广东省东莞市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

广东省东莞市2015届高 三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知复数z满足zi=2i，i为虚数单位，则z=（）a2ib1+2ic1+2id12i2（5分）已知全集u=r，集合a=x|1x3，b=x|x2，则aub等于（）ax|1x2bx|1x2cx|1x2dx|1x33（5分）已知向量=（1，1），=（4，3），则|=（）a5bcd24（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知a=60，c=45，c=10，则a=（）a6b8c5d5（5分）已知命题：p：对任意xr，总有|x|0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）apqbpqcpqdpq6（5分）一个侧棱与底面垂直的四棱柱的正视图和俯视图如图所示，该四棱柱的体积为（）abcd7（5分）函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）abcd8（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y（）a有最小值3，最大值2b有最小值1，无最大值c有最大值2，无最小值d既无最小值，也无最大值9（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=，则不等式f（x）的解集为（）a，b，c，d，10（5分）在实数集r内，我们用“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则|；若，则，则；若，则对于任意，都有（+）（+）成立；对于实数0，若，则成立；其中所有命题的个数为（）a1b2c3d4二、填空题（共5题，每小题5分，满分15分）11（5分）执行如图的程序框图，如果输入x的值为0，那么输出的y是12（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为13（5分）数列an中，a3=2，a7=1，且数列是等差数列，则a11=选做题：坐标系与参数方程选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（cossin）+2=0被曲线c：=2所截得弦的中点的极坐标为选做题：几何证明选讲选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）15如图所示，ab是半径等于3的圆o的直径，cd是圆o的弦，ba，dc的延长线交于点p，若pa=4，pc=5，则cbd=五、解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x）（0，0）的最小正周期为，且是它的一个零点（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，0，f（+）=，f（+）=，求cos（+）的值17（12分）某中学某班对学生每天数学作业完成时间（分钟）进行调查，将所得数据调整后的频率分布表和频率分布直方图如图（1）补全频率分布表和频率分布直方图；（2）为了分析完成作业时间与听课认真程度等方面的关系，需要从这50人种利用分层抽样的方法抽取10人作进一步分析，则应从完成作业时间再40，45）内的学生中抽取多少人？（3）完成作业时间再25，30）内的学生中有3名男生和若干名女生，现从中任意抽取两名同学，求这两名同学恰好都是男生的概率是多少？完成作业时间频率分布表分组频数频率25，30）0.130，35）1035，40）150.340，45）150.345，5050.1合计50118（14分）在如图所示的多面体中，四边形abb1a1和acc1a1都为矩形aa1=1，ac=，ab=2，设d，e分别是线段bc，cc1的中点（1）若acbc，证明：直线bc平面acc1a1；（2）设点m为线段ab的中点，证明：直线de平面a1mc；（3）在（1）条件下，求点d到平面a1b1e1的距离19（14分）数列an的前n项和为sn=2an2，数列bn是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列an与bn的通项公式；（3）求证：520（14分）如图，已知离心率为的椭圆c：+=1（ab0）过点m（2，1），o为坐标原点，平行于om的直线l交椭圆c于不同的两点a，b（1）求椭圆c的标准方程；（2）求aob面积的最大值；（3）证明：直线ma、mb与x轴围成一个等腰三角形21（14分）设函数f（x）=lnx+，ar（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（3）若对任意mn0，1恒成立，求实数a的取值范围广东省东莞市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知复数z满足zi=2i，i为虚数单位，则z=（）a2ib1+2ic1+2id12i考点：复数相等的充要条件 专题：计算题分析：利用复数运算和相等即可得出解答：解：设z=a+bi（a，br），zi=2i，（a+bi）i=2i，b+ai=2i，解得z=12i故选d点评：熟练掌握复数运算和相等是解题的关键2（5分）已知全集u=r，集合a=x|1x3，b=x|x2，则aub等于（）ax|1x2bx|1x2cx|1x2dx|1x3考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：a=x|1x3，b=x|x2，aub=x|1x3x|x2=x|1x2，故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础3（5分）已知向量=（1，1），=（4，3），则|=（）a5bcd2考点：向量的三角形法则 专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算、模的计算公式即可得出解答：解：向量=（1，1），=（4，3），=（3，4）则|=5故选：a点评：本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式，属于基础题4（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知a=60，c=45，c=10，则a=（）a6b8c5d考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理可得a=，代入已知即可求值解答：解：由正弦定理可得：，即有a=5故选：c点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题5（5分）已知命题：p：对任意xr，总有|x|0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）apqbpqcpqdpq考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论解答：解：根据绝对值的性质可知，对任意xr，总有|x|0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=30，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则pq，为真命题，故选：a点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础6（5分）一个侧棱与底面垂直的四棱柱的正视图和俯视图如图所示，该四棱柱的体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体为直四棱柱，高为，其底面为含60的等腰梯形腰与底边分别为1，2解答：解：由三视图可知：该几何体为直四棱柱，高为，其底面为含60的等腰梯形腰与底边分别为1，2该四棱柱的体积v=故选：d点评：本题考查直四棱柱的三视图及其体积计算公式、等腰梯形的面积计算公式，属于基础题7（5分）函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）abcd考点：指数函数的图像变换 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）的图象确定a，b的取值范围，结合指数函数的图象进行判断即可解答：解：由f（x）的图象可知0a1，b1，则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b0，故选：a点评：本题主要考查指数函数的图象的识别和判断，根据一元二次函数的图象确定a，b的取值范围是解决本题的关键8（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y（）a有最小值3，最大值2b有最小值1，无最大值c有最大值2，无最小值d既无最小值，也无最大值考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点c（1，0）时，直线的截距最小，此时z最小，无最大值，此时最小值z=1+0=1，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键9（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=，则不等式f（x）的解集为（）a，b，c，d，考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：因为函数f（x）是偶函数，所以只需要解出当x0时的x的范围，然后根据偶函数的性质即可得到不等式在r上的解集解答：解：当x时，由cosx得，结合余弦函数的单调性可知，解得；当时，由得，综上，当x0时，f（x）的解集为又因为f（x）为偶函数，所以区间也满足不等式故原不等式的解集为故选：d点评：本题考查了分段函数有关的不等式的解法，以及偶函数的性质在解不等式时的应用10（5分）在实数集r内，我们用“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则|；若，则，则；若，则对于任意，都有（+）（+）成立；对于实数0，若，则成立；其中所有命题的个数为（）a1b2c3d4考点：平面向量数量积的运算 专题：新定义；平面向量及应用分析：根据已知条件中，对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”，判断各个选项是否正确，从而得出结论解答：解：对于任意两个向量=（x1，y1）（x1，y1r），=（x2，y2）（x2，y2r），当取仅当“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”时，按上述定义的关系“”对于若，则“x1x2“或“x1=x2且y1y2r”，|=，|=，不一定有|，故不正确；对于，设向量 =（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若，则有“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，“x2x3”或“x2=x3且y2y3”故有“x1x3”或“x1=x3且y1y3”故有，故正确；对于，若，则对于任意，设 =（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由于“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，则“x+x1x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1y+y2”，即有（+）（+）成立，故正确；对于，对于实数0，设向量 =（x1，y1），=（x2，y2），若，则有“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，即有“x1x2”或“x1=x2且y1y2”，则不成立，故不正确综上正确的个数为2故选b点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“”，正确理解新定义“”的实质，是解答的关键，属于中档题二、填空题（共5题，每小题5分，满分15分）11（5分）执行如图的程序框图，如果输入x的值为0，那么输出的y是1考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，根据题意代入已知即可求解解答：解：模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，故当x=0时，不满足条件x1，执行y=2x1，输出的y的值为1故答案为：1点评：本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题12（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的焦点坐标，双曲线的离心率等于，确定双曲线中的几何量，从而可得双曲线方程解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（0，5）双曲线=1（a0，b0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，c=5双曲线的离心率等于e=，a=3b2=c2a2=4双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的标准方程，确定几何量是关键13（5分）数列an中，a3=2，a7=1，且数列是等差数列，则a11=考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：先有条件求得和的值，再根据+=，求得a11的值解答：解：数列是等差数列，=，=，且 +=，+=1，=，a11 +1=，a11=故答案为：点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，得到 +=，是解题的关键，属于中档题选做题：坐标系与参数方程选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（cossin）+2=0被曲线c：=2所截得弦的中点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到 1=1，解得m的值，可得中点a 的直角坐标，再化为极坐标解答：解：直线（cossin）+2=0即 xy+2=0，曲线c：=2 即 =2，即 x2+y2=4，表示以原点o为圆心，以2为半径的圆设弦的中点为a（m，m+2），则由oa垂直于直线可得 1=1，解得m=1，故弦的中点为a（1，1），它的极坐标为，故答案为 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题选做题：几何证明选讲选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）15如图所示，ab是半径等于3的圆o的直径，cd是圆o的弦，ba，dc的延长线交于点p，若pa=4，pc=5，则cbd=30考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：欲求：“cbd”，根据圆中角的关系：cod=2cbd，只要求出cod即可，把它放在三角形cod中，可利用切割线定理求出cd的长，从而解决问题解答：解：由割线定理得，papb=pcpd，pa=4，pc=5，410=5pd，pd=8，cd=85=3，cdo是等边三角形，cod=60，从而cbd=30故填：30或点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题五、解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x）（0，0）的最小正周期为，且是它的一个零点（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，0，f（+）=，f（+）=，求cos（+）的值考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数的周期和零点求出，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可解答：解：（1）函数f（x）=2sin（x）（0，0）的最小正周期为，=，解得=2，则f（x）=2sin（2x） （2分）又是它的一个零点，即2=k，（4分）则=k，kz，0 （5分）当k=0时，= （6分）故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x） （7分）（2）由（1）f（x）=2sin（2x） 又f（+）=，f（+）=sin（+）=，sin= （9分）cos=，又，0，=，=，则cos（+）=coscossinsin= （12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键17（12分）某中学某班对学生每天数学作业完成时间（分钟）进行调查，将所得数据调整后的频率分布表和频率分布直方图如图（1）补全频率分布表和频率分布直方图；（2）为了分析完成作业时间与听课认真程度等方面的关系，需要从这50人种利用分层抽样的方法抽取10人作进一步分析，则应从完成作业时间再40，45）内的学生中抽取多少人？（3）完成作业时间再25，30）内的学生中有3名男生和若干名女生，现从中任意抽取两名同学，求这两名同学恰好都是男生的概率是多少？完成作业时间频率分布表分组频数频率25，30）0.130，35）1035，40）150.340，45）150.345，5050.1合计501考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）根据所给的频数，利用频除以样本容量，得到要求的频率根据所给的频率，利用频率乘以样本容量，得到要求的频数，画图即可（2）根据分层抽样的方法，即可得到结果（3）若用a，b，c，d，e来表示完成作业时间在20，30）内的5名学生，其中a，b，c为男生，列举出所有的基本事件，再找到两名同学恰好都是男生所包含的基本事件有，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：（1）频率分布表中处填5，处填0.2，频率分布直方图如图；（2）由（1）知完成作业时间在40，50）内的学生中抽取=3人 （3）若用a，b，c，d，e来表示完成作业时间在20，30）内的5名学生，其中a，b，c为男生，则基本事件有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10个基本事件两名同学恰好都是男生所包含的基本事件有：ab，ac，bc共3个基本事件，所以这两名同学恰好都是男生的概率是：p=点评：本题考查古典概型及其概率公式考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一个比较好的题目18（14分）在如图所示的多面体中，四边形abb1a1和acc1a1都为矩形aa1=1，ac=，ab=2，设d，e分别是线段bc，cc1的中点（1）若acbc，证明：直线bc平面acc1a1；（2）设点m为线段ab的中点，证明：直线de平面a1mc；（3）在（1）条件下，求点d到平面a1b1e1的距离考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）先证明aa1平面abc，可得aa1bc，利用acbc，可以证明直线bc平面acc1a1（2）取ab的中点m，连接a1m，mc，a1c，ac1，证明四边形mdeo为平行四边形即可（3）由（1）可证a1c1平面bcc1b1，由题意可得=，又可求a1e，b1e，从而求得，由体积公式即可求得点d到平面a1b1e的距离解答：（本小题满分14分）解：（1）因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形，所以aa1ab，aa1ac（1分）因为ab，ac为平面abc内的两条相交直线，所以aa1平面abc因为直线bc平面abc内，所以aa1bc（3分）又由已知，acbc，aa1，ac为平面acc1a1内的两条相交直线，所以，bc平面acc1a1（5分）（2）因为点m为线段ab的中点，连接a1m，mc，a1c，ac1，连接om，设o为a1c，ac1的交点由已知，o为ac1的中点（6分）连接md，oe，则md，oe分别为abc，acc1的中位线所以，mdac，oeac且md=ac，oe=ac，（7分）所以mdoe且md=oe （8分）从而四边形mdeo为平行四边形，则demo因为直线de平面a1mc，mo平面a1mc，所以直线de平面a1mc （9分）（3）由（1）bc平面acc1a1，所以bca1c1，又cc1a1c1，cc1bc=c所以a1c1平面bcc1b1，（10分）由题意=，所以=，（11分）a1e=b1e=，所以=，（12分）=sdce=，（13分）所以，所以h=，点d到平面a1b1e的距离为（14分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，考查了转化思想，属于中档题19（14分）数列an的前n项和为sn=2an2，数列bn是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列an与bn的通项公式；（3）求证：5考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由sn=2an2，分别令n=1，2，3可求a1，a2，a3（2）n2时，由an=snsn1可得an=2an1，结合等比数列的通项公式可求an，然后由b1=a1且b1，b3，b11成等比数列可求公差d，进而可求通项（3）令tn=，代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和，然后可证明解答：（本题满分14分）解：（1）sn=2an2，当=1时，a1=2a12，解得a1=2；当n=2时，s2=2+a2=2a22，解得a2=4；当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a32，解得a3=8（3分）（2）当n2时，an=snsn1=2an2（2an12）=2an2an1，（5分）得an=2an1又，a1=2，数列an是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列an的通项公式为（7分）b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列得（2+2d）2=2（2+10d），（8分）解得d=0（舍去）或d=3，（9分）bn=3n1（10分）（3）令tn=，2tn=，（11分）两式式相减得=2+=5，（13分）又0，故：5（14）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公、性质及等差数列的通项公式的应用，数列的错位相减求和方法的应用，适用具有一定的计算量20（14分）如图，已知离心率为的椭圆c：+=1（ab0）过点m（2，1），o为坐标原点，平行于om的直线l交椭圆c于不同的两点a，b（1）求椭圆c的标准方程；（2）求aob面积的最大值；（3）证明：直线ma、mb与x轴围成一个等腰三角形考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过斜率、将点m代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过设l方程y=x+m，并与椭圆c方程联立，利用根的判别式0，可得m的取值范围，结合韦达定理、三角形的面积公式计算即可；（3）问题即证直线ma、mb的斜率和为0，计算即可解答：（1）解：设椭圆c的方程为：+=1（ab0），由题意得：，解得，椭圆方程为；（2）解：由直线lom，可设l方程：y=x+m，联立l方程与椭圆c方程，消去y整理得：x2+2mx+2m24=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=2m，x1x2=2m24，由题意可得=（2m）24（2m24）0，于是m（2，2）且m0，故soab=|m|x1x2|=|m|=|m|=2（当且仅当m2=4m2即m=时取等号），aob面积的最大值为2；（3）证明：设直线ma、mb的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=，下面只需证明：k1+k2=0，事实上，k1+k2=+=+=1+m（+）=1+m=1+m=0，故直线ma、mb与x轴围成一个等腰三角形点评：本题是一道直线与圆锥曲