数学模型第五章.doc

第五章 稳定性方法建模对于某些实际问题，建立数学模型的目的并不是要寻求动态过程的每个时刻的性态，而往往是要研究经过充分长的时间后动态过程的变化趋势.即是否会越来越接近某个确定的值.若是，则称为稳定，否则称为不稳定.在分析这种稳定性时，常常不用解微分方程,而可利用微分方程的稳定性理论，直接研究.5.1 预备知识（一）一阶微分方程的平衡点及稳定性现在我们来介绍一阶微分方程的平衡点及稳定性的概念设 ， (5.1.1)即右端不显含自变量t，则方程f(x)=0 (5.1.2) 的实根称为微分方程(5.1.1)的平衡点. 显然是方程(5.1.1)的一个解.如果当x(0)充分接近x0时，方程(5.1.1)的解x(t)满足 (5.1.3)则称平衡点是稳定的，否则称是不稳定的.对于平衡点的稳定性有如下的判别法:设是(5.1.1)的平衡点.若 ,则是稳定的, 若,则是不稳定的. 简要说明：代回(5.1.1)得 ， ，可见当f()0时, x(t)= (不稳定)假设一个质点的运动可以用方程(5.1.1)描述, 即当它在x处时运动速度为f(x),仅与它的位置有关.设, 则在附近, f(x)递减, 故若x稍小于, 则有, 就是说, 当质点在x0 的左面时, 它会向右运动. 而当x稍大于时, 则有, 故当它在x0 的右面时, 它会向左运动. 总之, 当质点稍微偏离平衡点时,会自动回到平衡点,故是稳定平衡点.反之, 若, 则当质点在x0 的左面时, 它会向左运动, 偏离平衡点越来越远, 当质点在x0 的右面时, 它也会偏离平衡点越来越远,故不是稳定平衡点.根据稳定平衡点的定义,(5.1.1) 的稳定平衡点可以作为该方程的一个近似解.这给一些实际问题的研究带来方便.(二）二阶微分方程的平衡点与稳定性（1） 平衡点的概念此时方程可用两个一阶方程表为 (4)右边不显含t，方程组 (5)的实根，称为方程（4）的平衡点，记为（2） 稳定性的概念若不论初始条件如何，方程（4）的解都满足 , (6) 则称平衡点是稳定的，否则，称是不稳定的。（3） 平衡点稳定性判别法记，则当使tr(A)0时，是稳定的；当使tr(A)0或det(A)0时，是不稳定的。5.2 捕鱼业的产量模型5.2.1问题描述设渔场的鱼量按一定规律增长,在渔场捕鱼时，如何控制捕捞率，使单位时间捕鱼量达到最大.5.2.2模型假设1设时刻t渔场的鱼量为x(t),在无捕捞条件下，x(t)服从Logistic规律.即 (5.2.1)其中，r为固有增长率.N为环境允许的最大鱼量.f(x)表示单位时间鱼的增长量（自然增长率）.2、设单位时间捕鱼量为h(x)，它与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为E，E称为捕捞率.即 h(x) = E x(0E1)3、假设是独家捕捞的情形5.2.3建模构建记F(x)=f(x)h(x)，则F(x)表示该渔场鱼量的净增长率.在有捕捞情况下，该渔场鱼量满足方程 (5.2.2)5.2.4模型分析一般情况,我们不一定要解方程(5.2.2)求得x(t)的动态变化过程,而只希望知道x(t)的趋向, 并由此确定最大持续产量. 为此我们求(5.2.2)的平衡点和分析其稳定性.先求(5.2.2)的平衡点. (x0)令F(x) = 0，得出两个平衡点：x0 = N ( 1 E/r )，x1 = 0因要求x00, 故知0Er. 再分析平衡点稳定性若E r, F(x0)0, 故x0是稳定平衡点，x1不稳定.若E=r，则,(5.2.2)化为，立刻解得,因此. 于是总有 (5.2.3)现在考虑在稳定条件下(即当t充分大时)，捕捞率E为多大时, h(x)达到最大？由(5.2.3)式可知，在稳定条件下，要使h(x) = E x 达到最大则E应满足0Er,又t充分大时，此时 h(x0)=x0=把其视为自变量E的函数,记为的驻点为，此时0，故当时，最大，也即最大，此时 ， 说明若把捕捞率E控制在鱼量固有增长率的一半时，则可获得最大的持续产量.注意：Er时， (5.2.2)的解为对应的曲线形状：5.3 捕鱼业的效益模型5.3.1问题描述从经济角度分析，不应追求单位时间产量最大，而应追求单位时间获利最大.接上节考虑如下问题：捕捞率控制在什么水平时单位时间获利最大？5.3.2模型假设1.鱼的销售单价为常数P；2.捕鱼的成本与捕捞率E成正比，比例系数为常数C；3.单位时间所获利润为R(E)；4.独家捕捞.5.3.3模型构建在稳定条件下, 从销售收入中扣除成本得利润 , (5.3.1)5.3.4模型求解0，故R(E)有最大值. 令得驻点 , (5.3.2)此时，稳定鱼量为 单位时间产量为 =与产量模型比较，0 f(N)=-r0即x0不稳定，x1稳定。现讨论一个自然环境中有两个种群生存的情况。一、假设与建模：设有甲乙两种群，当它们独立在一个自然环境中生存时，数量变化均服从Logistic规律，记x1，x2为两种群数量r1，r2，分别是甲乙种群的固有增长率，N1与N2分别是它们的最大容量，现假定甲乙两种群消耗同一资源（食物）：故可用如下模型来描述： (5.11) (5.12)其中，1，2 是用来描述两种群竞争程度的指标，1越大，乙对甲的生存越不利，2越大，甲对乙的生存越不利二、分析1.求平衡点:令 ， 可求出四个平衡点:p1(N1,0), p2(0,N2), p3(0,0), 注:对于p4,仅当121时才存在,且当1=1时, p4=p2,当2=1时，p4=p1 2.在相平面上讨论平衡点的稳定性:当然我们也可用讨论tr(A)与det(A)的正负来说明平衡点的稳定性,不过这里我们采用另一种方法,在相平面上进行讨论.(1)若11，21，21,则, ，直线L1与L2的相对位置如右图由以上的分析可知，当轨线进入S2后，就趋于右下方P1点，进入S3后就趋于左上方P2点。四个平衡点都不是稳定平衡点(但P1与P2也可称为局部是稳定的，即仅对部分初始条件而言是稳定的)。（3）若11，则此时P4不在第一象限，,直线L1与L2的相对位置如图.从上面分析可知，当轨线进入S2后就趋于右下方，最终趋于P1即P1稳定，P2、P3不稳定.L2L1x1N2S4S1S3x2N1L1L2x1N2S4S1S2x2N1（4）若11，21，则此时P4不在第一象限，,直线L1与L2的相对位置如右上图.从上面分析可知，当轨线进入S3后就趋于左上方，最终趋于P2，即P2稳定，P1、P3不稳定.(5)若1=1,21,则可视为(3)的特例,此时P1稳定，P4=P2、P3不稳定.(7)若11,2=1,则可视为(4)的特例,此时P2稳定，P4=P1、P3不稳定.(9)若1=1，2=1，则L1与L2重叠，S2=S3=，直线上任一点都是P4,没有稳定平衡点.此时积分得解出 三生态意义解释（1） 若，则P4稳定，说明两种群可长期共存，且各自保持一个稳定的数量.（2） 若，则只有局部稳定平衡点，即双方竞争十分激烈，且先占优势的一方最终会使对方灭绝.（3） 若（1与2不同时为1），P1稳定。说明x1(t)N1，x2(t)0，甲种群越来越多，趋于饱和，而乙种群数量越来越少，趋于灭绝。（4） 若（1与2不同时为1）则P2稳定，x1(t)0，x2(t)N2.乙种群数量越来越多趋于饱和，而甲种群数量越来越少，趋于灭绝。（5） 若，则x1与x2不趋于某个定值。但两者呈指数关系， r1=kr2时x1与x2k成正比，特别当r1=r2时，x1与x2成正比。5.5 食饵捕食者系统在自然界中，同一环境的两种群常有这样一种生存方式：甲种群靠天然资源生长，而乙种群则靠掠食甲种群为生。例如，加拿大森林中的美洲兔与山猫，地中海里的食用鱼与鲨鱼，前者称为食饵，后者称为捕食者，两者共处组成食饵捕食者系统。一.问题的提出意大利生物学家DAncona 曾致力于鱼类种群的相互制约关系的研究。从第一次世界大战期间地中海各港口捕获的几种鱼类占捕获总量的比例资料中发现鲨鱼等（捕食者）的比例有明显的增加，如下图：假定捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例（抽样）。问题：战争时期捕鱼量大幅度下降，这当然使食饵量增加，从而使以此为生的捕食者的量增加。但为什么会使鲨鱼的比例增加呢？DAncona无法解释此现象，于是找意大利数学家V.Volterra，希望他能回答此问题.Volterra 建立了食饵捕食者系统的模型，回答了此问题.二. Volterra的假设与模型（1）设 x1(t) 食饵在时刻t的数量x2(t)捕食者在时刻t的数量（2）假定食饵按指数规律自然增长,增长率为 r1 ，而捕食者的存在使食饵的增长率下降，下降程度与捕食者数量成正比，比例系数为 ，即-（3）设捕食者离开食饵难以生存，独立生存时下降率（负增长时，增长率的相反数）为r2，但食铒的存在使它的下降率降低，设这个作用与食饵的数量成正比。比例系数为，即 （4）假设没有人工捕捞食饵与捕食者（5）模型为 其中描述了捕食者的捕食能力，反映了食铒对捕食者的供养能力,（5.13）与（5.14）称为volterra模型。三. 分析（1）Volterra模型的平衡点 令 得两个平衡点,记A=在P1处,A= ,tr(A)=,det(A)=,故P1不稳定。在 P0处,A= ,tr(A)=0, det(A)=.这是临界情况，不能判别稳定性，考虑用相平面上的轨线作分析.（2）Volterra模型的轨线（5.13）与（5.14）两边相除，得轨线的方程 分离变量得: 两边求不定积分得 两边取反对数 即 (5.16)(其中c=0)记 , 得驻点且可见 在点达最大值，记为，且同理 (x)在x=处达到最大值,且.可见图形x2m(x2)o图5.3（b）x1m(x1)o图5.3（a）从而(5.16)式中,C的取值范围为.轨线的形状 当时,轨线退化为一点;当时,轨线如图对不同的C,轨线是一族包含点的闭曲线,C值越大,曲线所围的面积就越小.轨线的方向-指t增加时,轨线上的点的移动方向. 直线 与 把第一象限分为四个部分.:,;:,:,:,故知,随着t的增加,轨线上的点是逆时针方向移动的,周期变化并不趋于P0.平衡点与Volterra模型的关系从上分析可知,(5.13)与(5.14)的解与应是周期函数,故时没有极限.给定C,记周期为T,在一周期内的平均值().同理, 从而说明P0 虽然不是稳定平衡点,但其坐标正是食饵和捕食者的平均数量.有代表性.四 模型的解释(1) 说明平均而言,当捕食者的死亡率下降或食饵对捕食者