“是否存在型”问题的一般解法.doc

“是否存在型”问题的一般解法文唐兴中对于结论不确定的问题称为存在型问题，在数学命题中常以适合某种性质的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出现“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法，只要找出一个，就说明存在“不存在”一般需推理论证，常用反证法“是否存在”结论不确定，有两种可能：若存在，需找出来，若不存在，则要说明理由对“是否存在型”问题的解答，通常有如下几种解法：1利用特殊函数或特殊值对于抽象函数的有关证明，比如单调性、周期性等的证明，可借助符合条件的一个具体函数来寻求解题途径或论证的结果或者用该具体函数来检验结论是否正确例1已知函数（）定义域为，对于任意、，恒有（）（）2（）（），且有正数，使（2）0，试问是否存在（0）使得（）（）分析：由已知（）（）2（）（）联想到和差化积公式中的余弦公式，于是找到一个符合条件的一个函数（），由于20所以相当于题设中的正数另外，我们知道余弦函数（）是以2为周期的周期函数，即2相当于题中的T，而22则T可能为2于是可设法证明（2）（）解：由（）（）2（）（）及（2）0，得（）（）2（2）（2）0，（2）（）2（32）（2）0，所以（）（）（2）（），（2）（），于是存在数2使得（）（）成立例2是否存在常数、使得等式（1123）（1234）（1（1）（2）（2）4（1）（2）对恒成立?分析：因为该式对一切恒成立，则当1、2时也应成立因此，只要令1和2，求出与的值，再用数学归纳法证明即可解：略2待定系数法待定系数是解答恒等式时常用的方法之一，通过恒等式，比较两边的相应项系数，可确定出所求的未知数的值例3题目同例2 （23）4（1）（2），与右端比较，得1，3例4在公差不为零的等差数列和等比数列中，已知1，（1）求、的表达式；（2）是否存在常数、，使对一切恒有成立？ 解：（1）设公差为，公比为，则有1，172，（1）217，5，6于是，（1）5（1）1，161（2）由得5（1）161（1）6比较系数，得65，1，13构造函数（数列），利用其单调性求解对于判断一类不等式是否恒成立的问题，可构造函数或数列，利用其单调性，求出不等式一端的最大值或最小值将原不等式转化为一个具体不等式求解例5是否存在正数，使得对于大于的所有恒有（1）（1）成立?若存在，求出的最小值分析：由不等式两边的结构，可构造函数（）（1）则问题转化为求函数（）在0时的单调增区间，该区间左端点的对应值即为的最小值解：构造函数（）（1）（0），则由0，得（1）2，当且仅当1，即1时取最小值于是函数（）（1）在1，）上为增函数从而所求的最小值为1另解：设0，则（）（）（1）（1）（）（1）（1）=（）（）=（）（1），0，0，20，当（）为增函数时，（）（），即（）（）0，则有10，如果21，那么就有10，从而1时符合条件，于是的最小值为1例6是否存在实数，使得不等式（1（1）（1（2）（12）（112）（1）（23）对一切2，恒成立?分析：要使上式恒成立，则（112）（1）（23）应小于左边的最小值如何求左边的最小值呢?可将左边看做是关于的函数（）或数列，设法判断出函数（）或数列关于的单调性（由题意，本题中需要判断出（）关于单调递增），求出最小值，再解一个不等式即可解：记（）（1（1）（1（2）（12），则（1）（1（2）（1（3）（12）（1（21）（1（22），（1）（）（1（21）（1（22）（1（1）（1（21）（1（22）0，（1）（）即（）关于单调递增于是（）（1）（2）（13）（14）712要使原不等式恒成立，只要712（112）（1）（23）成立由712（112）（1）（23），得（1）1，解得1（1）2于是存在满足条件的实数，使不等式恒成立4利用定义域或性质求解利用圆锥曲线（或函数）的定义、几何图形的性质，也可判断符合条件的点、线、数是否存在例7双曲线（22）（22）1的离心率1，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线左支上求一点，使得是点到的距离与的等比中项?解：假设双曲线左支上有一点，使=，则点在双曲线左支上，2（1）2，2（1），而2，（1）2，（2（1）（1）2，（1）（1）由1得2210，11与1矛盾，则这样的点不存在 例8如图，已知矩形，1，又平面，且1，问边上是否存在点，使得？解：设存在点，使，则由面得设，则212，2（）21222，12（）212，210，24当2时，0，原方程有两个不等实根、，由0，10，、均符合要求，此时有两个位置当2时，1，此时点有一个位置，即的中点，符合题意当2时，点不存在例9已知椭圆的一个顶点为（0，1），焦点在轴上，且右焦点到直线20的距离为3，试问能否找到一条斜率为（0）的直线，使与已知曲线交于不同的两点、，且满足解：易求得椭圆方程为（23）21，设方程为，线段的中点为，则由知为线段的中垂线，其方程为（1）1设（，）、（，），代入椭圆方程并相减，得（）（）（）（）13，即13，13， 由（13），得（32），12）（1）1，因为点在椭圆内，则有（32）23）（12）21，即21，11（0）于是存在满足条件的直线例10已知（）（）（0，10）的定义域为，问：是否存在这样的、，使得（）恰好在（1，）上取正值，且（3）4？若存在，求出、的值解：由0得，（）10，1，而由已知函数定义域为，0，1于是（）（）由已知10，则（）为增函数，2（）为减函数，3（）为增函数，从而（）（）为增函数，则（）（）为增函数因为（）恰好在（1，）上取正值，所以当1时，应有（1）0，即（）0，1又（3）4，即（33）4，334而33（）（）（）（）3134，1由得（1）2，（1）25利用函数的值域求解函数中的一类是否存在问题可转化为函数的值域问题，通过分离参变量，视参变量为函数，看其是否在相应函数的值域内例11已知（0，2），问是否存在（0，1）使得等式成立解：由，得（1）（2）（1（2）（4）（2）（0，2），2（0，4），4（2）（4）2，而在（0，2）上为增函数，（2）（4）41即1与此（0，1）矛盾，满足条件的不存在例12已知函数（）在定义域（，1上为减函数问是否存在实数，使得不等式（）（22）对一切恒成立解：由已知得不等式组 1，221，22恒成立，由得1，若恒成立，则1（1）0；由得212，若恒成立，则2101，11；由得22