数值分析实验二.doc

数值实验报告一、实验名称 解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的 通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验内容解下列两个线性方程组（1） （2） 四、实验步骤1、用算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b中矩阵A及向量b, A=LU分解的L及U，detA及解向量x.2、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。3、将方程组（2）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向量x及detA，并与（1）中的结果比较。4、用MATLAB的内部函数inv(矩阵的逆)求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出上述各个方程组的解，并与列主元高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。用MATLAB的内部函数det求出系数行列式的值，并与（1）、（2）、（3）中输出的系数行列式的值进行比较。五、程序流程图列主元高斯消去法:六、实验结果计算结果如下：1、输出结果为（1）A=3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34; b=1;1;1X 1=1.0e+003 * 1.5926 -0.6319 -0.4936U = 3.0100 6.0300 1.9900 0 4.1600 -2.0696 0 0 5.3107L = 1.0000 0 0 0.4219 1.0000 0 0.3279 -1.6316 1.0000X 2= -0.4504 0.2903 0.3042det(A) ans =-0.0305（2）A=10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2;b=8;5.900001;5;1; X 1= 0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000U =10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.1000 6.0000 2.3000 0 0 -2.1429 -4.2381 0 -0.0000 0 12.7333L =1.0000 0 0 0 -0.3000 1.0000 0 0 0.5000 1.1905 1.0000 -0.0000 0.2000 1.1429 3.2000 1.0000X2 = -0.2749 -1.3299 1.2969 1.4398det(A) ans = -762.00012、 输出结果为X =119.5273 -47.1426 -36.8403det(A) ans =-0.40703、 输出结果为（1）x = 11.0300 4.2000 5.5170（2）x =39.7000 20.3900 58.1000 23.90007、 实验结果分析 有步骤(1)得到的结果比较可知,列主元高斯消去法和LU法解得的结果有很大差别,分析其原因。虽然顺序主子式只要不为零就可以消去求解，但是如果求解过程中遇到某个k,即使,但是很小,从而就会使的绝对值很大,那么,舍入的累计误差就会很大,计算出的解相对于精确解就会有很大的差别。因此，列主元高斯消去法的数值稳定性优势就很明显了。由步骤（2）和（3）的结果和（1）比较得知，一旦系数矩阵或者是解矩阵元素发生微小变化，对方程的解都会产生很大的影响，这就引入了矩阵的条件数和病态线性方程组的概念，系数矩阵的条件数越大，相应的方程组病态程度越严重。所以，对于严重病态线性方程组，当A和b有微小变化时,即使求解过程是很精确进行的,所得的解相对于原方程组的解依然会有很大的相对误差. 由递推公式（1）知当时，应当为精确解，递推公式的每一步都没有误差的取舍，但计算结果 ，出现负值。由此看出，当较大时，用递推公式（1）中的近似是不正确的。主要原因是初值不是精确值，设有误差，由递推公式（1）知 则有误差随的增大而迅速增加，增加到的倍。由此可见，递推公式计算的误差不仅取决于初值的误差，公式的精确性，还依赖于误差的传递即递推计算的稳定性。