保险精算例题.doc

第二章【例2.1】 某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算：（1） 如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？（2） 如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？（3） 借款多长时间后需要还款1200元。解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。在单利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+2i)=1000(1+25%)=1100（元）在复利下，还款总额为： A(2)=A(0)(1+i)=1000(1+5%)=1102.5（元）（2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。在单利下，还款总额为： 1000（1+5%）=1019.04（元）在复利下，还款总额为： 1000 =1018.75（元）（4） 设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有 1200=1000（1+0.05t）可得： t=4（年）在复利下，有 1200=1000（1+0.05）t可得： t3.74（年）【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。解：在单利下，有 A(5)=1000(1+25%+36%)=12800(元)在复利下，有 A(5)+1000(1+5%)(1+6%)=13130.95(元)【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。解：（1）1995年1月1日的现值为：1000（1-0.05）=857.38（元）（2）年利率为：i=0.053【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1） 在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。（2） 在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值为： 14000（）2=12459.95（元）（3） 用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为：14000（1-0.06）=12370.4（元）6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率m1234612d(m)0.056600.057430.057710.057850.057990.058130.05827【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有 1000（1.03）36=2898.28（元）故三个月后他欠款2898.28元。【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。（2）求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：（1）实际利率为：i=（1+）m1=（1+）121=12.68%故实际利率为12.68%。 （2）实际贴现率为：d=1（1）m=1（1）4=9.63%因此，实际贴现率为9.63%。 （3）由（1+i）-1=1d，有 （1+）-m =（1）n （1+）-12=（1）2 =21（1+）-6=11.59%【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次（21/7=7）。这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：4000（1+4%）7=5263.73（元） 值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题：（1） 贷款额在2003年7月22日的价值。（2） 年利率i。（3） 名义利率解：（1）如果一致年利率i，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000（1+i）5。 有公式（2.20），利息力与利率有如下关系：e&=1+i从而 4000（1+i）5=4000e0.7=8055.01（元）（2）由（1+i）= e0.14，的年利率为： i= e0.141=0.15027（3）由（2.14a）式和（2.20）式，有 （1+）12=1+i= e0.14 i12=12（e0.14/121）=0.14082【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为X，有X=500001.0314300001.0310200001.034=12801.82（元）【例2.10】某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%，计算2004年1月1日其账户上的余额。解：依题意 X=80001.059+60001.057120001.053=6961.73（元）【例2.11】某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。如果年利率为7%，计算在2002年1月1日账户中的存款总额。解： X=40001.076+60001.072+50001.07（-1） =17545.22（元）故在2002年1月1日，账户存款总额为17545.22元.【例2.12】某人1995年1月1日在其银行账户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额为7100元，计算实际利率。解：2000（1+i）5+3000（1+i）2=7100由 f（i）=2000（1+i）5+3000（1+i）27100=0 i=0.11+0.001=0.11153【例2.13】某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是30年。假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。解：设每年需要的还款额为X,根据题意，有由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有 200000=X X=13010.29（元）【例2.14】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。解：X =2000X= =由于 d=0.0566故 X=194.27（元）【例2.15】某人在30岁时计划每年初存入300元建立个人账户，如果他60岁退休，存款年利率假设恒定为3%。（1） 求退休时个人账户的累积额。（2） 如果个人账户累积额在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。解：（1）退休时个人账户累积额是30年定期的年金终值：300=X=181.7144X=81.03（元）【例2.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第9个月开始在5年中每月还款，利率为6%，求每月的还款额。解：月利率j为： （1+j）12=1.06 j=0.004868在第8个月，有 X =50000（1+j）8 X=1001.0921（元）设每月可以领取到的数额为x元，则有 300=12x根据名义贴现率的计算公式，可得：d（12）=121-（1+i）-1/12=0.029522426=15.11814259 X=81.03（元）因而每月可以领取的年仅为81.03元。【例2.18】某年金每年付款1次，连续付款10年，年利率为5%，年给付额为：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，计算t=0时这些付款的现值。解：依题意，有 现值=100+100v =100（1+v） =1387.72（元）【例2.19】若存入银行10万元，建立一项永续奖励基金，从第一年后开始支取年金，设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。解：设每年可以提取的最大数额为x，则 100000=x= X=4000（元）【例2.20】某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前1年增加100元，共收付10年。若年利率为5%，求第10年末的年金总值。解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金。因此，第10年末的年金终值为： 900+100 =900+100 =17733.68（元）【例2.21】我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结合的方式，个人账户以个人缴费工资的8%计入。如果某职工从20岁参加个人账户保险，当年工资为6000元，工资年增长为2%，个人账户的累积利率为4%。求在他60岁退休时，个人账户的累积额。解：个人账户在20岁时的现值为： 60000.08（1+1.02v+1.022v2+1.0239v39）=480=13480.63（元）在60岁时的累积额为：13480.631.0440=64720.78（元）【例2.22】在例2.21中，如果个人账户累积利率在刚参加个人账户的前10年内为4%，退休前的10年内为4%，退休前的10年内为2%，中间20年为3%，求这时个人账户在退休时的累积额。解：在职工20岁至29岁间，个人账户在20岁的现值为： 480=4405.216554（元）在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为：4801.0220=7217.296894(元)在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为： 4801.023010=3252.134534（元）个人账户在60岁时的累积值为：（4405.216554+7217.296894+3252.134534）1.04101.03201.0210=48475.95（元）【例2.23】一项永续年金，第1年末付1000元，弟2年末付2000元，以后各年每年增加1000元，直到年付15000元后，支付水平保持在每年15000元的水平上不变，并一直继续下去。在利率水平7.5%下，计算此年金的现值。解：这一年金可以分解为一个递增确定的年金和一个永续年金，年金现值为， PV=1000+v15 =1000（-15v15）+15000v15 =126522.1（元）【例2.24】设A向B借款20000元，期限为5年，年实际利率为6%，A在每年末以等额分期方式偿还贷款。试计算：（1） 每年末应偿还的金额。（2） 各年末的未偿还本金金额。（3） 每年末偿还金额中利息和本金金额解：依公式（2.40），有 R=4747.93（元）时期每年末偿还金额支付利息偿还本金年末未偿还贷款余额020000.0014747.931200.003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.754479.180【例2.25】某人用10年分期还款的方式偿还一笔50000元的贷款，假设他在10年内每半年还款一次，每半年结算的年利率为13%，从贷款6个月后开始第1次还款。求第6年末尚未还清的贷款余额。解：设未来每次还款额为P，10年内每半年一次的还款意味着20个半年的还款，半年结算的利率为6.5%（13%/2=6.5%） 由于贷款开始时刻的贷款额与还款额的现值相等，有 50000=P所以 P=4537.82（元） 第6年末尚未还清的贷款余额等于最后8个半年内需要定期偿还的贷款的现值。 P=27629.75（元）【例2.27】某笔7000元的贷款，用每年末偿还1000元及最后一次偿付剩余不足1000元的方式还款。假定年利率为10%，第一次付款再贷款一年后。计算第9次付款后剩余的本金。解：如果用未来计算，需要先计算出还款的期限和最后一次还款的数额。在10%利率下，未来12年每年1000元的年金现值为： 1000=6813.692（元）设第13次不足1000元的还款额为x，有 7000=6813.692+xv13 X=643.1864（元）从而，第9次付款后剩余的本金为： 1000+643.186v4=2926.16（元）【例2.28】某人从银行获得一笔贷款，期限为10年，贷款利率为5%，他采用变额分期偿还法偿还贷款，其中每年末的偿还金额分别为20000元，19000元，18000元，试计算：（1） 贷款原始本金。（2） 第5年所偿还的本金和利息。解：（1）贷款本金等于分期偿还额的现值：B0=10000+10000=122782.65（元）（2）按将来法，第4年末的未偿还本金余额为： B4=10000+10000=69243.08(元)第5年偿还的利息为： I5=i B4=3462（元）第5年的偿还额为： R5=16000（元）故第5年偿还的本金额为： P5=R5-I5=12538（元）【例2.29】一笔金额为10000元的贷款，年利率10%，期限为8年，每年末偿还一次，每次的偿还额以30%的速度递增，试计算前3年每年偿还的本金和利息各是多少？解：这里的偿还金额按几何级数增长，设第一年的偿还金额为R1， 10000= R1=14.027 R1 R1=712.90（元）由 I1=iB0=100000.1=1000（元）这时，应偿还的利息大于偿还的总金额，偿还金额不足利息支付的部分为： P1=R1-I1=-287.10（元）这样，1年后的未偿还本金余额增加为： B1= B0- P1=10287.10（元）第2年的各项余额分别为： R2=926.77（元） I2=1028.71（元） P2=-101.94（元）B2=10389.04（元）【例2.30】在例2.24中，假设A以等额偿债基金方式偿还贷款，偿债基金利率也为6%，其他条件不变，试构造偿债基金表。解：本例中，i=j=0.06，A每期向偿债基金储蓄D，则 D=3547.93（元）此外，A还要向B支付当期利息I： I=i B0=200000.06=1200（元）所以每期支付金额合计为： R=D+I=4747.93（元）【例2.31】假设例2.28中的其他条件不变，贷款利率变为6%，借款人通过利率为5%的偿债基金来偿还贷款，求贷款本金总额。解：以公式（2.51），有 B0= =113982（元）【例2.32】一笔贷款的期限为4年，年实际利率为12%，借款人用偿债基金法偿还贷款，偿债基金利率为8%，借款人每年末支付的总金额依次为1000元，1000元，10000元，10000元，试计算贷款本金为多少？解：令原始贷款本金为B0，则每年应支付的利息金额为0.12 B0，则各期向偿债基金储蓄的金额分别为1000-0.12 B0，1000-0.12 B0，10000-0.12 B0，10000-0.12 B0。他们在还款期末的累计额正是初始的贷款额： B0=（1000-0.12 B0）+9000=15075（元）【例2.33】债券的面值为1000元，年息票率为5%，期限为6年，到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为5.5%，试计算债券购买价格。 解： F=C=1000 r=g=0.05 i=0.055 p=50+1000/1.0556=975.02（元）【例2.34】假设两种债券的面值都为1000元，而且期限相同，收益率都为5%。其中一种债券的价格为1136.78元，年息票率为2.5%，另一种债券的价格为P，年息票率为1.25%，试计算P。解：由Makeham公式，有P1=K+(1000-K)=1136.78(元)K=452.88（元）故P=K+(1000-K)=794.83（元）【例2.35】某债券面值为1000元，名义年息率为9%，半年支付一次，期限为10年，前5年每半年收益率为4%，后5年每半年收益率为5%，计算债券价值。解：依题意，有前5年的息票在零时刻的现值为：45=364.99（元）零时刻剩余10个息票的现值为：451.04-10=234.74(元)零食可赎回债券的现值为：1000（1.04）-10（1.05）-10=414.73（元）债券价值为以上三者之和，即364.99+234.74+414.73=1014.46（元）【例2.36】试计算例2.33中第三个息票支付其的账面值增加额。解：B3-B2= C1+-C1+(g-i) =4.04（元）【例2.37】某5年期债券面值为1000元，名义息票率8%，没半年支付一次，每半年结算的名义收益率为7.5%，计算支付第6次息票是账面价值的变化。解： 支付第5次息票后的账面价值为： B5=+1000（1.0375）-5=1011.21（元） 支付第6次息票后的账面价值为：B6=+1000（1.0375）-4=1009.13（元）故支付第6次息票是账面价值的变化为： B5-B6=2.08（元）【例2.38】3年期债券面值1000元，名义息票率6%，没半年支付一次，每半年结算的名义收益率为8%，试计算：（1） 支付第2次息票时，账面价值中包含的利息是都少？（2） 支付第3次息票是，账面价值变是多少？（3） 建立债券分期付款计划表。解:(1) F=C=1000r=0.03 i=0.04支付第2次息票后的账面价值为：B2=30+1000（1.04）-4=963.70（元）利息为：B20.04=38.55（元）（2）账面价值的改变是第2次，第3次账面价值之差，为： B3-B2=8.55（元）【例2.39】某5年期的债券面值为1000元，每半年支付1次的息票为60元，每半年结算的名义收益率为8%。如果在购买2年2个月后，债券以其当时账面几个卖出，试用理论法计算账面价值。解：F=1000n=10Fr=60i=4%k=4t=第2年末的账面价值是： B4= Fr+Cvn-k=1104.84（元）2年2月后，用理论法计算账面价值得：Bk-1+t=Bk-1（1+i）t=1119.38（元）【例2.40】设债券面值为2000元，年息票率为8%，投资者要求的年收益为12%，期限为3年，到期按面值偿还，试计算债券在各季度末的价格和账面值。 解：根据公式，有 P0=B0=C1+（g-i） =1807.85（元） P0.25= P0（1+i）0.25=1859.81（元）按理论法： B0.25= P0（1+i）0.25-（1+i）0.25-1=1821.49（元）按半理论法：B0.25= P0（1+i）0.25-0.25Fr=1819.81（元）按实践方法： B0.25= P0（1+0.25i）-0.25Fr=1822.09（元）第五章【例5.1】某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%，计算趸缴净保费。解：趸缴净保费为：10000=10000（v+） = =49.28（元）【例5.2】张某在50岁时投保了一份保额 100000元的30年定期寿险。假设=1000（1-），预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。解：该生命表的最大年龄是105岁，所以t的取值范围是0到55，所求的赔付现值是： 其中故，该保单的趸缴净保费是： =20468.70（元）【例5.3】假设例5.2中张某50随时购买的是保额为100000元的终身寿险。已知，预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。解： = =22421.91（元）【例5.4】某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为，死亡赔付在死亡年年末，i=10%，求这一保单的精算现值。解：由 有 保单精算现值为： 由生存函数可以看出 t65因此 =3070.65（元）【例5.5】在例5.2中，假设50岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，保额为100000元，求该保单的趸缴净保费。解： = =24985.85（元）【例5.6】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付。如果在40岁到65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之后死亡，保险金为30000元。利用转换函数写出保单精算的表达式。解：这份保单可以分解成一份50000元的25年定期寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险与一份30000元延期35年的终身寿险的组合。这样，这份保单的精算现值可以表示为： 化简得： 【例5.7】对（x）的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：Kbk+1qk+103000000.0213500000.0424000000.06 假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。解:依题意，这一保单的精算现值为：=36829（元）【例5.8】某人在30岁投保，假设生存函数在0到100间均匀分布，z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为0.05，求和。解：（1）由于生存函数在0到100间均匀分布，但x=30时，剩余寿命在0,70间均匀分布，概率密度f（t）=，故 【例5.9】某人在30岁时投保了50000元的30年两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），求这一保单的趸缴净保费。解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为： 【例5.10】在例5.9中，如果契约规定在投保的前10年死亡赔付50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存货给付20000元，求这一保单的趸缴净保费。解：这是一个变额保险，可以分解为三部分，趸缴净保费为： 【例5.11】已知=0.8663，i=0.06，求。解：由 可算得: =0.058411再由（5.38）式，得： 【例2.12】假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡年末赔付。已知i=0.05，p40=0.9972，求。由公式 有 第六章【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。解：李明从20岁活到60岁的概率是，从20岁到60岁死亡的概率为（），如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值为： 【例6.2】设nt，证明并解释下面两个式子：（1）（2）证明：（1）（2）将两边同乘以，得： 【例6.3】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得1000元的生存给付，假设年利率为9%。计算这一年金的精算现值。解：这是一个每年给付1000元的终身生存年金，每一次给付经过折现后在30岁时的价值总和合即为这笔年金在30岁时的精算现值。因此，给付的现值是： 【例6.4】某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率i=5%,一句附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，试计算每年可以领取的金额。解：这是一个期末负终身年金的例子，题目中已经给出了这份年金购买时的现值，要求计算年金每次的给付额。设每次的给付额为p，有 而 故 P=661.03（元）【例6.5】王明在40随时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内，如果他存活，则可以在每年年初领取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即停止。20年期满，保单自动中止，无论20年后是否存活，不再继续给付。以附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，假设预定利率为i=6%，使计算这笔年金的精算现值。解：其精算现值为： =11882.82（元）【例6.6】某人在30随时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。设年利率为6%，存活函数为，试计算这笔年金在购买时的精算现值。解：由存活函数可得生存概率： 又因为 因而这笔年金的精算现值为： =12358.09（元）【例6.7】对于（30）的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求保单的趸缴净现值。解：有公式（6.13），保单的趸缴净保费为： =10787.38（元）【例6.8】某人在35随时购买了一份年金产品，这份年金将从他60岁退休起的25年内，每年年初给付5000元生存年金。给定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算这一年金的精算现值。解：其精算现值为： =11683（元）【例6.9】某30岁的人投保养老保险，保险契约规定，如果被保险人存活的60岁，则确定给付10年年金，若被保险人在6069岁间死亡，由其指定的受益人继续领取，知道领取满十年为止。如果被保险人在70岁仍然存活，则从70岁起以生存为条件得到年金。如果年仅每年年初支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）资料，计算保单趸缴净保费。解:趸缴净保费为： 【例6.10】如果一个x岁的人获得了