第十四章+拉普拉斯变换.doc

第十三章 拉普拉斯变换一、基本内容1、本章着重介绍了复频域分析法（运算法），它是电路理论中一种重要的分析方法。这种方法的实质是对电路进行一种变换，将电路的电流、电压连同各电路元件在时域中的电压、电流约束关系都变换到幅频域中去，从而建立起以复频域等效电路为分析对象的、以代数运算为特征的分析计算电路的体系。进行这种变换的工具是拉普拉斯积分。2、拉普拉斯变换的积分定义为： 计算象函数F(s)的方法有：按照定义计算广义积分、利用拉普拉斯变换的有关性质、查积分变换表。3、拉普拉斯变换的主要性质有：线性性质、微分性质、积分性质。其中后两种性质可以把微积分方程变换成代数方程。4、通常用部分分式展开法计算拉普拉斯反变换，把象函数F(s)变换为原函数f(t)5、复频域中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律分别为6、复频域中线性一端口电阻、电容、电感上电压、电流象函数之间关系分别为 电阻 电容 电感 它们都是线性代数方程 7、动态电路复频域模型的各种方程与直流电路的各种方程一一对应。因此直流电路的各种分析方法和电路定理可推广应用于运算电路8、复频域电路与频域的正弦稳态电路相似，只是以s代替了j而已。9、使用复频域法分析电路时，第一步要将电路的输入（电压源和电流源）进行拉氏变换，得出它们的象函数。第二步是确定各动态元件的初始状态，即求出Uc(0-)和iL(0-)值。第三步是画出原时域电路的复频域等效电路。第四步是对第三步得到的复频域电路进行求解（可以应用直流电路的各种分析方法），得出待求电流、电压的象函数。第五步对求得的电流、电压象函数进行拉氏反变换，得出时域中的解。二、习题解答13-1、求下列各函数的象函数：（1）； （2）； （3）（4）； （5）； （6）；（7）； （8）。解：（1）、 （2）、 （3）、 （4）、 (5)、 （6）、 （7）、 （8）、13-2、求下列各函数的原函数：（1）；（2）；（3）；（4）； 解： （1）其中 （2） 其中 (3) 其中 (4) 13-3、求下列各函数的原函数：（1）；（2）；（3）；（4）； 解：（1） (2)其中 (3)其中 ， (4)其中 13-5、图示电路原处于稳态，t = 0时合上开关S，试求电流iL。5050V 1.33HiL题13-5图100FS解：运算电路如图13-5所示 5050s 43s1041sc=sU(s)iL(s)图13-5 t 013-6、电路如图所示，已知：iL(0-) = 0 A，t = 0时将开关闭合，求t 0时的uL(t)。uL 10e-t V44u1题13-6图 1H2u1S2U1(s) s144U1(s)UL(s) 10图13-6s解：运算电路如图13-6所示由节点法得： t 013-7、图示电路中uS(t)为直流电压源，开关原闭合，已达稳态。t = 0时开关断开，求开关断开后的总电流i和电容上电压uC1、uC2。已知uS(t) = 30V，C1 = 0.2F，C2 = 0.5C1，R1 = 100，R2 = 2R1。Uc2(s) 1107s30s10s20sUc1(s) 200210-7s1 100图13-7I(s)I1I2uc2 C230suc1R2C1 R1题13-7图iS解： 画出s打开后的运算电路图，如图13-7所示。列回路1，2方程：-=+-=-+-ssIssIsssIsIIs1030)1012001021100()1021100(20301021100()1021100(2771727217解方程可得： t 013-8、图示电路中的电感原无磁场能量，t = 0时合上开关S，用运算法求电感中的电流。I2(s)10s I4(s)632U1(s)2s4s图13-8S10V 6322H4H题13-8图解：当s 合上后，运算电路如图所示： t 0i1题13-9图1 10V0.2H0.5FSLRCI1(s) 图13-91 10s2V0.2s=1scC2s13-9、图示电路中开关S闭合前电路已处于稳定状态，电容初始储能为零，在t = 0时闭合开关S，求：t 0时的电流i1(t)。解：，S合上后，运算电路如图13-9所示： t 0 ML2L1R2题13-10图UsR1i2i113-10、图示电路中L1 =1H，L2 = 4H，M = 2H，R1= R2 = 1，US = 1V，电感中原无磁场能量。t = 0时合上开关S，用运算法求i1、i2。解：运算电路图如图13-10所示列KVL方程可得： I2(s)I1(s)-2s4ssR2=1图13-101s1 t 0u21F iS1F2212H题13-11图13-11、图示电路中，用运算法求U2(s)。解：运算电路如图13-11所示 用结点法列方程：（1）（2）U2(s)U2(s)U1(s)1s 2s11s2212s图13-11 由（2）可得 代入（1）可得 13-12、图示电路中R1= R2 = 10，L=0.15H，C = 250F，u = 150V，S闭合前电路已达稳态。用运算法求合上S后的电感电压uL. uL u LR1R2题13-12图CS(t = 0) UL (s)150s150s 0.15s1010I1(s)I2(s)图13-1225010-6s1I2I1解： S合上后的计算电路图，如图13-12所示：列回路1，2方程（1）（2） 由（1）可得： 则： t 0100s200s 0.1s3010ILIc图13-13103sILIC- 0.5V +13-13、电路如图，设电容上原有电压UC0 = 100V，电源电压US = 200V，R1=30，R2 = 10，L = 0.1H，C =1000F。求S合上后的电感电流iL。UC0SUS LR1R2题13-13图CiL解： iL(0-) = 5A，根据题意画出运算电路（1）（2）列回路方程由（1）可得：得： t 013-15、图示电路中，is = 2 sin (1000t)A，R1=R2 = 20，C =1000F。t = 0时合上开关S，用运算法求uC(t)。 ucR1C题13-15图R2iSS解：先求UC(0-)值，用相量法1sc UcR1sUC(0-)s22Im题13-15图 当S合上后运算电路如图13-15所示：U（s）=则： ： t 02H 题13-16图1Hi100V10S101013-16、图示电路在t = 0时合上开关S，用节点法求i (t)。解：画出S合上后的运算图如图13-16所示：2s10 U(s)图13-16sI(s)1001010s13-17、图示电路在t = 0时合上开关S，用运算法求i (t)及uC (t)。0.5FS 4Vi题13-17b图 2WuC1F1F图13-17 a1 I(s)Uc(s)100s1sC106=3s1sC106=3sS题13-17a图 iuc3F100V3F解：（1），题图a的运算电路图如图13-17a1所示： 可得：(2) 运算电路如图13-17b1所示，用节点法 83s1s4ss43ssC=I(s)图13-17 b12W1sUC(s)12 13-18、图示电路中i1 (0-)= 1A，u2 (0-)= 2V，u3 (0-)= 1V ，试用用运算法求t 0时的电压u2(t)和u3(t)。1s2s4s2s2U1(s)U3(s)U1(s)0.541图13-18s0.5F0.25Fu2u32u10.54题13-18图u11Hi1解：运算电路如图13-18所示，由结点法： 另有： 2ss11图13-19Uc(s)1Uc(s)2s13-19、已知图示电路中，R = 1，C =0.5F，L = 1H，电容电压uC (0-)= 2V，iL(0-)= 1A。is(t) = (t)A。求RLC并联电路的响应uC(t)。CLiliS题13-19图RuC解：电路的运算电路图如图13-19所示，由节点法得： t 013-20、图示电路中，已知us1 (t) = (t)V，us2 (t) = (t) V，试求u1(t)和u2 (t)。题13-20图 111F1FuS1u2u11uS2图13-20 111s1s1sU2(s)U1(s)1解：电路运算如图13-20所示，用节点法：（1）（2）由（2）可得：得： 图13-21 5s15U (s)Us(s) IL(s)题13-21图5H15uS iL13-21、图示电路中，已知us (t) = (t)+ (t1)2 (t2)V，试求iL(