角度刻画了轴对称。通过引导学生从观察和实验入手，先得到一个点关于坐标轴对称的点的坐标的规律，进而利用这种规律画出一个图形关于坐标轴对称的图形。轴对称图形和两个图形成轴对称，都是指一个图形或两个图形之间的位置关系，是一个静止的状态。画出轴对称图形是由一个图形得到与它轴对称的图形的过程，因此要让学生认识到这一过程是一个运动的过程。能画出简单图形关于给定对称轴的对称图形、认识并欣赏自然界和现实世界中的轴对称图形、运用图形的轴对称进行简单的图案设计等是学习过程的主要内容。这些画图和设计图案的活动，即可以加深学生对图形轴对称性质的理解，又能激发学生的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。3.“等腰三角形”是利用等腰三角形的轴对称性，探索得到等腰三角形的特殊性质（“等边对等角”、“三线合一”等），并进一步探索了等腰三角形的判定方法。在此基础上，类比探究了等边三角形的性质和判定方法。探索等腰三角形的轴对称性质，不仅是要知道等腰三角形是轴对称图形，而且还会运用轴对称性质探索得到等腰三角形的其他性质。等腰三角形的性质定理和线段垂直平分线的性质定理一样，可以通过图形的轴对称获得猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于学生找到证明的思路。类似于等腰三角形，教学中，让学生根据等边三角形的轴对称性，自主发现、探索等边三角形的相关内容。4.“最短路径”是一个利用轴对称解决极值问题的经典问题。解决这个问题时，要引导学生注意到轴对称的作用，通过对称轴将直线同侧的任意一点映射到直线的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最段”使问题得意解决。二、基本技能的掌握以及对学生终身发展的影响1.能辨别轴对称与轴对称图形这两个概念之间的区别与联系。2.结合轴对称特征得出线段垂直平分线的性质，同时能借助线段垂直平分线的性质做出对称轴，加深对轴对称性质的理解。3.会用坐标表示轴对称，感受图形轴对称之后点的坐标的变化，把坐标思想和图形运动的思想联系起来。4.能用轴对称来研究等腰三角形、等边三角形和最短路径问题。5.通过画图、折纸、剪纸、度量或实验等活动，探索发现结论，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中可以发展创新思维能力，改变的学习方式。学生对生活中的对称现象怀有浓厚兴趣。不管是平面上的轴对称图形，还是立体图形的对称及镜面对称一直伴随学生生活。借助学生已有的这些“现实”，可以激发学生乐学因子。在欣赏轴对称、图案设计、探究轴对称的坐标变化规律、发现等腰三角形的性质等，可以发挥学生想象和个性。在“图形的轴对称”领域的学习中有很多定义、定理的探究活动。长期对几何图形的观察、实验、探究、归纳、推理，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，从而发展合情推理与演绎推理的能力。同时探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，可以激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。当然，在这样的教学活动中，学生的动手能力，分析问题、解决问题的能力得到充分发展，并且对学生的思维方式产生广泛而深刻的影响，这也是这部分内容的价值所在。三、教学重难点1.探索轴对称图形（如，等腰三角形）的其他性质、轴对称的应用、利用轴对称设计图案、用坐标表示轴对称等都是围绕轴对称的性质进行的。因此，轴对称的性质是全章的重点之一。2.等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质应用于等边三角形，很容易得出等边三角形的性质；类似于等腰三角形的判定方法，也很容易得出等边三角形的判定方法。另外，等腰三角形性质和判定是证明线段和角相等的重要依据，应用也比较广泛。因此，等腰三角形性质和判定是全章的另一个重点。3.从整体的角度看推理论证，根据教科书安排，通过上一章“全等三角形”的学习，学生已经初步完成从“说理、简单推理”上升到“用符号表示推理过程（证明）”的高度。本章中，对于一些图形的性质（线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的性质与判定等），仍然要求学生利用三角形全等来证明的。而线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的性质与判定等又是证明线段和角相等的重要依据，应用也很广泛。由于学生刚开始学习用符号表示推理过程（证明），虽然教科书控制了证明的难度，但相对于上一章“全等三角形”，推理的依据多了，图形和题目的复杂程度也增加了，使一些学生感到无从下手。因此，用符号表示推理过程（证明）是本章教学的一个难点。为克服推理论证的难度，可以将图形逐步变得复杂，让学生逐步学会从复杂图形中抽离出所需要的基本图形，挖掘已知条件。所以在训练时，要循序渐进，逐步提高，即在不同的阶段安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确的要求；也可以以具体的问题为载体，先引导学生分析思路，再逐步要求学生独立分析、写出完整的证明过程,让学生逐步切实提高推理论证能力。显然，关键是要加强问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路，同时结合所要求证的结论一切考虑（即“两头凑”），帮助学生克服这个难点。4.解决“最短路径”这个极值问题，学生第一次遇到，是教学中的一个难点。四、教学建议1.注意联系学生实际本章内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用；同时，在前面学段中，学生对轴对称及基本的轴对称图形（等腰三角形等）有了一定的认识。因此，在教学中要立足于学生已有“生活现实”和“数学现实”，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中。如，为了让学生认识到轴对称现象的广泛性，同时也要求学生通过观察各种各样的图片，通过空间想象归纳它们的共同特征。此时要注意的是举出的例子一些广泛意义上的对称的例子，并不仅仅是平面上的轴对称图形，还应包括学生生活中所熟知的镜面对称和立体图形的对称。另外，学生在小学已经接触过等腰三角形，对等腰三角形并不陌生。教学中可以让学生剪出一个三角形。剪三角形的过程保证这个三角形的两边相等，因此得到了一个等腰三角形，同时这个剪三角形的过程也保留了中间折叠的痕迹，为探究等腰三角形的性质做好准备。2.注意知识之间的联系，有机整合相关内容本章内容涉及图形的性质、图形的变化、图形与坐标、图形与证明等各个部分。教学中要注意把握各个部分内容之间的联系，进行有机整合。（1）要注意轴对称与轴对称图形这两个概念之间的区别与联系（见表格）。轴对称轴对称图形区别1.轴对称是说两个图形的位置关系轴对称图形是一个具有特殊形状的图形2.轴对称是对两个图形而言轴对称图形是对一个图形而言联系1.定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠后重合2.可转化：如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称，反过来如果把两个成轴对称的图形看成是一个整体，那么它是一个轴对称图形，因此当有条件时，它们可以互相转化。它们之间的区别是：轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，直线两旁的部分指同一个图形的两部分，而不是两个图形；两个图形成轴对称是两个图形之间的位置关系。它们之间的联系是：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形；从运动的角度看，成轴对称的两个图形的任何一个图形可以看作是另一个图形经过轴对称得到的，一个轴对称图形也可以看作由它的一部分为基础，经过轴对称拓展而成的。（2）本章第一节研究了轴对称及其性质、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理、做出对称轴三个方面。表面看三者之间毫无关联，实际三者之间是一个有机整体。线段垂直平分线是在结合轴对称特征的基础上得到的，得出线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的两个图形都是轴对称图形，因此可以利用轴对称性质，同时借助线段垂直平分线的性质作出对称轴，加深了对轴对称性质的理解。（3）“用坐标表示轴对称”是从数的角度刻画轴对称的内容。教学的关键要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化，把“形”与“数”紧密地结合在一起，把坐标思想和图形运动的思想联系起来。（4）等腰三角形是一种轴对称图形，教学中要注意：要用轴对称来研究等腰三角形的有关性质，并进一步利用三角形的全等来证明这些性质，即将图形的运动与图形的认识、图形与证明有机整合，利用运动研究图形，得到等图形的性质，再通过推理证明这些结论。（5）等边三角形是特殊的等腰三角形，教学中要等边三角形和等腰三角形有机整合，把等腰三角形的性质应用于等边三角形，很容易得出等边三角形的性质；类似于等腰三角形的判定方法，也很容易得出等边三角形的判定方法。另外，等边三角形是一种轴对称图形，它比一般的等腰三角形具有更多的对称轴。教学中，要让学生根据等边三角形的轴对称性，自主发现、探索等边三角形相关内容。（6）为帮助学生确定“最短路径”，教学中首先让学生回忆以前学过的有关线段大小关系的结论，然后引导学生如何利用轴对称将两条线段“接起来”，最后可以告诉学生如何证明“最大”“最小”问题。3.注意学生学习方式的切实改变义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称标准）指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。（1）本章中的一些概念、性质、公理和定理的教学过程中，应该让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或实验等活动，探索发现结论，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中可以发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究、归纳得出结论的自然延续，使图形的认识和图形的证明有机整合。如，关于等腰三角形 “等边对等角”“三线合一”的性质的得出，要让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质，通过这一操作过程的启发，作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，完成好由实验几何到论证几何的过渡。（2）本章中有很多内容需要发挥学生想象和个性的活动。如欣赏轴对称、图案设计、探究轴对称的坐标变化规律、发现等腰三角形的性质等，可以为学生提供个性化学习的时间和空间。如在利用轴对称进行图案设计时，不同的学生会有不同的创意和操作方法，教师要鼓励学生大胆想象和尝试，不能用唯一标准来衡量学生的学习成果，要把关注点放在学生是否真正理解了轴对称的特征上。4.要建立目标多元、方法多样的评价体系，以满足学生多样化和富有个性的学习需求学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。为满足学生多样化和富有个性的学习需求，教学要根据学生在学习上反应出来的差异和不同内容的教学要求，恰当地制定不同层次的学习目标，以适应不同层次的学生的学习需求。更要针对学生差异和课堂反应实施各阶段的分层（问题分层、练习分层、指导分层、评价分层等），要鼓励和提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题的过程中所表现出来的不同水平，让学生根据教师预设的路径，通过引导自主学习，开展探究活动、完成探究任务。从而最大限度地满足学生个体差异发展的需要，让不同的学生得到不同的发展。如在进行证明角或线段相等时，允许学生还是通过三角形的全等来证明，当然也允许学生通过线段垂直平分线或等腰三角形的性质来证明。当然，应该鼓励学生用多种方法证明，拓展思维。5.重视信息技术工具的应用和数字教育资源的开发信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，突出展现数字教育资源的课堂应用及如何利用信息技术和数字教育资源创新教学方法、有效解决教学的重难点。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。在本章内容的教学中，可以利