八年级数学下册 18.1.2 平行四边形的判定（第3课时）课件 （新版）新人教版.ppt

八年级数学 下新课标 人 第十八章平行四边形 18 1 2平行四边形的判定 第3课时 为了测量一个池塘的宽bc 在池塘一侧的平地上选一点a 再分别找出线段ab ac的中点d e 若测出de的长 就能求出池塘的宽bc 你知道为什么吗 今天这堂课我们就来探究其中的学问 观察思考 如图 d e分别是ab ac的中点 连接de 像de这样 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 学习新知 d e分别为ab ac的中点 de为 abc的中位线 三角形有几条中位线 你能画出来吗 三角形中有三条中位线 de为 abc的中位线 d e分别为ab ac的中点 说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点 相同之处 都是和边的中点有关的线段 不同之处 三角形中位线的两个端点都是边的中点 三角形中线只有一个端点是边的中点 另一端点是三角形的顶点 思考 探索 如图 三角形的中位线de与bc有什么样的关系 为什么 猜想 de bc2de bc 你能证明以上猜想吗 思考 已知 如图 点d e分别为 abc边ab ac的中点 求证 de bc且de bc 解析 所证明的结论既有位置关系 又有数量关系 联想已学过的知识 可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中 利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立 从而使问题得到解决 这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形 如图 延长de到f 使ef de 连接cf 由题意易得 ade cfe 从而可得ad fc 且ad fc 因此有bd fc bd fc 所以四边形bcfd是平行四边形 所以df bc df bc 由作图知2de df 所以de bc且2de bc 方法二 如图 延长de到f 使ef de 连接cf cd和af 因为ae ec 所以四边形adcf是平行四边形 所以ad fc 且ad fc 因为ad bd 所以bd fc 且bd fc 所以四边形bcfd是平行四边形 所以df bc 且df bc 因为2de df 所以de bc且2de bc 方法三 如图 过e点作ab的平行线交bc于n 交过a点与bc平行的直线于m 由题意及作图易知 aem cen 可得me en am cn 因为am bc ab mn 所以四边形amnb是平行四边形 所以ab mn am bn 又因为2bd ab 2en mn 所以bd en 所以四边形bden是平行四边形 则de bn de bc 所以de bn am cn 即2de bc 方法四 如图 过a b c三点分别作de的垂线 分别交直线de于点p m n 因为ap bm cn都垂直于de 所以ap bm cn 可证明 ape cne 则ap cn pe en adp bdm 则ap bm md dp 所以bm cn 2de mn 所以四边形bmnc是平行四边形 所以de bc 2de mn bc 小结 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 d e分别是ab ac的中点 de bc de bc 知识拓展 1 三角形的中位线所构成的三角形的周长是原三角形周长的一半 2 三角形三条中位线可以把三角形分成三个平行四边形 分成的四个三角形全等 3 三角形三条中位线所构成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一 例 补充 如图 abc的中位线de 5cm 把 abc沿de折叠 使点a落在边bc上的点f处 若a f两点间的距离是8cm 求 abc的面积 解 连接af 如图所示 de是 abc的中位线 bc 2de 10cm de bc 由折叠可知af de af bc af是 abc的边bc上的高 af 8cm s abc bc af 10 8 40 cm2 归纳拓展 本题还可以这样解 abc的面积是四边形adfe面积的2倍 而四边形adfe的对角线互相垂直 因此它的面积等于对角线乘积的一半 所以 abc的面积等于af de 例 补充 如图 在四边形abcd中 e f g h分别是ab bc cd da的中点 求证四边形efgh是平行四边形 解析 因为已知点e f g h分别是线段的中点 所以可以设法应用三角形中位线性质找到四边形efgh的边之间的关系 由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形 所以考虑添加辅助线 连接ac或bd 构造含有三角形中位线的基本图形后 此题便可得证 证明 连接ac 如图所示 在 dac中 ah hd cg gd hg ac hg ac 三角形中位线性质 同理可得ef ac ef ac hg ef 且hg ef 四边形efgh是平行四边形 归纳总结 顺次连接四边形四条边的中点 所得的四边形是平行四边形 课堂小结 三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 两层含义 如图 d e分别为ab ac的中点 de为 abc的中位线 de为 abc的中位线 d e分别为ab ac的中点 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 特点 在一个题设下 有两个结论 一个表示位置关系 另一个表示数量关系 结论 有两个 一个表明中位线与第三边的位置关系 另一个表明中位线与第三边的数量关系 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 d e分别是ab ac的中点 de bc de bc 作用 在已知两边中点的条件下 证明线段的平行关系及线段的倍分关系 检测反馈 1 如图 a b两点被池塘隔开 在ab外选一点c 连接ac和bc 并分别找出ac和bc的中点m n 如果测得mn 20m 那么a b两点间的距离是m 理由是 解析 因为m n分别是ac和bc的中点 所以2mn ab 所以ab 2mn 40m 理由是 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 40 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 2 rt abc中 c 90 ab 10 ac 8 bc 6 点d e f分别是 abc三边的中点 则 def的周长是 面积是 解析 def的三条边分别是rt abc的三条中位线 所以 def的三条边长分别是rt abc的三边长的一半 所以 def的周长是rt abc的周长的一半 abc的周长是24 则 def的周长是12 三角形的三条中位线在三角形中可以构成三个平行四边形和四个全等的三角形 所以 def的面积是rt abc的面积的四分之一 abc的面积 8 6 24 因此 def的面积为6 12 6 3 如图 abc中 d e f分别是ab ac bc的中点 1 若ef 5cm 则ab cm 若bc 9cm 则de cm 解 d e f分别是ab ac bc的中点 de bc ef ab 且ef ab ab 2ef 10cm de bc 4 5cm 10 4 5 2 中线af与中位线de有什么特殊的关系 证明你的猜想 解 af与de互相平分 证明如下 连接df 如图所示 d为ab的中点 ad bd ab 由 1 知ef ab ef ab ad ef 四边形adfe是平行四