显式Euler、梯形方法、预校Euler方法的比较.doc

微分方程数值解实验报告姓名丁建伟学号200708020211日期2010106实验项目显式Euler、梯形方法、预校Euler方法的比较指导教师徐强1、 上机实验的问题和要求（需求分析）： 考虑一阶常微分方程初值问题dy/dx = -y2, 0=x=1, y(0)=1，其精确解为y = 1/(1+x),使用三种方法求初值问题数值解。给出步长h=1/16,1/32,1/64,1/128,1/256时的x=1点处的整体截断误差E(h)=|yn - y(1)|，并从误差、收敛阶、计算量方面比较三种方法。 目的与要求： 掌握三种方法的程序实现 掌握比较算法优缺点的方法二、程序设计的基本思想，原理和算法描述：算法的基本思想：用离散问题代替连续问题，在解的存在区间(a,b)上根据所给出的n值取n + 1个节点：即a=x0x1x2.xn=b，相邻两个节点距离h=（b-a）/n，利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：y0, y1, . yn。原理：显式Euler方法： 梯形方法：预校Euler方法：算法描述：由已知条件和根的存在区间，经过变换，三种方法的迭代公式分别为：显式Euler方法：梯形方法：预校Euler方法：3、 主要程序代码或命令：#include#include /需要用到绝对值abs（）和求平方根sqrt（）函数void main() int n; int i; printf(请输入n的值：); /输入变量n的值scanf(%d,&n);float y=1.0,y0=1.0,y1=1.0; /赋初始值。float e,e0,e1; /绝度误差float h;h=1/float(n);for(i=1;i=n;i+) y=y-h*y*y; /显式Euler方法的变换公式。 y0=(1/h)*(sqrt(2-(h*y0-1)*(h*y0-1)-1.0); /梯形方法的变换公式。 y1=y1-(h/2)*(y1*y1+(y1-h*y1*y1)*(y1-h*y1*y1);/预校Euler方法变换公式。 printf(n=%d,i); printf(Euler方法); printf(y=%f,y); printf(梯形方法); printf(y0=%f,y0); printf(预校Euler方法); printf(y1=%fn,y1); e=fabs(y-0.5);e0=fabs(y0-0.5);e1=fabs(y1-0.5);printf(请输出最终结果y=%f，误差为%f;y0=%f，误差为%f;y1=%f，误差为%f,y,e,y0,e0,y1,e1);四、调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施：1、编译时出错，检查程序发现没有加入使用函数预处理，在开头加上#include。2、编译时，没有注意数据类型转换，如float h;h=1/n;是错误的，因为n是整形的，当n值大于1时，h老为零。应进行模式转换，h=1/float（n）；这样才是正确的。3、对浮点数求绝对值时，应使用fabs（）函数，而不是abs（）。五、运行输出结果及分析：上述程序在Visual C+ 6.0环境下加以实现。经过多次测试，程序运行正确。例如：输入n值：16 ，运行结果如图所示，图中显示了使用三种方法每一步的值及误差。由上图可知：1. 在x=1点处的整体截断误差E(h)=|yn - y(1)|，显式Euler方法为0.011194，梯形方法为0.000244，预校Euler方法为0.000256.。由此可得，在误差精度上，梯形方法最好，预校Euler方法次之，显式Euler最差。2. 由变换公式知，显式Euler方法的截断误差O（n2），梯形方法和预校Euler方法都为O（n3）。3. 从计算量上，预校Euler方法最大，梯形方法次之，显式Euler方法最简单。通过这次