【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.1 双曲线及其标准方程讲解与例题 新人教A版选修11.doc

2.2.1双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线定义的应用活动与探究1若一动点p(x，y)到两个定点a(2,0)，b(2,0)的距离之差的绝对值为定值a，讨论点p的轨迹迁移与应用1已知双曲线的方程是1，点p在双曲线上，且到其中一个焦点f1的距离为10，点n是pf1的中点，求|on|的大小(o为坐标原点)2设p为双曲线1上一点，f1，f2是该双曲线的两个焦点，若f1pf260，求pf1f2的面积(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|pf1|pf2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|pf1|pf2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用二、双曲线的标准方程及应用活动与探究2设双曲线与椭圆1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点a的纵坐标为4，求此双曲线的方程迁移与应用若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点，p是两曲线的一个交点，则|pf1|pf2|的值为()ama bmbcm2a2 d(1)求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论(2)待定系数法求双曲线标准方程的步骤：作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能设方程：根据上述判断设方程为1或1(a0，b0)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组得方程：解方程组，将a，b代入所设方程即为所求三、与双曲线有关的轨迹问题活动与探究3如图，在abc中，已知|ab|4，且三内角a，b，c满足2sin asin c2sin b，建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程迁移与应用设圆c与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切，求c的圆心轨迹l的方程(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，根据双曲线的定义，从而得出对应的方程(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支答案：课前预习导学【预习导引】1差的绝对值两个定点两焦点间的距离预习交流1提示：当2a|f1f2|时，点m的轨迹是以f1，f2为端点的两条射线(包括端点)；当2a0时，点m的轨迹是线段f1f2的垂直平分线；当2a|f1f2|时，点m的轨迹不存在当|mf1|mf2|2a|f1f2|时，点m的轨迹是双曲线的一支211f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)a2b2预习交流2(1)提示：在x2，y2的系数异号且双曲线方程化为标准方程的前提下，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上(2)提示：x(5,0)和(5,0)课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：由于a0，|ab|4，所以讨论a应分以下四种情况：a0,0a4，a4，a4解：|ab|4，(1)当a0时，轨迹是线段ab的垂直平分线，即y轴，方程为x0；(2)当0a4时，轨迹是以a，b为焦点的双曲线；(3)当a4时，轨迹是两条射线y0(x2)或y0(x2)；(4)当a4时，无轨迹迁移与应用1解：连接on，on是pf1f2的中位线，所以|on|pf2|因为|pf1|pf2|8，|pf1|10，所以|pf2|2或18，|on|pf2|1或92解：由方程1，得a4，b3，故c5，所以|f1f2|2c10又由双曲线的定义，得|pf1|pf2|8，两边平方，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|64在pf1f2中，由余弦定理，得|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，即|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|100，得|pf1|pf2|36，所以|pf1|pf2|sin 60369活动与探究2思路分析：(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应首先明确焦点在哪个坐标轴上；(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为1(2736)，再将点a(，4)代入求，进而求方程不过这种解题方法有一定的技巧性解：方法一：设双曲线方程为1(a0，b0)，由题意知c236279，c3又点a的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得所以双曲线方程为1方法二：将点a的纵坐标代入椭圆方程可得a(，4)因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的方程为1(2736)，将a(，4)代入方程得1，解得132，20(舍去)所以双曲线方程为1迁移与应用a解析：设点p为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|pf1|pf2|2由双曲线定义得|pf1|pf2|2|pf1|，|pf2|pf1|pf2|ma活动与探究3思路分析：建立直角坐标系，根据所给的三角函数式借助正弦定理得到边的关系式，然后根据双曲线的定义，得到其轨迹方程解：如图所示，以ab边所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则a(2，0)，b(2，0)2sin asin c2sin b，由正弦定理得，2|cb|ab|2|ac|，从而有|ca|cb|ab|2|ab|由双曲线的定义知，点c的轨迹为双曲线的右支(除去双曲线的右支与x轴的交点)a，c2，b2c2a26又a，b，c三点不共线，顶点c的轨迹方程为1(x)迁移与应用解：依题意得两圆的圆心分别为f1(，0)，f2(，0)，从而可得|cf1|2|cf2|2或|cf2|2|cf1|2，所以|cf2|cf1|4|f1f2|2圆心c的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线，且2a4，2c2a2，cb2c2a21c的圆心轨迹l的方程为y21当堂检测1平面内有两个定点f1(5,0)和f2(5,0)，动点p满足|pf1|pf2|6，则动点p的轨迹方程是()a(x4) b(x3)c(x4) d(x3)答案：d解析：由已知动点p的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线的右支，且a3，c5，b2c2a216，所求轨迹方程为(x3)2已知双曲线为，则此双曲线的焦距为()a bc d答案：d解析：由已知0，a22，b2，c22，焦距3已知双曲线上的点p到(5,0)的距离为15，则点p到点(5,0)的距离为()a7 b23c5或25 d7或23答案：d解析：设f1(5,0)，f2(5,0)，则由双曲线的定义知：|pf1|pf2|2a8，而|pf2|15，解得|pf1|7或234在平面直角坐标系xoy中，已知abc的顶点a(6,0)和c(6,0)，顶点b在双曲线的左支上，则_答案：解析：如图，5在平面