第3篇 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理.doc

第4讲定积分的概念与微积分基本定理【2014年高考会这样考】1考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理2利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.考点梳理1定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx.在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)2微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼兹公式3定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S.Sf(x)dx；Sf(x)dx；Sf(x)dxf(x)dx；Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.【助学微博】一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算两条结论(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负，当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零(2)当定积分在物理中应用时，要知道加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程三条性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行考点自测1下列积分的值等于1的是()A.xdx B.(x1)dxC.1 dx D.dx解析l dxx1.答案C2(2011福建)(ex2x)dx等于()A1 Be1 Ce De1解析(ex2x)dx(e1)1e.答案C3(2011湖南)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析Scos xdx20cos xdx0.答案D4(人教A版教材习题改编)汽车以v(3t2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是_解析s(3t2)dt4410(m)答案 m5(2012江西)计算定积分1(x2sin x)dx_.解析x2sin x，1(x2sin x)dx.答案考向一定积分的计算【例1】计算以下定积分(1)dx；(2)dx；(3)1(xcos x5sin x2)dx；(4)|32x|dx.审题视点 求积分关键是求其原函数，当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得解(1)函数y2x2的一个原函数是yx3ln x，所以(2x2)dx(x3ln x)|ln 2ln 2.(2)y由图形可知： dx(3)因为yxcos x5sin x为奇函数，所以1(xcos x5sin x2)dx4.(4)|32x|dx1|32x|dx|32x|dx1(32x)dx(2x3)dx(3xx2)(x23x). (1)根据积分的几何意义可利用面积求积分(2)若yf(x)为奇函数，则af(x)dx0.(3)被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质f(x)dxf(x)dxf(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可【训练1】 计算|x24|dx()A. B. C. D.解析|x24|dx(4x2)dx(x24)dx.答案C考向二利用定积分求面积【例2】求曲线yx2，直线yx，y3x围成的图形的面积审题视点 画出图形，由图象交点确定积分区间，由图象中曲线间的位置关系确定被积函数，然后用积分求面积解在同一直角坐标系下作出曲线yx2，直线yx，y3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得交点(1,1)，解方程组得交点(3,9)，因此所围图形的面积为：S(3xx)dx(3xx2)dx2xdx(3xx2)dxx2|1. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积【训练2】 (2013宁波五校联考)由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为_解析联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x1，由题意得，由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为：1(2x24x2)dx2222.答案考向三定积分的应用【例3】一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在s6 s间的运动路程为_审题视点 从题图上可以看出物体在0t1时做加速运动，1t3时做匀速运动，3t6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0t6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积解析由题图可知，v(t)因此该物体在s6 s间运动的路程为：sv(t)dt2tdt2dtdtt22t(m)答案 m 物体作变速直线运动的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分v(t)dt.另外物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数aa(t)在时间区间a，b上的定积分a(t)dt.【训练3】 列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，则列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设t s后的速度为v，则v200.4t.令v0，即200.4t0，得t50.设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20500.2502500(m)即列车应在进站前50 s和进站前500 m处制动热点突破8定积分模型方法示例【命题研究】 定积分及其应用是新课标的新增内容，近三年在高考题中经常出现，一般考查定积分的计算及其在几何上的应用，主要以填空题或选择题的形式出现，难度较易一、求分段函数(带绝对值的函数)的积分(1)分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细【真题探究1】 (2012上海)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_教你审题 求分段函数解析式，根据定积分的几何意义求图形面积解法 先求出yf(x)，再用定积分求面积yf(x)xf(x) 答案 反思 被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界函数，当某一边界是不同函数的图象时要分段去求二、求奇偶函数在对称区间上的定积分(1)若f(x)为偶函数，且在区间a，a上连续，则【真题探究2】 (2012湖北)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B. C. D.教你审题 根据图形求二次函数f(x)的解析式，根据奇偶函数积分的性质求图形面积解法 根据f(x)的图象可设f(x)a(x1)(x1)(a0)，由f(0)0，得c0.f(x)2axb，因过点(1,0)与(0,2)，则有f(x)x22x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S2(x22x)dx(2)3(2)2.答案B4若dx3ln 2(a1)，则a的值是 ()A2 B3 C4 D6解析dx(x2ln x)a2ln a13ln 2，即a2.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5已知t0，若(2x1)dx6，则t_.解析(2x1)dx(x2x)t2t6，解得t3(t2舍去)答案36(2012山东)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析Sdxaa2，a.答案三、解答题(共25分)7(12分)已知f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，求dx的值解f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)f(x)dx(axb)dxab.ab5.又xf(x)dxx(axb)dxab.ab.解得a4，b3，f(x)4x3，dxdxdx(4x3ln x)43ln 2.8(13分)如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1由曲线yx22x与直线yx所围成的封闭图形的面积为 ()A. B. C. D.解析在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x22xx，解得两个交点坐标为(1，1)和(0,0)，封闭图形的面积为S1x(x22x)dx.答案A2(2013郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线yx2和曲线y围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 ()A. B. C. D.解析依题意知，题中的正方形区域的面积为121，阴影区域的面积等于(x2)dx，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3已知f(x)若f(x)dx(k2)则k_.解析f(x)dx(2x1)dx(1x2)dx，所以得到k2k0，即k0或k1.答案0或14设f(x)xnax的导函数为f(x)2x1且f(x)dxm，则12展开式中各项的系数和为_解析因为f(x)xnax的导函数为f(x)2x1.故n2，a1.所以f(x)dx(x2x)dxm所以12展开式中各项的系数和为121.答案1三、解答题(共25分)5(12分)已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得即f(x)ax22a.又f(x)dx(ax22a)dx2a2，a6，从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.6(13分)在区间0,1上