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第23章 光的衍射(Diffraction of Light)1 衍射现象、惠更斯菲涅耳原理一.光的衍射*S衍射屏观察屏all 10- 4 a (a)衍射屏观察屏l*SLL光的衍射现象 (b) 透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。1.光的衍射：光在传播过程中，能绕过障 碍物的边缘而偏离直线传播，在光场中 形成一定的光强分布的现象。 2.分类(1)菲涅耳衍射(Fresnel diffraction) 光源和观察屏(或二者之一) 离衍射屏的距离有限远。 (也称近场衍射) 衍射图形随屏到孔(缝)的距离而变， 较复杂。(2) 夫琅禾费衍射(Fraunhofer diffraction) 光源和观察屏都离衍射屏无限远。 (也称远场衍射)夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的极限情形。 以下仅讨论夫琅禾费衍射。二.惠更斯菲涅耳原理(HuygensFresnel principle)： 1.惠更斯菲涅耳原理波传到的任何一点都是子波的波源； 各子波在空间某点的相干叠加，就决定 了该点波的强度。pdU(p)rQdSS(波前)设初相为零nq惠更斯菲涅耳原理 *2.惠菲原理的数学表示(复振幅法) dS发的子波在P点产生的复振幅 dU(P) dS U(Q) e-ikr/r (k=2p/l) K(q ) 倾斜因子K(q )： q = 0时， K(q )=1 q ， K(q )单调下降 q p/2， K(q )=0 (无倒退子波)dU(p) = c dSrU(Q)K(q ) e-ikr P点的复振幅 U(p) = S dU(p ) 用严格的波动理论可算出=illeip/2c = 于是U(p) = S dSilrU(Q)K(q ) e-ikr 此式称菲涅耳积分公式。在处理衍射问题时，S面是未被衍射孔 (或缝)挡住的那部分波面。qPrnr0Q菲涅耳积分公式的傍轴近似 傍轴近似 若衍射孔(或缝) 不太大，则Q点离轴近， 且P点离轴也近时，有 q 0 K(q) =1 r r0 (1/r) (1/r0 ) 于是U(p) = ( ) S U(Q) e-ikr dSil r0 2 单缝的夫琅禾费衍射一.装置*S f f aqqLLpAB缝平面观察屏 单缝的夫琅禾费衍射装置 单缝(single-slit) 衍射装置：q：衍射角 AB = a (缝宽)S：单色光源 光线正入射axxrr0qdS(宽dx ) xsinqPoL 用菲涅耳积分分析单缝的夫琅禾费衍射 *二.光强公式(用菲涅耳积分作) 在S上各Q点的U(Q)相同 (平面波波面上各点复振幅相同)dS = dx dyr = r0 - x sinqU(p) = S e-ikr0 eikxsinq dxdyi U(Q)l r0 = c -a/2 eikxsinq dxa/2 ka22sin sinq ksinq= c a = sinq = sinqka2pal 令 Dj = asinq2pl 因 是缝两边缘点所发的两光线在P 点产生 的相位差。a = sinqpal 是缝中点和一边缘点所发的两光线在P点 产生的相位差。 U(P) = casinaa 有 I = U(P)U(P)*= (ca)2( )2sinaa 光强当q = 0时，a = 0， ( )2 1，sinaa I = (ca)2 = I0 (q = 0处的光强)I0 (缝面积)2 = (al )2 ， l -缝长I = I0sin2aa2单缝衍射的光强公式： a = sinqpal 其中 三.光强公式(用振幅矢量法作) 振幅矢量法 q观察屏透镜 fPxDxDxsinq缝平面缝宽alABC01.定性分析将缝AB的面积S等分成N(很大)个等 宽的窄带， 每个窄带宽度 Dx = a/N， 面积 DS 每个窄带发的子波在P点振幅近似相等，设为 DA， 相邻窄带所发子波在P点引起的振动的 光程差： DL=Dx sinq = (a/N)sinq2pl Dj = DL = ( )2plasinqN 相位差： Dj 很小 (N很大) P点的合振幅AP就是各子波的振幅矢量和的模，这是多个同方向、同频率，同振幅、初相依次差一个恒量的简谐振动的合成。对于o点： q = 0， Dj = 0A0DA(a) A0 = N DAAPDADj (b)对于其它点P (1) AP A0 (2)当N 时， 矢量图将变 为一圆弧。 (3)屏上不同的P点，其对应的q不同， Dj 就不同，圆弧的卷曲情况不同。 (4)圆弧的长度均为A0 思考：如P点恰为暗条纹，圆弧卷曲情况RAPA0用振幅矢量法分析单缝的夫琅禾费衍射 分析单缝的夫琅禾费衍射(c)DjDj 如何？ 2.定量分析 Dj = asinq2pl AP = 2Rsin( )Dj2由图 A0 = RDj Dj2a= = sinqpal令 AP = A0sinaa有 I = I0sin2aa2单缝衍射光强公式 a = sinqpal其中 Dj = asinq2pl 因 是缝两边缘点所发的两光线在P 点产 生的相位差。a = sinqpal 是缝中点和一边缘点所发的两光线在P点 产生的相位差。 四.衍射条纹的特点1.主极大(中央明纹)位置：在a = 0，即q = 0处sinaa( )1a = 0时，光强： 主极大最大光强(中央明纹中心的光强) I = I02.极小(暗纹) 暗纹 I=0 ，出现在a 0，而 sina = 0 的地方，即a = sinq = kp， (k=1,2,)pal 单缝衍射的暗纹条件a sinq = kl ，(k=1,2,)暗纹位置 sinq = (l/a)， 2(l/a)， 3(l/a)， 暗纹是等间距的 (sinq坐标上)。思考：d sinq = kl 是多缝干涉的明纹条 件，为何样子相似的 a sinq = kl却是 单缝衍射的暗纹条件？ 3.次极大：两相邻暗纹间有一个次极大。 ( ) = 0ddasin2aa2位置:可由 求出 有 tana = a由作图法可得次极大位置 sinq = 1.43(l/a), 2.46(l/a), aop2p-p-2pyy1=tanay2=a 由作图法求单缝衍射次极大的位置 3.47(l/a), l/a-(l/a)2(l/a)-2(l/a)sinq0.0470.0171I / I00单缝衍射的（相对）光强曲线 光强 I次极大 0i 0入射光衍射光(法线)光栅入射角和衍射角的符号规定 向(向前)为正。 光线斜入射的好处：可以获得高级次的条纹(高级次条纹分辨率高)。 例如 ：l=5000， 刻痕500条/mm (d=1/500 mm)正入射：由dsinq = kl， 令q = 90，得kmax = 3.38 (取3)斜入射： 由d(sinq - sini ) = kl， 若i = 30， 令q = 90, 得kmax = 5.08 (取5) 由斜入射的光栅方程知： k确定时，调节 i，则q 相应改变。 例如，令k = 0则 dsinq = dsin i 相邻入射光的相位差Dj入 = d sini = d sinq 2pl2pl sinq = ( ) Dj入l2pd 上式表明：改变Dj入即可改变零级衍射光的方向(此结论就是“相控阵雷达”的基本原理)。微波源移相器辐射单元dqnl靶目标 一维阵列的相控阵雷达 二.相控阵雷达图示为一维阵列的相控阵雷达。1.扫描方式相位控制扫描 用电子学方法周期性地连续改变相邻辐 射单元的位相差Dj入，则零级主极大的 衍射角q 也连续变化，从而实现扫描。 频率控制扫描 也可以固定Dj入 而连续改变l来改变q，实现扫描。2.回波接收靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收。改变Dj入就能接收来自不同方位的波束。然后用计算机处理，提供靶目标的多种信息大小，速度，方位L 实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组 成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高 雷达束强度。3.相控阵雷达的优点(1) 无机械惯性，可高速扫描，一次全程扫 描仅需几ms。(2) 由计算机控制可形成多种波束，同时搜索、跟踪多个目标。(3) 不转动、天线孔径可做得很大，从而有 效地提高辐射功率、作用距离、分辨率。4.应用我国和世界上许多大国都拥有相控阵雷达， 军用(如“爱国号”导弹的雷达)设在美国鳕角(Cape cod)的相控阵雷达照片(阵列宽31m，有1792个辐射单元，覆盖240o视野。能探测到5500公里范围内的10m2大小的物体。用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。)设在澳大利亚Sydney大学的一维射电望远镜阵列 (N=32，l=21cm， a = 2m，d = 21m，阵列长213m) 民用，如地形测绘、气象控测、导航、测速(反射波的多普勒频移)、L5 光栅光谱 光栅的色散本领 光栅的色分辨本领一. 光栅光谱1.光栅-分光元件2.光栅光谱 光栅光谱(grating spectrum)：有多级光谱是正比光谱( i和q不大时，q l)0级1级2级-2级-1级(白)图2.22 光栅光谱(TX-5-2-34)二.光栅的色散本领色散本领(dispersion power)：把不同波 长的光色散开的能力。 若波长 l 的谱线， 衍射角 q 波长 l + dl 的谱线，衍射角 q + dq Dq =dqdl角色散本领(angular dispersion power) 由 (sinq - sini) = kl/d 两边微分 有 cosq dq = kdl/dDq =dqdl=kdcosqk 于是 可见 Dq k 1/d三.光栅的色分辨本领 光栅可使波长相近的谱线(主极大)分开但谱线有宽度，可能重叠，以至难以分 辨。 据瑞利标准，l和 l+dl的第k级谱线 刚刚能分辨时， l的第k级主极大的中心应与l+dl的第k级主极大的边缘重合。 即波长差为dl的两谱线色散开的角度 dq (=Dqdl)应等于主极大的半角宽Dqdl =kdcosqklNd cosqk dl =lNk刚可分辨的波长差 R = = Nk ldl光栅的色分辨本领 可见， N R k R例如，对Na双线：l1 = 5890 ， l2 = l+dl = 5896R = l/dl = 5890/6 982 = Nk 若k = 2， 则N = 491 若k = 3， 则N = 327 都可分辨开Na双线。6 X射线的衍射一.X射线的产生 1895年伦琴 ( Rntgen, 1845-1923，获 1901年诺贝尔物理学奖) 发现了高速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧光物质发光L的中性射线X射线。 -+KAX射线 X射线管 X射线管K阴极，A-阳极 (钼、钨、 铜等金属)A-K间加几万伏高压，加速阴极发射的热电子。伦琴夫人的手的 X光照片 X射线 l ：10-1 102 劳厄(Laue)实验(1912) 证实了X射线的 波动性(获1914年诺贝尔物理学奖)。 晶体相当于三维光栅 X射线准直缝晶体劳厄斑 劳厄实验装置 衍射图样(劳厄斑)dddFF2dsinF12d X射线在晶体上的衍射 二.X射线在晶体上的衍射 F：掠射角(grazing angle) d：晶面间距(晶格常数lattice constant) 对Nacl， d = 2.8 1.衍射中心：X射线照射晶体时，每个原子 (表层、内层)都是散射子波的子波源(相当 于一维光栅的“缝”)。2.点间干涉同一层晶面上各原子散射的光的干涉， 反射光的方向即散射光干涉后零级主极 大的方向(相邻两束光的光程差为零)。FF零级主极大方向点间干涉 3.面间干涉不同晶面的沿反射方向的散射光还要 干涉，相邻晶面散射光1和2的光程差： 2dsinF散射光干涉的加强条件：2dsinF = kl (k=1,2,3) 乌利夫布喇格公式 三.应用(1)已知F、l可测dX射线晶体结构分析。 (2)已知F、d可测lX射线光谱分析。 (同时限定F和l要满足布喇格公式较困难)单色光入射时，可转动晶体，找到合适的F角，即可满足布喇格公式。ll晶体(a) 连续谱入射时，对某一晶面族F角确定，则可在连续谱中“找出”满足布喇格公式的波长。连续谱某l(b)单色光入射与连续谱入射 四.实际观察X射线衍射的作法1.劳厄法：使用l连续的X射线照射晶体，得到所有晶面族反射的主极大。每个主极 大对应一个亮斑(劳厄斑)。此法可定晶轴劳厄相德拜相 X射线的衍射图样 方向。2.粉末法：用确定l的X射线入射到多晶粉末上。大量无规的晶面取向，总可使布 喇格条件满足。这样得到的衍射图叫德拜SiO2的劳厄相粉末铝的德拜相 (Dedye)相，此法可定晶格常数。 X射线衍射( diffraction of X-rays )与普 通光栅衍射的区别：1.晶体内有许多晶面族 入射方向和l一定时，对第i个晶面族有： 2disinFi = kil, (i = 1,2,3,)有一系列的布喇格条件，而一维光栅只有一个加强条件。2. 晶体在di、Fi、l都确定时，不一定能满足 2disinFi = kil 的关系。 而一维光栅在l和入射方向确定后，总能 有衍射角满足光栅方程 d(sinq - sin i ) = kl 第23章结束 本章小结一.基本概念1.光的衍射：光在传播过程中，能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播、在光场中形 成一定的光强分布的现象叫光的衍射。 2.菲涅耳衍射(近场衍射)：若光源和观察屏 (或二者之一)离衍射屏的距离有限远，相应的衍射称作菲涅耳衍射。 3.夫琅禾费衍射(远场衍射)：若光源和观察屏都离衍射屏无限远，相应的衍射称作夫 琅禾费衍射，它是菲涅耳衍射的特殊情 形。 0la4.几何光学和波动光学的关系 几何光学是波动光学在 时的极限情形。5.干涉和衍射的联系与区别：从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉 指的是有限多的分立光束的相干叠加。衍 射指的是无限多的子波的相干叠加。二者 又常常同时出现在同一现象中。 6.爱里斑：圆孔夫琅禾费衍射图样的中央sinq0 = 1.22lD亮斑称作爱里斑。其角半径为 q0 1.22 lD 或 7.瑞利判据：对于两个等光强的非相干物点，如果其一个象斑的中心恰好落在另一 象斑的边缘(第一暗纹处)，则此两物点被认为是刚刚可以分辨。这种标准称作瑞利 判据。 8.最小分辨角和分辨本领：在刚刚可以分 辨的情形下，两个物点在透镜(以透镜为 例)光心处所张的角称作最小分辨角(或 角分辨率)，它的倒数称作分辨本领(或分辨 率)。 9.光栅：由大量等宽等间距的平行狭缝(或 反射面)构成的光学元件。广义讲，任何 具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。 10.光栅光谱：光栅是个分光元件，当入射 光是白光(或其它复色光)时，除零级明 纹外，入射光中各种色光成分的同级明 纹将在不同的衍射角出现。同级的不同 的明条纹将按波长大小的顺序排列起 来，这称作光栅光谱。和棱镜分光不同 的是，光栅光谱有多级光谱(棱镜分光只 有一级光谱)，且是正比光谱(即在同级条 纹中，某波长的条纹的衍射角与波长的大小成正比)。 11.光栅的色散本领：光栅把不同波长的光 色散开的能力。12.光栅的色分辨本领：按照瑞利判据，在某级光谱中，光栅所能分辨出的波长相 近的两种波长的谱线的能力称作光栅的 色分辨本领。所能分辨出的两种波长的 波长差越小，则光栅的色分辨本领越大。光栅的色分辨本领与条纹的级次和光栅R = = Nk ldl的刻痕数均成正比。 二.基本规律1.惠更斯菲涅耳原理：波阵面上各点都可以看作子波源，各子波在衍射波场中某点的相干叠加决定该点波的强度。惠更斯菲涅耳原理发展了惠更斯原理，加进了“子波可以干涉”的思想。U(p) = S dSilrU(Q)K(q ) e-ikr2.菲涅耳积分公式