人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版).doc

学习资料收集于网络，仅供参考平面向量的基本概念与线性运算_1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.1、 平面向量的概念： 1、平面向量：_2、 向量的模长：_3、 零向量:_ 4、单位向量：_5、 平行向量：_6、 相等向量：_7、相反向量：_2、 平面向量的基本运算：一般地，ab叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）如果l a b，则称l可以用a，b线性表示 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算1、 三角形法则： 位移叫做位移与位移的和，记作_图77ACBaba+bab 2、平行四边形法则：如图79所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得图79ADCB=_平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a0 = 0a = a； a（a）= 0；（2）ab=ba； （3）（ab） c = a （bc） 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差即a b = a(b)设a，b ，则即 = （72）观察图713可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差ab仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点aAa-bBbO图713一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 （73）若0，则当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （74）一般地，有 0a= 0, 0 = 0 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则： 题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若|a|b|，则ab； 若，则A、B、C、D四点构成平行四边形； 在ABCD中，一定有； 若mn，np，则mp； 若ab，bc，则ac.其中错误的命题有_(填序号)例2 在平行四边形ABCD中（图75），O为对角线交点ADCB图75O（1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量练习：1 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出（1）与相等的向量；（2）与共线的向量FADBEC（练习题111第2题图）第1题图EFABCDO（图18）第2题图2如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出（1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与题型2向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图711）设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小练习：1 如图，已知a，b，求ab（图115）bbaa（1） （2）第1题图2填空（向量如图所示）：（1）ab =_ ,（2）bc =_ ,（3）abc =_ 3计算： （1）； （2）例5 已知如图714（1）所示向量a 、b ，请画出向量abBbOaAba（1）（2）图714练习：1填空：（1）=_，（2）=_，（3）=_2如图，在平行四边形ABCD中，设= a,= b，试用a, b表示向量、例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图716，a ，b，试用a, b表示向量、练习：1 计算：（1）3（a 2 b）2（2 ab）；（2）3 a 2（3 a 4 b）3（a b）2设a, b不共线，求作有向线段，使（ab）例7平行四边形OADB的对角线交点为C，a，b，用a、b表示、.练习：练习：在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.题型3共线向量例8设两个非零向量a与b不共线(1) 若ab，2a8b，3(ab)求证：A、B、D三点共线；(2) 试确定实数k，使kab和akb共线题型4向量共线的应用例4如图所示，设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_练习：如图，ABC中，在AC上取一点N，使ANAC；在AB上取一点M，使得AMAB；在BN的延长线上取点P，使得NPBN；在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值一、选择题1在下列判断中，正确的是()长度为0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共线ABCD2向量()()等于()ABCD3若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是()A若向量a与b方向相反，且|a|b|，则向量ab与a的方向相同B若向量a与b方向相反，且|a|b|；ab；|a|0；|b|1；b.其中正确的是()ABCD2如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()A|B与共线CD与共线3如图所示，在菱形ABCD中，BAD120，则下列说法中错误的是()A图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)B图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)C的长度恰为长度的倍D与不共线4四边形ABCD中，若与是共线向量，则四边形ABCD是()A平行四边形B梯形C平行四边形或梯形D不是平行四边形也不是梯形1已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则ab表示()A向东南航行kmB向东南航行2kmC向东北航行kmD向东北航行2km2在平行四边形ABCD中，设a，b，c，d，则下列各式中不成立的是()AabcBadbCbdaD|ab|c|3已知正方形ABCD的边长为1，a、b、c，则|abc|等于()A0B3CD24下列命题中正确的个数为()如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a、b之一的方向相同；在ABC中，必有0；若0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；若a、b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等A0B1C2D3二、填空题5若|，且，则四边形ABCD的形状为_6已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.开关 多少 恨爱 好坏 答问已知|a|3，|b|3，AOB90，则|ab|_.2、仔细观察画面，弄懂图意。6已知在菱形ABCD中，DAB60，若|2，则|_.青青的豆角 青青的草地 青青的瓦1、把下面的句子补充完整。三、解答题 高兴高高兴兴 大小大大小小 多少多多少少8一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m，逆时针方向旋转度，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转度，按此方法继续操作下去(1)按1100的比例作图说明当60时，操作几次赛车的位移为零(2)按此法操作使赛车能回到出发点，应满足什么条件？请写出其中两个我爱爸爸，也爱妈妈。9如图所示，在ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由6、量词填空。7如图所示，在ABC中，P、Q、R分别为BC、CA、AB边的中点，求证0.8轮船从A港沿东偏北30方向行驶了40n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处求此时轮