高中数学第1讲不等式和绝对值不等式章末分层突破学案新人教A版.docx

不等式和绝对值不等式章末分层突破 自我校对不等式的基本性质(a，b0)算术几何平均值不等式绝对值三角不等式|xa|xb|c型 不等式的性质及其应用主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立；再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查考查形式多以选择题出现若a，b是任意实数，且ab，则()Aa2b2B.0 D.b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立又abab0，但不能保证ab1，从而不能保证C成立显然D成立事实上，指数函数y是减函数，所以ab成立【答案】D再练一题1若a0，b0，则下列与ba等价的是()Ax0或0xBxCx或xDx或x【解析】ba，当x0时，bx1ax，解得x；当x0时，bx1ax，解得x.故应选D.【答案】D基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”求函数yx2(15x)的最大值【规范解答】yx2xx，0x，2x0，y.当且仅当x2x，即x时，上式取等号因此ymax.再练一题2已知x，求函数y4x2的最大值【解】y4x24x533321.所以函数y4x2的最大值为1.绝对值不等式的解法解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义已知函数f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)|a1|的解集非空，求实数a的取值范围【规范解答】(1)原不等式等价于或或解得x2或x或1x4，解此不等式得a5.再练一题3若不等式|x4|3x|a的解集是空集，求a的取值范围. 【导学号：32750025】【解】设y|x4|3x|，此题转化为求函数的最小值问题，若a不大于函数的最小值则不等式的解集为空集y|x4|x3|可以看出最小值为1，a1时，不等式的解集为空集，所以a的取值范围a1.转化与化归的数学思想等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转化，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想已知不等式|x2|x3|m，依据下列条件，分别求出m的取值范围：(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为.【规范解答】由|x2|x3|(x2)(x3)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，则m1，即m的取值范围是(，1)(2)若不等式解集为R，则m1，即m的取值范围是(，1)(3)若不等式解集为，则m1，即m的取值范围是1，)再练一题4解不等式1.【解】原不等式可以化为|x25x4|x24|(x2)，(x24)x25x4x24，或(4x2)x25x44x2，由得解得x.由得解得0x.原不等式的解集为.1(2015山东高考)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D.(1,5)【解析】当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4.当x5时，原不等式可化为x1(x5)1时，f(x)作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)5，即a15，a4.同理，当a1时，a15，a6.【答案】6或43(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围【解】(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x2.所以f(x)1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)4(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|，则下列不等式一定成立的是()Aa2b2Blg alg bC. D.【解析】由，得ab(c0)，显然，当a，b异号或其中一个为0时，A，B，C不正确【答案】D2下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2D.a3b3【解析】由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab1，选A.【答案】A3若ab，xy，下列不等式不正确的是()Aaxby ByaxbC|a|x|a|yD.(ab)x(ab)y【解析】对于A，两式相加可得axby，A正确；对于B，abab，与yx相加得yaxb，B正确；对于D，ab0，(ab)x(ab)y，D正确；对于C，当a0时，不等式不正确，故选C.【答案】C4如果关于x的不等式5x2a0的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a的取值范围是()A45a80 B50a80Ca45【解析】由5x2a0，得x，而正整数解是1,2,3，则34，解得45a|ab| B.C.ab D.2【解析】a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立而ab0恒成立【答案】C6在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是() 【导学号：32750026】AyxBylg xCyDysin x(0x)【解析】yx24，A错；当0bc，nN，且恒成立，则n的最大值是()A2 B3C4D.6【解析】24，当且仅当时，取等号，而恒成立，得n4.【答案】C10若0x，则x2(12x)有()A最小值为 B最大值为C最小值为D.最大值为【解析】x2(12x)xx(12x).当且仅当x时，等号成立【答案】B11关于x的不等式|x1|x2|a2a1的解集是空集，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,0)C(1,2)D.(，1)【解析】|x1|x2|的最小值为1，故只需a2a11，1aa2a30，则使得(1aix)21(i1,2,3)都成立的x的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由(1aix)21，得0aix0，0xa2a3，的最小值为，则x.因此x的取值范围为，选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13不等式|2x1|x2|0的解集为_. 【导学号：32750027】【解析】|2x1|x2|0，即|2x1|x2|，两边平方并整理得，x21，解得1x1，故解集为x|1x1【答案】x|1x114设x0，y0，且xy(xy)1，则xy的取值范围为_【解析】因为xy(xy)1，且xy，所以1xy(xy)(xy)设xya，则a10(a0)，则a22，即xy22，故xy的取值范围为22，)【答案】22，)15已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_【解析】(xy)1a1a2，1a29，即a280，故a4.【答案】416设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值和最小值分别为_【解析】如图，先画出不等式|x|y|1表示的平面区域，易知当直线x2yu经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax2，umin2.【答案】22三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)解不等式x|2x1|3.【解】法一原不等式可化为或解得x或2x.所以原不等式的解集是.法二由于|2x1|3x，x32x13x，解得x2且x.原不等式的解集是.18(本小题满分12分)(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.【解】(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.