【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题18 统计及其与概率的交汇问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题18统计及其与概率的交汇问题(2012广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445解(1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,4020,3040,2025.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10.本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析，独立性检验的简单应用，一般是选择题、填空题，试题难度中等或稍易若以解答题出现，往往与概率、交汇考查在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，在弄清楚统计问题的基础上，要与概率、期望、方差结合掌握.必备知识抽样方法抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围用样本估计总体(1)利用样本频率分布估计总体分布：频率分布表和频率分布直方图；总体密度曲线；茎叶图(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征：众数、中位数；样本平均数(x1x2xn)i；样本方差s2(x1)2(x2)2(xn)2n,i1 (xi)2；样本标准差s .线性回归方程方程bxa称为线性回归方程，其中bab；(，)称为样本中心点独立性检验假设有两个分类变量x和y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为：22列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量k2，p(k2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828必备方法用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.解决与频率分布直方图有关的问题时，应正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义(2)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布总体期望的估计，计算样本平均值i；总体方差(标准差)的估计：方差(xi)2，标准差，方差(标准差)较小者较稳定.常考查：据频率分布表、频率分布直方图估计总体分布【例1】 某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段40,50)，50,60)，90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为_；平均分为_审题视点 用样本中及格的频率估计总体的及格率，以样本的平均数估计总体的平均数，即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数听课记录解析及格的各组的频率是(0.0150.030.0250.005)100.75，即及格率约为75%；样本的均值为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.答案75%71 用样本估计总体时，已知频率分布直方图，那么就用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率，用样本的均值估计总体的均值，根据频率分布图估计样本均值的方法是取各个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的【突破训练1】 下列是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中数据填空：(1)样本数据落在10,14)内的频率为_；(2)样本数据落在6,10)内的频数为_；(3)总体落在2,6)内的频率为_解析(1)样本落在10,14)内频率为0.0940.36；(2)样本落在6,10)内频率为0.0840.32，频数为0.3210032；(3)样本落在2,6)内频率为0.0240.08，总体落在2,6)内频率约为0.08.答案(1)0.36(2)32(3)0.08 的交汇问题准确提取直方图、茎叶图中的信息是解此类题的关键，借助这些数据结合互斥事件可设计概率问题，高考在此结合点处命题有加强的趋势【例2】 某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验，方法是先从小组内选出1名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由审题视点 (1)根据样本数量与总体容量的比相等建立关系式；(2)利用古典概型；(3)分别计算出两次试验数据的方差，比较方差的大小即可听课记录解(1)p，某同学被抽到的概率为，设有x名男同学，则，x3.男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女同学的有6种，选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为p.(3)171，271，s4，s3.2.ss，故第二位同学的试验更稳定 解决此类问题的基础是频数分布表、茎叶图等知识，在解题时，一定要仔细认真，防止在这个数据表中出现错误，导致后续各问解答也随之出现错误【突破训练2】 (2011北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.(1)如果x8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果x9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解(1)当x8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数为；方差为s2.(2)记甲组四名同学为a1，a2，a3，a4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为b1，b2，b3，b4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a4，b4)，用c表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则c中的结果有4个，它们是：(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b2)，(a4，b2)，故所求概率为p(c).以实际问题为背景，给定数据表，借助这些数据结合独立事件或对立事件设计概率问题【例3】 现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：月收入(单位百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频数510151055赞成人数4812521(1)根据以上统计数据填写下面22列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5 500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成ab不赞成cd合计(2)若从月收入在55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率(参考公式：k2，其中nabcd.)参考值表：p(k2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706p(k2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828审题视点 (1)按照独立性检验的步骤进行；(2)列出基本事件空间，找准符合条件的事件的总数，根据古典概型解题听课记录解(1)根据题目得22列联表：月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a3b2932不赞成c7d1118合计104050假设月收入以5 500为分界点对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到k26.276.635假设不成立所以没有99%的把握认为月收入以5 500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异(2)设此组五人为a，b，a，b，c，其中a，b表示赞同者，a，b，c表示不赞同者，从中选取两人的所有情形为：ab，aa，ab，ac，ba，bb，bc，ab，ac，bc，其中至少一人赞同的有7种，故所求概率为p. 根据图表给出的信息解决相关问题时，一定要仔细阅读表中信息，千万别“看花了眼”，同时，要正确理解相关概念和计算准确【突破训练3】 (2012广东惠州模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组70,80)80,90)90,100)100,110)频数34815分组110,120)120,130)130,140)140,150频数15x32乙校：分组70,80)80,90)90,100)100,110)频数1289分组110,120)120,130)130,140)140,150频数1010y3(1)计算x，y的值；(2)若规定考试成绩在120,150内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；(3)由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.甲校乙校总计优秀非优秀总