28.1 锐角三角函数（第1课时）.doc

教学设计案例28.1 锐角三角函数（第1课时）通城县隽水寄宿中学 刘大勇一、内容和内容解析1内容正弦的概念2内容解析锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，本节课研究锐角的正弦，它反映了直角三角形中的锐角与其对边、斜边之间的关系本课首先利用特殊直角三角形的性质，研究特殊直角三角形中锐角的对边与斜边比值的不变性，获得直角三角形中锐角对边与斜边比为定值的具体实例，再利用相似三角形的性质，研究一般直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性，进而定义锐角的正弦，并在具体直角三角形中求锐角的正弦值先讨论直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性，再定义锐角的正弦，这种方式为后续学习其他锐角三角函数提供了范例先利用“直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半”，得到30角所对的边与斜边的比值；再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，探究直角三角形中，45角和60角所对的边与斜边的比值；然后进入一般情况的讨论：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，从几何角度展开概念的概括过程，蕴含从特殊到一般的思想方法研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法基于以上分析，确定本节课的教学重点：边角关系提出过程正弦函数的定义过程, 正弦的概念二、目标和目标解析1目标（1）构建探求锐角三角函数定义的方法，初步理解锐角的正弦概念（2）会求锐角的正弦值2目标解析达成目标（1）的标志是：掌握利用相似三角形性质研究直角三角形中，对于一个锐角而言，无论直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值为定值的研究过程和方法，体会研究对边与斜边的比为定值对正弦定义的必要性，掌握正弦表达式的结构达成目标（2）的标志是：已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值 三、教学问题诊断分析利用相似直角三角形探索和认识锐角三角函数（正弦），从“两个直角三角形的对应边之比值相等”到“一个直角三角形的边长改变，但边与边的比值不变”，再联系函数概念，把直角三角形的“边与边的比值”与“锐角”联系起来，进而得到“比值随锐角的改变而改变，随锐角的确定而唯一确定”，涉及的知识多，需要看问题的角度和观点的灵活变化，并且要用完全陌生的符号sinA表示，对学生具有很大的挑战性 本节课的难点是：问题提出过程，正弦函数定义前，先研究直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性的必要性.四、教学支持条件分析本节课使用的媒体资源主要是计算机教师应用多媒体课件创设情境，抽象出数学问题，帮助学生发现和提出问题.五、教学过程设计（一）创设情景 导入新课世界遗产意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m 1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43.8cm垂 直 中 心 线塔身中心线图1问题1：我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度，根据已测量的数据你能求角的度数吗？ 师生活动：多媒体动画展示“垂直中心线”、“塔身中心线”、“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”、显示相关的数据，并提出问题，激励学生思考 设计意图：通过动画展示比萨斜塔的背景材料扫除学生对引言中一些实语理解的障碍，为抽象出一个直角三角形做铺垫追问1：在上述问题中可以抽象出一个怎样的几何图形？实际是一个怎样的数学问题？师生活动：学生结合动画演示思考回答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”的问题追问2：直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系，我们已经研究了什么，还可以研究什么？师生活动：通过师生交流，引导学生回答，我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系教师引入课题并板书：如果我们研究了边角关系，就可以解决这个实际问题。由此看来，研究直角三角形中的边角关系，是我们数学本身的需要，也是实际生活的需要。本章我们将研究直角三角形中的边角关系，并利用它解决与直角三角形有关的度量问题。本节课我们一起来学习“锐角三角函数”正弦设计意图：从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲（二）探究发现 形成概念直角三角形的两边与其中一个锐角究竟有怎样的关系呢？我们先研究一个特殊的直角三角形问题：问题2 为了绿化荒山，市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 图21解决问题 初步体验追问1：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的RtABC师生活动：了解学生语言组织情况并适时引导学生组织语言与同伴交流在RtABC中，C90，A30，BC35m，求AB依据“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”得到“需要准备70 m长的水管”设计意图：培养学生把实际问题转化成数学问题的能力，提高数学语言表达能力.追问2：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？师生活动：引导学生活动依据“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”得到“需要准备100 m长的水管”追问3：在上面的问题中，如果使出水口的高度为am，那么需要准备多长的水管？追问4：由这些结果，你能得到什么结论？可以用一个怎样的式子表达？师生活动：学生用数量关系表示，并引导学生得出，然后归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于设计意图：通过具体问题情景，在学生用熟悉“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，把注意力转移到“直角三角形中，30角的对边与斜边的比值是”；让“比值”的研究首先进入学生的视野，获得对边与斜边比为定值的具体实例，出水口的高度为am的引入，体现从特殊到一般的思想，为下一环节顺利进行奠定基础.2.类比思考，猜想结论问题3 30是这样的情况，那么，一般的直角三角形会是一种什么样的情况呢？我们再来看二个特殊的例子。课件展示含45角和60角的直角三角形，学生分组进行计算45角的对边与斜边的比和60角的对边与斜边的比。A图3CB如图3，任意画一个RtABC，使C90，A45，计算A的对边与斜边的比 如图3，任意画一个RtABC，使C90，A60，计算A的对边与斜边的比追问1：通过计算，我们又可以得到一个什么结论呢？师生活动：教师引出问题并投影显示，学生分组计算、讨论得出结论。归纳得出结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于在直角三角形中，如果一个锐角的度数是60，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为 追问2：由上述几个问题的解答，大家有什么想法，发现了什么结论？在RtABC中，当锐角A 的度数一定时，无论三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值设计意图：强化了学生对“比值”的关注，初步认识到“角度固定，比值也固定”的基本事实，为一般结论作铺垫.让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一.为学生提供了自主探究的空间，提高学生的说理能力，增强语言表达能力. 师生活动：教师引导学生思考、交流并用准确的语言归纳猜想。3.证明猜想，形成概念（1）.证明猜想图4问题5 任意画RtABC和RtABC，使得CC90，AA，那么与有什么关系你能解释一下吗？师生活动：教师引导学生将猜想：“在RtABC中，当锐角A 的度数一定时，无论三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法，投影显示证明过程由于CC90，AA，所以RtABCRtABC，所以，即设计意图：培养学生的论证意识，进一步熟悉发现几何结论的基本套路，为引出正弦的概念奠定基础（2）.形成概念师生活动：教师引导，给出定义在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值，这个固定值随锐角A 的度数的变化而变化，由此我们给这个 “固定值”下个定义如图5，在RtABC中，C90，我们把锐角A的ACBcba对边斜边图5对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA，即sinA追问 当A=30时，A的正弦为多少？A=45呢？A=60呢？师生活动：学生作答，教师给出：sin30=, sin45=. Sin60=设计意图：概念的引入已是水到渠成，让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念过程，更为重要的是感受前所未有的定义概念的方式（先研究合理性，再下定义）.（三）理解概念 应用提升1.例题示范，理解概念例1 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值图6CAB135师生活动：教师提问：(1) 求sinA实际上要确定什么？依据是什么？求sinB呢？ (2)它们的对边和斜边都已知吗？未知的怎么办呢？（3）能口述解题过程吗？学生思考作答，教师在学生代表口述的解题过程中引导规范步骤并同步板书，解：如图，在RtABC中，由勾股定理得 因此 ，.设计意图：巩固正弦的概念，规范学生的解题格式.2.课堂练习，提升能力练习一：如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值CAB62(2)CA(3)BB3CA4 (1)CBA（图7）练习二：判断下列结论是否正确.（1） 在RtABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值也扩大100倍 （2）如图7所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为师生活动：学生独立，小组讨论，学生代表交流小组结果，并说明理由.师生活动：学生独立思考、合作完成习题，教师巡视及时解决学生困难设计意图：运用正弦概念解决问题，加深对正弦概念的理解（四）自我评价、总结反思请同学们根据以下问题回顾本节课的内容1本节课，我们学习了哪些知识？2研究锐角正弦的思路是如何构建的？师生活动：引导学生思考回答回顾、思考、组织语言回答师：从生活实际来看，我们有已知直角三角形的某些边求角的问题；从数学本身来看，对直角三角形而言，我们研究了角与角的关系，边与边的关系，还可以研究边与角的关系。为此，我们从30、45和60角的特殊直角三角形入手，到一般的直角三角形，证明了当锐角一定时，它的对边与斜边的比也是固定值，得到正弦的定义，蕴含了从特殊到一般的思想方法。设计意图：这样的问题清单更有指向性，目的是引导学生梳理学习内容，提炼学习过程中的数学思想方法（五）布置作业1课本第64页练习 2课外探究：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值六、目标检测设