【最高考】高考数学二轮专题突破课堂讲义 第10讲 等差数列与等比数列.doc

专题三 数列第10讲等差数列与等比数列 1. 理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式2. 数列是高中数学中的重要内容，在考试说明中，等差、等比数列都是c级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题1. 在等比数列an中，已知a11，a48.设s3n为该数列的前3n项和，tn为数列a的前n项和若s3nttn，则实数t的值为_答案：7解析： a4a1q3q38， q2，s3n8n1.由题意数列a是首项为1，公比为8的等比数列， tn(8n1)，由s3nttn，得t7.2. 已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以sn表示an的前n项和，则使得sn达到最大值时的n值是_答案：20解析： an412n， a200，a210.3. 已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列的通项公式an_答案：2n解析： aa10， (a1q4)2a1q9， a1q， anqn. 2(anan2)5an1， 2an(1q2)5anq， 2(1q2)5q，解得q2或q(舍去)， an2n. 4. 设x、y、z是实数，若9x、12y、15z成等比数列，且、成等差数列，则_答案：解析：由题知解得xzy2y2，xzy，从而22.题型一 等差、等比数列基本量的计算例1 等差数列an的各项均为正数，且a11，前n项和为sn；bn为等比数列，b11，前n项和为tn，且b2s212，b3s381.(1) 求an与bn; (2) 求sn与tn；(3) 设cnanbn，cn的前n项和为mn，求mn.解：(1) 设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an1(n1)d，bnqn1.依题意有解得或(舍去)故an12(n1)，即an2n1，bn3n1.(2) sn135(2n1)n2，tn.(3) cn(2n1)3n1，mn133532(2n1)3n1，3mn13332533(2n1)3n，得2mn12323223n1(2n1)3n，即mn(n1)3n1.已知等差数列an的公差d不为0，且a3a，a2a4a6.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设数列an的前n项和为sn，求满足sn2an200的所有正整数n的集合解：(1) 由a3a，得a12d(a16d)2.由a2a4a6，得a1d2a18d，即a17d.代入，得5dd2. d5，或d0(不符合题意，舍去)则a135. an35(n1)(5)5n40.(2) sn.不等式sn2an200，即2(5n40)200.整理得n219n400. n.则n，即2n17. nn*， 所求n的值的集合为3，4，16题型二 等差、等比数列的证明与判定例2 数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nn*.(1) 证明：数列是等差数列；(2) 设bn3n，求数列bn的前n项和sn.(1) 证明：由已知可得1，即1，所以是以1为首项，1为公差的等差数列(2) 解： 由(1)得1(n1)1n，所以ann2，从而可得bnn3n.sn131232(n1)3n1n3n，3sn132233(n1)3nn3n1.得2sn31323nn3n1n3n1，所以sn. 已知等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1) 求数列an的通项an与前n项和sn；(2) 设bn(nn*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1) 解：由已知得 d2，故an2n1，snn(n)(2) 证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)， (q2pr)(2qpr)0. p、q、rn*， pr，即(pr)20, pr.这与pr矛盾，故数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列题型三 可转化为等差、等比数列的问题例3 已知数列an中，a11，anan12n(nn*)，bn3an.(1) 试证明数列是等比数列，并求数列bn的通项公式；(2) 在数列bn中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由；(3) 试证在数列bn中，一定存在满足条件1rs的正整数r、s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系(1) 证明：由anan12n，得an12nan，所以1.因为a1，所以数列an2n是首项为，公比为1的等比数列，所以an2n(1)n1，即an2n(1)n，所以bn2n(1)n.(2) 解：假设在数列bn中，存在连续三项bk1，bk，bk1(kn*, k2)成等差数列，则bk1bk12bk，即2k1(1)k12k1(1)k122k(1)k，即2k14(1)k1. 若k为偶数，则2k10，4(1)k140，所以不存在偶数k，使得bk1，bk，bk1成等差数列； 若k为奇数，则当k3时，2k14，而4(1)k14，所以，当且仅当k3时，bk1，bk，bk1成等差数列综上所述，在数列bn中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列(3) 证明：要使b1，br，bs成等差数列，只需b1bs2br，即32s(1)s22r(1)r，即2s2r1(1)s2(1)r3.(*) 若sr1，在(*)式中，左端2s2r10，右端(1)s2(1)r3(1)s2(1)s33(1)s3，要使(*)式成立，当且仅当s为偶数时又sr1，且s、r为正整数，所以当s为不小于4的正偶数，且sr1时，b1，br，bs成等差数列； 若sr2，在(*)式中，左端2s2r12r22r12r1，由(2)可知，r3，所以r14，所以左端2s2r116(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“”)，右端(1)s2(1)s30，所以当sr2时，b1，br，bs不成等差数列综上所述，存在不小于4的正偶数s，且sr1，使得b1，br，bs成等差数列. 题型四 数列的综合应用例4 已知数列an满足a1n22n(其中常数0，nn*)(1) 求数列an的通项公式；(2) 当4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r、s、t满足的条件；若不存在，说明理由；(3) 设sn为数列an的前n项和，若对任意nn*，都有(1)snan2n恒成立，求实数的取值范围解：(1) a13，当n2时，由a1n22n, 得a1(n1)22(n1)，得2n1，所以an(2n1)n1(n2)，因为a13，所以an(2n1)n1(nn*)(2) 当4时，an(2n1)4n1.若存在ar，as，at成等比数列，则(2r1)4r1(2t1)4t1(2s1)242s2，整理得(2r1)(2t1)4rt2s(2s1)2.由奇偶性知rt2s0，所以(2r1)(2t1)(rt1)2，即(rt)20.这与rt矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列(3) sn3572(2n1)n1.当1时，sn357(2n1)n22n；当1时，sn3572(2n1)n1，sn352(2n1)n1(2n1)n，则(1)sn32(23n1)(2n1)n32(2n1)n.要对任意nn*，都有(1)snan2n恒成立， 当1时，左(1)snanan2n12，结论成立； 当1时，左(1)snan32(2n1)nan32，因此，对任意nn*，都有n恒成立当01时，只要n对任意nn*恒成立，即只要有即可，解得1或，因此当01时，结论成立；当2时，n对任意nn*恒成立不可能；当12时，只要n对任意nn*恒成立，即只要，解得1，因此当1时，结论成立综上，实数的取值范围为.1. (2014江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6_答案：4解析：设公比为q，因为a21，则由a8a62a4得q6q42q2，q4q220，解得q22，所以a6a2q44.本题主要考查等比数列的通项公式2. (2014广东卷)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_答案：5解析：由等比数列性质知a1a5a2a4a4. an0， a32， a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a325， log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.3. (2014天津卷)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，sn为其前n项和若s1、s2、s4成等比数列，则a1_答案：解析： an是首项为a1，公差为1的等差数列，sn为其前n项和， s1a1，s22a11，s34a16，由s1、s2、s3成等比数列，得ss1s4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1.4. (2014江西卷)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为sn，当且仅当n8时sn取得最大值，则d的取值范围为_答案：解析：因为a170，当且仅当n8时sn取最大值，可知d0，a90， 解得1d， 1d1，都存在mn*，使得a1、an、am成等比数列(1) 解：由sn，得a1s11.当n2时，ansnsn13n2，a1也符合上式，所以数列an的通项公式为an3n2.(2) 证明：要使得a1、an、am成等比数列，只需要aa1am，即(3n2)21(3m2)，即m3n24n2.而此时mn*，且mn，所以对任意的n1，都存在mn*，使得a1、an、am成等比数列6. (2014湖北卷)已知等差数列an满足：a12，且a1、a2、a5成等比数列(1) 求数列an的通项公式(2) 记sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解：(1) 设数列an的公差为d，依题意知，2、2d、24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4，当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2) 当an2时，sn2n，显然2n60n800成立当an4n2时，sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2014苏州期末)设数列an满足an12ann24n1.(1) 若a13，求证：存在f(n)an2bnc(a、b、c为常数)，使数列anf(n)是等比数列，并求出数列an的通项公式；(2) 若an是一个等差数列bn的前n项和，求首项a1的值与数列bn的通项公式(1) 证明： an12ann24n1，设an1a(n1)2b(n1)c2(anan2bnc)，(2分)即an12anan2(b2a)ncab.(4分) a1，b2，c0.(6分) a1122， 存在f(n)n22n，使数列ann22n是公比为2的等比数列(8分) ann22n22n12n.则an2nn22n.(10分)(2) 解： an12ann24n1，即an1(n1)22(n1)2(ann22n)， ann22n(a11)2n1，即an(a11)2n1n22n.(12分) bn(14分) bn是等差数列， a11，bn2n3.(16分)1. 若数列an，bn的通项公式分别是an(1)n2 011a，bn2，且anbn对任意nn*恒成立，则常数a的取值范围是_答案：2，1解析： a0时，an的最大值为a(n取奇数)，bn的最小值为1，若anbn对任意nn*恒成立，则a1；a0时，bn0，anbn恒成立；a0时，an的最大值为a(n取偶数)，bn2，则a2.综上，a2，1)2. 已知无穷数列an中，a1，a2，am是首项为10，公差为2的等差数列；am1，am2，a2m是首项为，公比为的等比数列(其中 m3，mn*)，并对任意的nn*，均有an2man成立(1) 当m12时，求a2 010；(2) 若a52，试求m的值；(3) 判断是否存在m(m3，mn*)，使得s128m32 010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由解： (1) 当m12时，数列的周期为24. 2 010248318，而a18是等比数列中的项， a2 010a18a126.(2) 设amk是第一个周期中等比数列中的第k项，则amk. ， 等比数列中至少有7项，即m7，则一个周期中至少有14项， a52最多是第三个周期中的项若a52是第一个周期中的项，则a52am7， m52745；若a52是第二个周期中的项，则a52a3m7， 3m45，即m15；若a52是第三个周期中的项，则a52a5m7， 5m45，即m9.综上，m45、15或9.(3) 2m是此数列的周期， s128m3表示64个周期及等差数列的前3项之和， s2m最大时，s128m3最大 s2m10m(2)m211m1，当m6时，s2m3130；当m5时，s2m30；当m7时，s2m2930， 当m6时，s2m取得最大值，则s128m3取得最大值为6430242 007.由此可知不存在m(m3，mn*)，使得s128m32 010成立3. 设等比数列an的前n项和为sn，已知s1，s3，s2成等差数列(1) 求an的公比q；(2) 若a1a33，求sn.解： (1) 依题意有a1(a1a1q)2(a1a1q