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第三节定积分换元积分法与分部积分法教学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法教学重点：定积分换元积分法一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j(t)在区间a, b(或b, a)上也是连续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)=F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一个原函数, 从而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 计算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 当x=0时t=0, 当x=a时. 例2 计算. 解 令t=cos x, 则 . 提示: 当x=0时t=1, 当时t=0. 或 . 例3 计算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 计算. 解 . 提示: , dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 例5 证明: 若f (x)在-a, a上连续且为偶函数, 则 . 证明 因为,而 , 所以 . 讨论: 若f(x)在-a, a上连续且为奇函数, 问？ 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而 . 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1); (2). 证明 (1)令, 则 . (2)令x=p-t, 则 , 所以 . 例7 设函数, 计算. 解 设x-2=t, 则 . 提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2. 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 等式两端在区间a, b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程: . 例1 计算. 解 . 例2 计算. 解 令, 则 . 例3 设, 证明 (1)当n为正偶数时, ; (2)当n为大于1的正奇数时, . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 设(n为正整数), 证明 , . 证明 =
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