江苏省镇江市丹阳高级中学高二数学上学期期初试卷（含解析）.docVIP

2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二（上）期初数学试卷一、填空题（共14小题，70分）1已知p：xk，q：1，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是2函数f（x）=log（x24）的单调递增区间是3已知函数f（x）=|x2|+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是4若函数f（x）=2lnx+x25x+c在区间（m，m+1）上为递减函数，则m的取值范围是5已知，则sin2=6已知|=1，|=2，（ +），则与夹角为7若直线ax+2by2=0（a，b0）始终平分圆x2+y24x2y8=0的周长，则的最小值为8设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是9已知数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn）在函数y=2x2+x1的图象上，则数列an通项公式为10正项等比数列an中，存在两项am，an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则最小值11与直线x+y2=0和曲线x2+y212x12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是12函数f（x）=sin（2x+）（|）向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在0，上的最小值为13以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数m，使得函数（x）的值域包含于区间m，m例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）a，2（x）b现有如下命题：设函数f（x）的定义域为d，则“f（x）a”的充要条件是“br，ad，f（a）=b”；函数f（x）b的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）+g（x）b若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，ar）有最大值，则f（x）b其中的真命题有（写出所有真命题的序号）14已知三个正数a，b，c满足ab+c3a，3b2a（a+c）5b2，则的最小值是二、解答题（共6小题，90分）15已知命题p：指数函数f（x）=（2a6）x在r上单调递减，命题q：关于x的方程x23ax+2a2+1=0的两个实根均大于3若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围16在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（）求角b的大小；（）设bc中点为d，且ad=；求a+2c的最大值及此时abc的面积17已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=（）写出年利润p（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；（）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）18已知圆m的方程为x2+（y2）2=1，直线l的方程为x2y=0，点p在直线l上，过p点作圆m的切线pa，pb，切点为a，b（1）若apb=60，试求点p的坐标；（2）若p点的坐标为（2，1），过p作直线与圆m交于c，d两点，当时，求直线cd的方程；（3）求证：经过a，p，m三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标19已知函数f（x）=xalnx（ar）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围20已知sn为数列an的前n项和，sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=11（1）求a1的值；（2）求数列an的前n项和sn；（3）设数列bn满足bn=，求证：b1+b2+bn2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，70分）1已知p：xk，q：1，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是k2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】由题意可得集合x|xk是x|1的真子集，结合数轴可得答案【解答】解：p：xk，q：1，若p是q的充分不必要条件，集合x|xk是x|1=x|x1，或x2的真子集，k2，故答案为：k2【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系2函数f（x）=log（x24）的单调递增区间是（，2）【考点】对数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】单调区间按照复合函数单调区间的求法进行即可【解答】解：由x240得（，2）（2，+），令t=x24，由于函数t=x24的对称轴为y轴，开口向上，所以t=x24在（，0）上递减，在（0，+）递增，又由函数y=logt是定义域内的减函数所以原函数在（，2）上递増故答案为：（，2）【点评】本题考查了复合函数单调区间的求法，一般的先求函数的定义域，然后确定内外函数并研究各自的单调性，再按照“同增异减”的原则确定原函数的单调性3已知函数f（x）=|x2|+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】由题意作图，由临界值求实数k的取值范围【解答】解：由题意，作图如图，方程f（x）=g（x）有两个不等实数根可化为函数f（x）=|x2|+1与g（x）=kx的图象有两个不同的交点，g（x）=kx表示过原点的直线，斜率为k，如图，当过点（2，1）时，k=，有一个交点，当平行时，即k=1是，有一个交点，结合图象可得，k1；故答案为：【点评】本题考查了方程的根与函数的交点的关系，同时考查了函数的图象的应用，属于中档题4若函数f（x）=2lnx+x25x+c在区间（m，m+1）上为递减函数，则m的取值范围是，1【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用【分析】先求出函数f（x）的导数，由题意得出方程组，解出即可【解答】解：函数f（x）=2lnx+x25x+c，f（x）=+2x5，又函数f（x）在区间（m，m+1）上为递减函数，解得：m1，故答案为：，1【点评】本题考察了函数的单调性问题，导数的应用问题，以及解方程组，本题是一道基础题5已知，则sin2=【考点】二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由已知根据两角和与差的余弦函数公式化简可得cossin=，两边平方可得：1sin2=，即可解得sin2的值【解答】解：，（cossin）=，可得：cossin=，两边平方可得：1sin2=，可解得：sin2=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角的正弦公式，两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查6已知|=1，|=2，（ +），则与夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题【分析】设向量与夹角为，由题意可得：（ +）=0，即+cos=0，代入已知可得答案【解答】解：设向量与夹角为，则由题意可得：（+）=0，即+cos=0，代入可得：1+12cos=0，解得cos=，又0，故=故答案为：【点评】本题考查向量的夹角和数量积的运算，属基础题7若直线ax+2by2=0（a，b0）始终平分圆x2+y24x2y8=0的周长，则的最小值为4【考点】基本不等式；直线与圆相交的性质【专题】计算题【分析】求出圆心坐标代入直线方程得到a，b的关系a+b=1；将乘以a+b展开，利用基本不等式，检验等号能否取得，求出函数的最小值【解答】解：因为直线平分圆，所以直线过圆心圆心坐标为（2，1）a+b=1=当且仅当取等号故答案为4【点评】本题考查直线平分圆时直线过圆心、考查利用基本不等式求函数的最值需注意：一正、二定、三相等8设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（，16）【考点】简单线性规划【专题】不等式【分析】通过目标函数z=x2+y2即表示以原点o为圆心与满足约束条件的变量x、y所构成的梯形abcd相交的圆的半径的平方，进而计算即得结论【解答】解：依题意，满足约束条件的变量x、y所构成的图形为梯形abcd，其中a（2，0），b（4，0），c（0，2），d（0，1），则目标函数z=x2+y2即表示以原点o为圆心与梯形abcd相交的圆的半径的平方，z的最小值为原点o到直线ad的距离d的平方，最大值为ob2=16，d=，即d2=，z16，故答案为：（，16）【点评】本题考查简单线性规划，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题9已知数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn）在函数y=2x2+x1的图象上，则数列an通项公式为an=【考点】数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】点（n，sn）（nn）在函数y=2x2+x1的图象上，可得sn=2n2+n1当n=1时，a1=s1；当n2时，an=snsn1【解答】解：点（n，sn）（nn）在函数y=2x2+x1的图象上，sn=2n2+n1，当n=1时，a1=s1=2；当n2时，an=snsn1=2n2+n12（n1）2+（n1）1=4n1，an=故答案为：an=【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10正项等比数列an中，存在两项am，an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则最小值【考点】基本不等式；等比数列的通项公式【专题】不等式的解法及应用【分析】利用等比数列的通项公式可得q，进而点到m+n=6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0=4a1，且a6=a5+2a4，化为=4，q2q2=0，q0解得q=2，即m+n=6=，当且仅当n=2m=4时取等号最小值为故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11与直线x+y2=0和曲线x2+y212x12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x2）2+（y2）2=2【考点】直线和圆的方程的应用【专题】压轴题【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程【解答】解：曲线化为（x6）2+（y6）2=18，其圆心到直线x+y2=0的距离为所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）标准方程为（x2）2+（y2）2=2故答案为：（x2）2+（y2）2=2【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题12函数f（x）=sin（2x+）（|）向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在0，上的最小值为【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】首先利用函数图象的平移得到平移后的图象的函数解析式，再根据函数为奇函数得到的值，则函数解析式可求，由x的范围得到相位的范围，最后求得函数的最小值【解答】解：把函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，函数y=sin（2x+）为奇函数，故+=k，|，故的最小值是函数为y=sin（2x）x0，2x，x=0时，函数取得最小值为故答案为：【点评】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函数值域的求法，是中档题13以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数m，使得函数（x）的值域包含于区间m，m例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）a，2（x）b现有如下命题：设函数f（x）的定义域为d，则“f（x）a”的充要条件是“br，ad，f（a）=b”；函数f（x）b的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）+g（x）b若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，ar）有最大值，则f（x）b其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域【专题】新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论【解答】解：（1）对于命题，若对任意的br，都ad使得f（a）=b，则f（x）的值域必为r反之，f（x）的值域为r，则对任意的br，都ad使得f（a）=b，故是真命题； （2）对于命题，若函数f（x）b，即存在一个正数m，使得函数f（x）的值域包含于区间m，mmf（x）m例如：函数f（x）满足2f（x）5，则有5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故是假命题； （3）对于命题，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）值域为r，f（x）（，+），并且存在一个正数m，使得mg（x）m故f（x）+g（x）（，+）则f（x）+g（x）b，故是真命题； （4）对于命题，当a0或a0时，aln（x+2）（，+），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）b，故是真命题故答案为【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题14已知三个正数a，b，c满足ab+c3a，3b2a（a+c）5b2，则的最小值是【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】将不等式组进行转化，设=x， =y，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：不等式ab+c3a，3b2a（a+c）5b2，等价为1+3，3（）21+5（）2，设=x， =y，则不等式等价为，即，则=2=x2y，设z=x2y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点a时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得x=1（舍）或x=，此时y=3x=3=，即a（，）代入目标函数z=x2y，得z=2=目标函数z=x2y的最小值是故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式组进行转化，利用换元法转化为线性规划的知识是解决本题的关键综合性较强二、解答题（共6小题，90分）15已知命题p：指数函数f（x）=（2a6）x在r上单调递减，命题q：关于x的方程x23ax+2a2+1=0的两个实根均大于3若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得【解答】解：若p真，则f（x）=（2a6）x在r上单调递减，02a61，且2a613a且a若q真，令f（x）=x23ax+2a2+1，则应满足a，又由题意应有p真q假或p假q真若p真q假，则，a无解若p假q真，则由2a60且2a61，可得a【点评】本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布16在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（）求角b的大小；（）设bc中点为d，且ad=；求a+2c的最大值及此时abc的面积【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosb的值，从而求得b的值（）设bad=，则在bad中，可知，利用正弦定理求得bd、ab的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时abc的面积【解答】解：（）因为，故有（a+b）（sina+sinb）c（sinasinc）=0，由正弦定理可得（ab）（a+b）c（ac）=0，即a2+c2b2=ac，由余弦定理可知，因为b（0，），所以（）设bad=，则在bad中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，从而，由可知，所以当，即时，a+2c的最大值为，此时，所以s=acsinb=【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=（）写出年利润p（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；（）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（）当0x10时，p=xf（x）（10+2.7x）=8.1x10；当x10时，p=xf（x）（10+2.7x）=982.7x；写成分段函数即可；（）分0x10与10x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可【解答】解：（）当0x10时，p=xf（x）（10+2.7x）=8.1x10；当x10时，p=xf（x）（10+2.7x）=982.7x；故p=；（）当0x10时，由p=8.1=0解得，x=9；故当x=9时有最大值p=8.1910=38.6；当10x时，由p=98（+2.7x）982=38；（当且仅当=2.7x，即x=时，等号成立）；综上所述，当x=9时，p取得最大值即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题18已知圆m的方程为x2+（y2）2=1，直线l的方程为x2y=0，点p在直线l上，过p点作圆m的切线pa，pb，切点为a，b（1）若apb=60，试求点p的坐标；（2）若p点的坐标为（2，1），过p作直线与圆m交于c，d两点，当时，求直线cd的方程；（3）求证：经过a，p，m三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标【考点】圆方程的综合应用【专题】计算题；证明题【分析】（1）设p（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点p的坐标（2）设直线cd的方程为：y1=k（x2），由圆心m到直线cd的距离求得k，则直线方程可得（3）设p（2m，m），mp的中点，因为pa是圆m的切线，进而可知经过a，p，m三点的圆是以q为圆心，以mq为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过a，p，m三点的圆必过定点的坐标【解答】解：（1）设p（2m，m），由题可知mp=2，所以（2m）2+（m2）2=4，解之得：，故所求点p的坐标为p（0，0）或（2）设直线cd的方程为：y1=k（x2），易知k存在，由题知圆心m到直线cd的距离为，所以，解得，k=1或，故所求直线cd的方程为：x+y3=0或x+7y9=0（3）设p（2m，m），mp的中点，因为pa是圆m的切线，所以经过a，p，m三点的圆是以q为圆心，以mq为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y22ym（2x+y2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y22y=0且（2x+y2）=0，解得或所以经过a，p，m三点的圆必过定点（0，2）或（，）【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用解题的关键是对圆性质的熟练掌握19已知函数f（x）=xalnx（ar）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程（）求出函数的定义域，函数的导函数，a1时，a1时，分别求解函数的单调区间即可（）转化已知条件为函数在1，e上的最小值h（x）min0，利用第（）问的结果，通过ae1时，a0时，0ae1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围【解答】解：（）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（1）=1，切点（1，1），k=f（1）=12=1，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y1=（x1），即x+y2=0（），定义域为（0，+），当a+10，即a1时，令h（x）0，x0，x1+a令h（x）0，x